📐
இணைகரங்கள் I
Parallelograms I — Properties · Grade 10, Unit 16
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 இணைகரம் என்றால் என்ன, ஏன் இப்பண்புகள் உருவாகின்றன?
ஒரு புத்தகம், ஒரு கதவு, ஒரு செங்கல் — பல நிஜப் பொருள்களின் முகங்கள் இணைகரங்கள்: இரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களும் சமாந்தரமாக அமைந்த நாற்பக்கம். இந்தச் சமாந்தரத் தன்மையிலிருந்தே சில அழகான பண்புகள் தானாகவே பிறக்கின்றன — எதிர்ப் பக்கங்கள் சமமாகின்றன, எதிர்க் கோணங்கள் சமமாகின்றன, மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமமாக்குகின்றன. கதவு விளிம்புகள், கேட் சட்டகங்கள் இணைகர வடிவில் அமைந்திருப்பது ஏன் உறுதியானது என்பதை இந்தப் பண்புகள் விளக்குகின்றன.
2 இணைகரத்தின் நான்கு பண்புகள்
இணைகரம் $ABCD$ இல் $AB \parallel DC$ உம் $AD \parallel BC$ உம் என்பதால், பின்வரும் நான்கு பண்புகள் எப்போதும் உண்மையாகின்றன:
- (i) எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம்: $AB = DC$, $AD = BC$.
- (ii) எதிர்க் கோணங்கள் சமம்: $\hat{A} = \hat{C}$, $\hat{B} = \hat{D}$.
- (iii) ஒவ்வொரு மூலைவிட்டமும் இணைகரத்தை இரு சம பரப்புகளாகப் பிரிக்கும்.
- (iv) மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமமாக்கும்: $AO = OC$, $BO = OD$.
மேலும் ஒரு பயனுள்ள உண்மை: சமாந்தரப் பக்கங்களால் ஒரே பக்க (அடுத்த) கோணங்கள் சேர்ந்து $180°$ தருகின்றன — $\hat{A} + \hat{B} = 180°$. இவை எல்லாம் "சமாந்தரம்" என்ற ஒரே அடிப்படை உண்மையின் வெவ்வேறு விளைவுகளே.
3 பண்புகளால் பக்கம்/கோணம் கணித்தல்
செய்துகாட்டல் 1 — பக்கங்கள்இணைகரம் $ABCD$ இல் $AD=5$, $AB=6$ எனத் தரப்பட்டால், $BC$ யும் $DC$ யும் என்ன என்று கேட்கப்படுகிறது. எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம் என்ற பண்பைப் பயன்படுத்தி, $BC$ ஆனது $AD$ இற்கு எதிரே உள்ளதால் $BC=AD=5$; அதுபோலவே $DC$ ஆனது $AB$ இற்கு எதிரே உள்ளதால் $DC=AB=6$.
செய்துகாட்டல் 2 — கோணங்கள்$\hat{ABC}=78°$ எனில் $\hat{ADC}$ யும் $\hat{BAD}$ யும் காண வேண்டும். முதலில், $\hat{ADC}$ ஆனது $\hat{ABC}$ இற்கு எதிரே உள்ள கோணம் என்பதால், எதிர்க் கோணங்கள் சமம் என்ற பண்பின்படி $\hat{ADC}=\hat{ABC}=78°$. அடுத்து, $\hat{BAD}$ ஆனது $\hat{ABC}$ இற்கு அடுத்துள்ள கோணம் என்பதால், அடுத்த கோணங்கள் சேர்ந்து $180°$ தரும் என்ற பண்பின்படி $\hat{BAD} = 180°-78° = 102°$.
செய்துகாட்டல் 3 — மூலைவிட்டம் பயன்படுத்திய கோணக் கணக்குஇணைகரம் $ABCD$ இல் $\hat{BAD}=75°$, மூலைவிட்டம் $BD$ ஆனது $\hat{ABC}$ ஐ இருபிரிவாகப் பிரிக்க, அதன் ஒரு பிரிவு $\hat{ABD}=45°$ எனத் தரப்பட்டால், முழு $\hat{ABC}$ கோணத்தைக் காண வேண்டும். முதலில், முக்கோணி $ABD$ இன் மூன்று கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $180°$ என்பதைப் பயன்படுத்தி மூன்றாம் கோணத்தைக் காண்போம்: $$\hat{ADB} = 180° - \hat{BAD} - \hat{ABD} = 180° - 75° - 45° = 60°$$ அடுத்து, $AD \parallel BC$ என்பதால் மூலைவிட்டம் $BD$ ஆனது இவ்விரு சமாந்தரக் கோடுகளையும் வெட்டும் ஒரு குறுக்குக் கோடு (transversal) ஆகிறது — எனவே $\hat{ADB}$ க்கும் $\hat{DBC}$ க்கும் இடையே ஒன்றுவிட்ட கோண உறவு (alternate angles) ஏற்படுகிறது: $$\hat{DBC} = \hat{ADB} = 60°$$ இறுதியாக, மூலைவிட்டம் $BD$ ஆனது $\hat{ABC}$ ஐ $\hat{ABD}$ உம் $\hat{DBC}$ உம் என இரு பகுதிகளாகப் பிரிப்பதால் $$\hat{ABC} = \hat{ABD} + \hat{DBC} = 45° + 60° = 105°$$
4 பரப்பளவுக் குறிப்பு
ஒரு மூலைவிட்டம் இணைகரத்தை இரு சம முக்கோணிகளாகப் பிரிக்கிறது (பண்பு iii). எனவே இணைகரத்தின் மொத்தப் பரப்பு $24\ \text{cm}^2$ எனில், மூலைவிட்டத்தால் பிரிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு பாதி முக்கோணியின் பரப்பும் $24 \div 2 = 12\ \text{cm}^2$ ஆகும்.
5 நிரூபணம் — ஒருங்கிணைவைக் கொண்டு
இணைகர நிரூபணங்கள் கிட்டத்தட்ட எப்போதும் ஒரே வடிவத்தில் அமையும்: ஒரு மூலைவிட்டத்தை வரைந்து, உருவாகும் இரு முக்கோணிகளை ஒருங்கிணைக்கச் செய்து (அலகு 5 இல் கற்ற முறை), பின் ஒத்த உறுப்புகள் சமம் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவதே. சமாந்தரப் பக்கங்களால் கிடைக்கும் ஒன்றுவிட்ட கோணங்களும், மூலைவிட்ட வெட்டில் கிடைக்கும் குத்தெதிர்க் கோணங்களும் — இவைதான் நிரூபணத்தில் தேவைப்படும் மறைந்த சமக் கூறுகள்.
நிரூபண எடுத்துக்காட்டுஇணைகரம் $ABCD$ இன் மூலைவிட்டம் $BD$ மீது $BP=DQ$ எனத் தரப்பட்டால், $\Delta ADQ \equiv \Delta BPC$ என நிரூபிக்க வேண்டும். முதலில் தரப்பட்ட சமக் கூறு: $DQ=BP$. அடுத்து இணைகரப் பண்பு (i) ஐப் பயன்படுத்தி எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம் என்பதால் $AD=BC$. பின்னர், $AD \parallel BC$ என்பதால் மூலைவிட்டம் $BD$ ஒரு குறுக்குக் கோடாக இருப்பதால் ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் சமம்: $\hat{ADQ}=\hat{PBC}$. இப்போது இரு முக்கோணிகளிலும் இரு பக்கங்களும் அடைகோணமும் சமம் என்பதால் $$\therefore \Delta ADQ \equiv \Delta BPC \;(\text{ப.கோ.ப.})$$
6 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1எதிர்க் கோணங்கள் சமம் என்பதையும், அடுத்த கோணங்கள் சேர்ந்து $180°$ தரும் (சமம் அல்ல) என்பதையும் குழப்புவது. இவை இரண்டு வெவ்வேறு விதிகள்.
⚠ தவறு 2மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமமாக்கும் என்பதை, மூலைவிட்டங்கள் சமம் என்று தவறாக நினைப்பது. (செவ்வகம் / சதுரம் தவிர்த்து, சாதாரண இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை — அலகு 17 இல் விரிவாகக் காண்போம்.)
⚠ தவறு 3நிரூபணத்தில் ஒவ்வொரு வரிக்கும் காரணம் (எதிர்ப் பக்கம் / ஒன்றுவிட்ட கோணம் / குத்தெதிர்க் கோணம்) குறிப்பிடாமல் விடுவது — பரீட்சையில் மதிப்பெண் இழக்க நேரிடும்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Parallelogram = இணைகரம்
Opposite sides / angles = எதிர்ப் பக்கங்கள் / கோணங்கள்
Diagonal = மூலைவிட்டம்
Bisect = இருசமமாக்கு
Alternate angles = ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்
Vertically opposite angles = குத்தெதிர்க் கோணங்கள்
Congruent (≡) = ஒருங்கிணை
Co-interior / adjacent angles = அடுத்த கோணங்கள் (கூட்டு 180°)