🍕
ஆரைச்சிறை (Circular Sector)
Arc Length and Perimeter of a Sector · Grade 10, Unit 1
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க. $\pi = \dfrac{22}{7}$ எனக் கொள்ளப்படுகிறது.
1 ஆரைச்சிறை என்றால் என்ன?
ஒரு பீட்சாவை வெட்டி ஒரு துண்டை எடுத்துப் பாருங்கள் — அது ஒரு முழு வட்டத்தின் ஒரு துண்டு: மையத்திலிருந்து இரண்டு நேர் விளிம்புகள் (ஆரைகள்), வெளியே ஒரு வளைந்த விளிம்பு. கையில் பிடிக்கும் விசிறி, கடிகாரத்தின் இரண்டு முட்களுக்கு இடைப்பட்ட பகுதி, துடைப்பான் (wiper) துடைக்கும் பகுதி — எல்லாம் இதே வடிவம். கணிதத்தில் இதை ஆரைச்சிறை (circular sector) என்கிறோம். ஒரு வட்டத்தின் இரண்டு ஆரைகளாலும் அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பரிதியின் ஒரு பகுதியாலும் சூழப்பட்ட பிரதேசமே ஆரைச்சிறை. அந்த இரு ஆரைகளுக்கும் இடைப்பட்ட மையத்தில் உள்ள கோணம் மையக் கோணம் ($\theta$) எனப்படும்; வளைந்த விளிம்பு வில் (arc) எனப்படும். மையக் கோணம் $180°$ எனில் அது ஓர் அரை வட்டம்; $90°$ எனில் ஒரு கால் வட்டம் — இவை ஆரைச்சிறையின் சிறப்பு வகைகளே.
2 வில்லின் நீளம் — ஒரே ஒரு பெரிய எண்ணம்
இங்கே ஒரே ஒரு எளிய எண்ணத்தைப் புரிந்துகொண்டால் போதும்: ஆரைச்சிறை என்பது முழு வட்டத்தின் ஒரு பின்னம். ஒரு முழு வட்டத்தைச் சுற்றி வர வேண்டிய தூரம் (பரிதி) $2\pi r$ என நமக்குத் தெரியும். ஆரைச்சிறையின் வில் என்பது அந்த முழுப் பரிதியின் ஒரு துண்டு மட்டுமே — எவ்வளவு துண்டு? மையக் கோணம் எவ்வளவு பகுதியோ, அவ்வளவே. முழு வட்டத்தின் மையக் கோணம் $360°$; உங்கள் ஆரைச்சிறையின் கோணம் $\theta$ எனில், அது முழுக் கோணத்தின் $\dfrac{\theta}{360}$ பங்கு. எனவே வில்லும் முழுப் பரிதியின் அதே $\dfrac{\theta}{360}$ பங்கே — இதுவே முழுப் பாடத்தின் திறவுகோல்.
$$\text{வில்லின் நீளம்} = 2\pi r \times \frac{\theta}{360}$$
இதைச் சோதித்துப் பார்ப்போம், நம்பிக்கை வரும்: அரை வட்டத்தில் $\theta=180°$, எனவே $\dfrac{180}{360}=\dfrac12$ — வில் முழுப் பரிதியின் பாதி, அதாவது $\pi r$. கால் வட்டத்தில் $\dfrac{90}{360}=\dfrac14$ — பரிதியின் கால்பங்கு. சூத்திரம் நம் பொது அறிவோடு ஒத்துப்போகிறது.
செய்துகாட்டல் 1 — வில்லின் நீளம் காண்கஓர் ஆரைச்சிறையின் ஆரை $7$ cm, மையக் கோணம் $45°$. முதலில், இது முழு வட்டத்தின் என்ன பின்னம் எனப் பார்ப்போம்: $\dfrac{\theta}{360} = \dfrac{45}{360} = \dfrac18$. அடுத்து, பரிதியில் அந்தப் பங்கை எடுப்போம்: $$\text{வில்} = 2\pi r \times \frac18 = 2\times\frac{22}{7}\times7\times\frac18$$ $7$ ஐ $\dfrac{22}{7}$ உடன் சுருக்கினால், $$= 2\times22\times\frac18 = \frac{44}{8} = 5.5 \text{ cm}$$ இறுதியாக வில்லின் நீளம் $\mathbf{5.5}$ cm.
⭐ பரீட்சைக் குறிப்புஎண்களைப் பெருக்கும் முன் $\dfrac{\theta}{360}$ பின்னத்தைச் சுருக்கி, $\dfrac{22}{7}$ உடன் வரும் $7$, $14$, $21$ போன்ற எண்களை நீக்கிவிடுங்கள். கணிப்பான் இல்லாமலேயே விடை சுலபமாக வரும்.
3 அதே சூத்திரத்தைத் திருப்பிப் பயன்படுத்துதல்
அதே சூத்திரத்தில் எது தெரியாதோ அதைக் காண திருப்பிப் பயன்படுத்தலாம். வில்லின் நீளம் தெரிந்து ஆரை அல்லது கோணம் கேட்டால், அறியாததை $r$ அல்லது $\theta$ என வைத்து, சூத்திரத்தில் இட்டுத் தீர்க்க வேண்டும்.
செய்துகாட்டல் 2 — வில் தெரிந்து ஆரை காண்கமையக் கோணம் $120°$ ஆகவுள்ள ஓர் ஆரைச்சிறையின் வில்லின் நீளம் $44$ cm. ஆரையை $r$ cm என வைத்து, தெரிந்தவற்றைச் சூத்திரத்தில் இடுவோம்: $$44 = 2\times\frac{22}{7}\times r\times\frac{120}{360}$$ முதலில் $\dfrac{120}{360}=\dfrac13$ எனச் சுருக்கி வலப்பக்கத்தை ஒழுங்கு செய்வோம்: $$44 = \frac{44}{7}\times r\times\frac13 = \frac{44r}{21}$$ இப்போது இரு பக்கங்களையும் $21$ ஆல் பெருக்குவோம்: $44\times21 = 44r$. $44$ இரு பக்கங்களிலும் இருப்பதால் நீங்கி, $$r = \frac{44\times21}{44} = 21 \text{ cm}$$ ஆரை $= \mathbf{21}$ cm.
4 ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவு
இப்போது சுற்றளவு பார்ப்போம். ஒரு துண்டின் முழு விளிம்பையும் சுற்றி வர எவ்வளவு தூரம் நடக்க வேண்டும்? இரண்டு நேர் விளிம்புகள் (இரண்டு ஆரைகள்) + வளைந்த விளிம்பு (வில்) — அவ்வளவுதான். வேறு புதிய சூத்திரமும் தேவையில்லை; வில்லின் நீளத்துடன் இரண்டு ஆரைகளைக் கூட்டினால் போதும்.
$$\text{சுற்றளவு} = \text{வில்லின் நீளம்} + 2r = 2\pi r \times \frac{\theta}{360} + 2r$$
⚠ பொதுவான தவறுபலர் வில்லின் நீளத்தை மட்டும் எழுதி நிறுத்திவிடுவார்கள். சுற்றளவு என்றால் இரண்டு ஆரைகளையும் ($+2r$) கூட்ட மறக்கக் கூடாது — "சுற்றளவு" என்றால் முழுவதையும் சுற்றி வரும் தூரம்.
செய்துகாட்டல் 3 — சுற்றளவு காண்கமையக் கோணம் $120°$, ஆரை $21$ cm உடைய ஓர் ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவைக் காண வேண்டும். முதலில் வில்லின் நீளத்தைக் காண்போம்: $$\text{வில்} = 2\times\frac{22}{7}\times21\times\frac{120}{360} = 132\times\frac13 = 44 \text{ cm}$$ ($2\times\dfrac{22}{7}\times21=132$ — முழுப் பரிதி; அதில் $\dfrac13$ பங்கே வில்.) அடுத்து, இரண்டு ஆரைகளைக் கூட்டுவோம்: $$\text{சுற்றளவு} = 44 + 2\times21 = 44+42 = 86 \text{ cm}$$ இறுதியாக சுற்றளவு $= \mathbf{86}$ cm — வில் ($44$) + ஆரை + ஆரை ($2\times21$), இதுவே துண்டை முழுவதும் சுற்றி வரும் தூரம்.
செய்துகாட்டல் 4 — சுற்றளவு தெரிந்து ஆரை காண்கஒரு வட்டத்தின் $\dfrac23$ பங்காகவுள்ள ஓர் ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவு $260$ cm. கோணம் நேரடியாகத் தரப்படவில்லை, ஆனால் "வட்டத்தின் $\dfrac23$" என்பதே நமது பின்னம் — $\dfrac{\theta}{360}$ க்குப் பதிலாக நேரடியாக $\dfrac23$ ஐப் பயன்படுத்தலாம். முதலில் வில்லை $r$ இல் எழுதுவோம்: $$\text{வில்} = 2\times\frac{22}{7}\times r\times\frac23 = \frac{88r}{21}$$ சுற்றளவு = வில் $+2r$, அது $260$ க்குச் சமன்: $$\frac{88r}{21} + 2r = 260$$ பின்னத்தை நீக்க இரு பக்கத்தையும் $21$ ஆல் பெருக்குவோம்: $$88r + 42r = 260\times21 \;\Rightarrow\; 130r = 5460$$ இறுதியாக $$r = \frac{5460}{130} = 42 \text{ cm}$$ ஆரை $= \mathbf{42}$ cm.
5 கூட்டுத் தள உருவங்கள்
செவ்வகம் + அரைவட்டம், அல்லது சதுரத்திலிருந்து ஆரைச்சிறை வெட்டியது போன்ற கூட்டு உருவங்களின் சுற்றளவையும் இதே கருத்தால் காணலாம் — ஒவ்வொரு விளிம்பின் நீளத்தையும் தனித்தனியே கண்டு கூட்டுங்கள்; நேர் விளிம்புகளுக்கு அளவீட்டைப் பயன்படுத்தி, வளைந்த விளிம்புகளுக்கு வில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள். செங்கோண முக்கோணி இணைந்த கூட்டு உருவங்களில் பைதகரஸ் தேற்றமும் தேவைப்படலாம் — எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செங்கோண முக்கோணியின் இரு பக்கங்கள் $8$ cm, $6$ cm எனில், அதன் கர்ணம் $\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ cm.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Sector = ஆரைச்சிறை
Radius = ஆரை (r)
Central angle = மையக் கோணம் (θ)
Arc = வில்
Circumference = பரிதி (2πr)
Perimeter of sector = ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவு
Semicircle = அரை வட்டம் (θ=180°)
Quadrant = கால் வட்டம் (θ=90°)