📐
இணைகரங்கள் II
Parallelograms II — Proving & Special Cases · Grade 10, Unit 17
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 நேர்மாறு கேள்வி — எப்போது ஒரு நாற்பக்கம் இணைகரம் ஆகும்?
ஒரு தரை வேலையாளர் ஒரு நாற்பக்கத் தரைத்தட்டை இணைகரமாக வெட்ட வேண்டும் என வைத்துக்கொள்வோம் — அதை எப்படிச் சரிபார்ப்பார்? அலகு 16 இல் "இணைகரம் எனில் இந்தப் பண்புகள் இருக்கும்" என்று கற்றோம். இந்த அலகு அதன் நேர்மாறு கேள்வியைக் கேட்கிறது: "ஒரு நாற்பக்கம் எப்போது இணைகரம் என நிறுவலாம்?" ஒரு நாற்பக்கம் இணைகரம் என நிறுவ நான்கு வழிகள் உள்ளன — அவற்றுள் ஏதேனும் ஒன்றைக் காட்டினால் போதும்.
2 இணைகரமாவதற்கான நான்கு நிபந்தனைகள்
- (1) இரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களும் சமம்; அல்லது
- (2) இரு சோடி எதிர்க் கோணங்களும் சமம்; அல்லது
- (3) மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமமாக்கும்; அல்லது
- (4) ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் சமமும் சமாந்தரமும் ஆக இருத்தல்.
இவற்றுள் நான்காவது நிபந்தனை மிக அடிக்கடி பயன்படும் — ஒரே ஒரு பக்கச் சோடி சமம் + சமாந்தரம் என ஒரே நேரத்தில் காட்டினால் போதும் (இரண்டையும் தனித்தனியே காட்ட வேண்டியதில்லை).
செய்துகாட்டல் 1 — நிபந்தனை சரிபார்த்தல்நாற்பக்கம் $ABCD$ இல் $AB=DC=8$, $AD=BC=5$ எனத் தரப்பட்டால், இது இணைகரமா என்று ஆராய்வோம். இங்கு இரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களும் ($AB, DC$ மற்றும் $AD, BC$) சமமாக உள்ளதால், நிபந்தனை (1) பூர்த்தியாகிறது. எனவே $ABCD$ ஒரு இணைகரம்.
செய்துகாட்டல் 2 — கோணங்களால் சரிபார்த்தல்ஒரு நாற்பக்கத்தின் நான்கு கோணங்கள் வரிசையாக $110°, 70°, 110°, 70°$ எனத் தரப்பட்டால், எதிரெதிர் கோணங்களை ஒப்பிடுவோம் — முதலாவதும் மூன்றாவதும் $110°=110°$, இரண்டாவதும் நான்காவதும் $70°=70°$. இரு சோடி எதிர்க் கோணங்களும் சமமாக இருப்பதால் நிபந்தனை (2) பூர்த்தியாகி, இதுவும் ஒரு இணைகரம்.
⚠ எச்சரிக்கைஒரே ஒரு சோடி பக்கம் சமாந்தரமாக இருந்தால் மட்டும் போதாது — அது சமமாகவும் இருக்க வேண்டும். ஒரு சோடி பக்கம் சமாந்தரம் ஆனால் சமம் அல்ல எனில், அது இணைகரம் அல்ல — அது ஒரு சரிவகம் (trapezium).
3 நிபந்தனை 4 ஐப் பயன்படுத்தி நிரூபித்தல்
நிரூபண எடுத்துக்காட்டு$\Delta ABC$ இல் $T$ ஆனது $BC$ இன் நடுப்புள்ளி; $C$ வழியே $AB$ க்குச் சமாந்தரமாக வரையப்பட்ட ஒரு கோடு, நீட்டிக்கப்பட்ட $AT$ ஐ $D$ இல் சந்திக்கிறது. $ABDC$ ஒரு இணைகரம் என நிறுவ வேண்டும். முதலில் நோக்கத்தைத் தெளிவுபடுத்திக் கொள்வோம்: $AB \parallel CD$ ஏற்கனவே தரப்பட்டுள்ளது (கட்டமைப்பினாலேயே); எனவே $AB=CD$ என நிரூபித்தால் நிபந்தனை (4) பூர்த்தியாகி $ABDC$ இணைகரம் என நிறுவ முடியும். இதற்கு முக்கோணி ஒருங்கிணைவைப் பயன்படுத்துவோம்: முக்கோணிகள் $\Delta ABT$ உம் $\Delta CDT$ உம் எடுத்துக் கொள்வோம். $T$ நடுப்புள்ளி என்பதால் $BT=TC$; $A$, $T$, $D$ ஒரே நேர்கோட்டில் இருப்பதால் $\hat{ATB}=\hat{CTD}$ (குத்தெதிர்க் கோணங்கள்); $AB \parallel CD$ என்பதால் $\hat{ABT}=\hat{TCD}$ (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்). மூன்று சமக் கூறுகளும் கிடைத்ததால் $$\Delta ABT \equiv \Delta CDT \;(\text{கோ.கோ.ப.})$$ ஒருங்கிணைவிலிருந்து ஒத்த பக்கங்கள் சமம் என்பதால் $AB=CD$. இப்போது $AB \parallel CD$ உம் $AB=CD$ உம் ஒருசேர நிறைவேறுவதால், நிபந்தனை (4) பூர்த்தியாகி $$\therefore ABDC \text{ ஒரு இணைகரம்}$$
4 சிறப்பு இணைகரங்கள் — கூடுதல் பண்புகள்
சில இணைகரங்களுக்கு அடிப்படை நான்கு பண்புகளுடன் கூடுதலாக விசேட பண்புகளும் இருக்கும்:
| வடிவம் | கூடுதல் பண்புகள் |
|---|
| செவ்வகம் (rectangle) | எல்லாக் கோணமும் $90°$; மூலைவிட்டங்கள் சமம் |
| சாய்சதுரம் (rhombus) | எல்லாப் பக்கமும் சமம்; மூலைவிட்டங்கள் செங்கோணத்தில் இருசமம்; உச்சிக் கோணங்களை இருசமமாக்கும் |
| சதுரம் (square) | செவ்வகம் + சாய்சதுரம் இரண்டின் பண்புகளும் — எல்லாப் பக்கமும் சமம், எல்லாக் கோணமும் $90°$, மூலைவிட்டங்கள் சமமும் செங்கோணத்தில் இருசமமும் |
செய்துகாட்டல் — சாய்சதுரப் பக்கம் காணல்ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் $18$ cm, $24$ cm எனத் தரப்பட்டால், அதன் பக்க நீளத்தைக் காண வேண்டும். சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்கோணத்தில் இருசமமாக்கும் என்ற பண்பைப் பயன்படுத்துவோம் — முதலில் ஒவ்வொரு மூலைவிட்டத்தையும் இருசமமாகப் பிரிப்போம்: பாதிகள் $9$ cm, $12$ cm. இப்போது பக்கமானது, இந்த இரு பாதிகளையும் கால்களாகக் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணியின் கர்ணம் ஆகிறது. பைதகரஸ் தேற்றப்படி $$\text{பக்கம} = \sqrt{9^2+12^2} = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$$
5 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1ஒரு பக்கச் சோடி சமாந்தரமாக இருப்பதை மட்டும் பார்த்து இணைகரம் என முடிவு செய்வது — நிபந்தனை (4) க்கு சமமும் வேண்டும் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.
⚠ தவறு 2செவ்வகம் (சம மூலைவிட்டங்கள்) மற்றும் சாய்சதுரம் (செங்கோண மூலைவிட்டங்கள்) பண்புகளைக் குழப்புவது. செவ்வகம் = சம மூலைவிட்டம்; சாய்சதுரம் = செங்கோணத்தில் இருசமமாகும் மூலைவிட்டம்.
⚠ தவறு 3இணைகரம் என நிறுவும்போது நான்கு நிபந்தனைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை மட்டும் தெளிவாகக் காட்டாமல் குழப்பமாக எழுதுவது — எந்த நிபந்தனையைப் பயன்படுத்துகிறீர்கள் என நிரூபணத்தில் தெளிவாகக் குறிப்பிடுங்கள்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Converse = நேர்மாறு
Trapezium = சரிவகம்
Rectangle = செவ்வகம்
Rhombus = சாய்சதுரம்
Square = சதுரம்
Congruent triangles = ஒருங்கிணை முக்கோணிகள்
Vertically opposite angles = குத்தெதிர்க் கோணங்கள்
Diagonal bisection = மூலைவிட்ட இருசமப் பிரிவு