🔢
இருபடிக் கோவைகளின் காரணிகள்
Factorising Quadratic Expressions · Grade 10, Unit 7
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 காரணிப்படுத்தல் என்றால் என்ன, ஏன் கற்க வேண்டும்?
ஒரு செவ்வக தோட்டத்தின் பரப்பளவு $x^2+7x+10$ சதுர மீட்டர் என்று கொடுத்தால் — அதன் நீளமும் அகலமும் என்ன? பரப்பளவு = நீளம் × அகலம் என்பதால், நாம் கேட்பது: "எந்த இரு கோவைகளின் பெருக்கல் $x^2+7x+10$ ஆகும்?" அந்த கோவைகளைக் கண்டுபிடிக்கும் செயலே காரணிப்படுத்தல் (factorisation). விரித்தல் — $(x+2)(x+5)$ ஐ பெருக்கி $x^2+7x+10$ ஆக்குவது — ஒரு திசையில் செல்கிறது; காரணிப்படுத்தல் நேர்மாறு திசையில் செல்கிறது — நீண்ட கோவையைப் பார்த்து அதன் காரணிகளைக் கண்டுபிடிக்கிறது. நான்கு முறைகள் உள்ளன — பொதுக் காரணி, குழுவாக்கல், நடு உறுப்புப் பிரித்தல், வர்க்க வித்தியாசம். இவற்றைக் கற்றால், அடுத்த அலகுகளில் வரும் இருபடிச் சமன்பாடுகளும் அட்சரகணிதப் பின்னங்களும் மிக எளிதாகும்.
2 முறை 1 — பொதுக் காரணி (எப்போதும் முதலில் தேடு)
எல்லா உறுப்புகளிலும் பொதுவான ஒன்றை வெளியே எடுப்பதே இம்முறை. இதுவே எளிமையானது, மேலும் எப்போதும் முதலில் தேட வேண்டியது — ஏனெனில் அது மீதி வேலையை எளிதாக்கும்.
செய்துகாட்டல்$4x^2 + 6x$ ஐ காரணிப்படுத்துவோம். இரு உறுப்புகளிலும் பொதுவான காரணியைத் தேடினால், $2x$ இரண்டிலும் பொதுவாக உள்ளது என்பதைக் காணலாம். அதை வெளியே எடுத்தால் $$4x^2 + 6x = 2x(2x+3)$$ சோதனை செய்வோம்: $2x \times 2x = 4x^2$ ✓, $2x \times 3 = 6x$ ✓ — இரண்டும் சரியாக மூலக் கோவையைத் தருகின்றன.
3 முறை 2 — குழுவாக்கல் (grouping)
நான்கு உறுப்புகள் இருக்கும்போது, அவற்றை இரண்டிரண்டாகக் குழுவாக்கி, ஒவ்வொரு குழுவிலும் பொதுக் காரணி எடுத்தால், பின்னர் இரு குழுக்களுக்கும் இடையே ஒரு புதிய பொதுக் காரணி தோன்றும்.
செய்துகாட்டல்$a^2 - 2a + ab - 2b$ ஐ காரணிப்படுத்துவோம். முதலில் நான்கு உறுப்புகளை இரண்டிரண்டாகக் குழுவாக்குவோம்: முதல் இரண்டில் ($a^2-2a$) $a$ பொதுவாக உள்ளது, அடுத்த இரண்டில் ($ab-2b$) $b$ பொதுவாக உள்ளது. ஒவ்வொரு குழுவிலும் அந்தப் பொதுக் காரணியை வெளியே எடுத்தால் $$= a(a-2) + b(a-2)$$ இப்போது $(a-2)$ என்பது இரண்டு குழுக்களிலும் பொதுவாக தோன்றுகிறது — இதுவே சரியான குழுவாக்கம் என்பதற்கான அடையாளம். இந்தப் பொதுவான $(a-2)$ ஐ வெளியே எடுத்தால் இறுதி விடை கிடைக்கும்: $$= (a-2)(a+b)$$
4 முறை 3 — முவுறுப்பு இருபடிக் கோவை (நடு உறுப்பைப் பிரித்தல்)
$ax^2+bx+c$ வடிவம் — இதுவே மிக முக்கியமான, அடிக்கடி வரும் முறை. உத்தி இதுதான்: நடு உறுப்பை இரண்டு உறுப்புகளாகப் பிரி, அந்த இரண்டின் பெருக்கல் முதல் × கடைசி உறுப்புக்குச் சமமாகவும், கூட்டல் நடு உறுப்புக்குச் சமமாகவும் இருக்க வேண்டும். இரண்டு நிபந்தனையும் பூர்த்தியானதும் குழுவாக்கு.
செய்துகாட்டல் 1$x^2+7x+10$ ஐ காரணிப்படுத்துவோம். முதலில் முதல்×கடைசி உறுப்பைக் கணக்கிடுவோம்: $x^2 \times 10 = 10x^2$; நடு உறுப்பு $7x$. இப்போது பெருக்கல் $10x^2$ யும் கூட்டல் $7x$ யும் தரக்கூடிய இரு உறுப்புகளைத் தேடுவோம்: $2x$ உம் $5x$ உம் ஆகும் ($2x\times5x=10x^2$ ✓, $2x+5x=7x$ ✓). நடு உறுப்பை $2x+5x$ எனப் பிரித்து எழுதி, குழுவாக்குவோம்: $$x^2+2x+5x+10 = x(x+2)+5(x+2) = (x+2)(x+5)$$
🔑 குறிகளை விரைவாகத் தீர்மானித்தல்கடைசி உறுப்பு $+$ எனில் தேடும் இரு எண்களும் ஒரே குறி (நடு உறுப்பின் குறி). கடைசி உறுப்பு $-$ எனில் இரு எண்களும் எதிர் குறிகள் (பெரிய எண் நடு உறுப்பின் குறியைப் பெறும்). உதாரணமாக $x^2-3x-10$: கடைசி உறுப்பு $-$ என்பதால் எதிர்க்குறி எண்களைத் தேட வேண்டும் → $-5, +2$ ($-5\times2=-10$, $-5+2=-3$) → $(x-5)(x+2)$.
செய்துகாட்டல் 2 — முதல் குணகம் $1$ அல்லாதபோதும்$3x^2+14x+15$ ஐ காரணிப்படுத்துவோம். முதல்×கடைசி $= 3\times15=45x^2$; நடு உறுப்பு $14x$. பெருக்கல் $45x^2$, கூட்டல் $14x$ தரும் இரு எண்கள்: $5x$ உம் $9x$ உம் ($5x\times9x=45x^2$ ✓, $5x+9x=14x$ ✓). நடு உறுப்பைப் பிரித்து குழுவாக்கினால் $$3x^2+5x+9x+15 = x(3x+5)+3(3x+5) = (3x+5)(x+3)$$
5 முறை 4 — இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம்
$a^2-b^2$ வடிவம் — இரண்டும் நிறை வர்க்கங்களாக இருந்து, அவற்றுக்கிடையே கழித்தல் இருந்தால் — ஒரே வரியில் காரணிப்படுத்தலாம்: $$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$$
செய்துகாட்டல்$4x^2-9$ ஐ காரணிப்படுத்துவோம். முதலில் இரண்டையும் வர்க்க வடிவில் அடையாளம் காண்போம்: $4x^2=(2x)^2$, $9=3^2$. எனவே கோவை $(2x)^2-3^2$ வடிவில் உள்ளது. நேரடியாக வர்க்க வித்தியாசச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் $$4x^2-9 = (2x-3)(2x+3)$$
பொதுக் காரணியுடன் இணைந்தும் வரலாம்: $8x^2-2$ இல் முதலில் $2$ ஐ வெளியே எடுத்தால் $2(4x^2-1)$; இப்போது உள்ளே $(2x)^2-1^2$ என்ற தூய வர்க்க வித்தியாசம் தெரிகிறது — $2(2x-1)(2x+1)$. அடைப்புக்குள் இருந்தாலும் அதே வடிவம்: $(x+1)^2-4 = (x+1)^2-2^2 = [(x+1)-2][(x+1)+2] = (x-1)(x+3)$.
6 சரிபார்த்தலும் பயன்பாடும்
காரணிகள் சரியா என்பதை உறுதிசெய்ய, எப்போதும் திரும்பப் பெருக்கிப் பார்க்க வேண்டும் — மூலக் கோவை மீண்டும் வந்தால் காரணிகள் சரி. மேலும், சரியான காரணிகள் எண் கணக்கையும் விரைவாக்கும்.
செய்துகாட்டல்$8^2+7\times8+10$ ஐ நேரடியாகக் கணக்கிடாமல், $x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$ என்ற காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி, $x=8$ இட்டால் $$(8+2)(8+5) = 10\times13 = 130$$ எனக் குறுக்குவழியில் காணலாம்.
7 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1பொதுக் காரணியை மறந்துவிடுவது. எப்போதும் முதலில் பொதுக் காரணியைத் தேட வேண்டும் — அது இல்லாமல் நேரடியாக மற்ற முறைகளுக்குச் செல்வது தவறு.
⚠ தவறு 2வர்க்க வித்தியாசத்தை $(a-b)^2$ உடன் குழப்புவது. $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ஆனால் $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ — இவை இரண்டு வெவ்வேறு வடிவங்கள்.
⚠ தவறு 3குறி தவறு. கடைசி உறுப்பின் குறியைப் பார்த்து ஒரே குறி/எதிர் குறி எனத் தீர்மானிக்க வேண்டும் — இல்லையேல் தவறான இரு எண்களைத் தேடி நேரம் வீணாகும்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Factorise = காரணிப்படுத்து
Expand = விரி
Common factor = பொதுக் காரணி
Grouping = குழுவாக்கல்
Trinomial = முவுறுப்பு
Middle term splitting = நடு உறுப்புப் பிரித்தல்
Difference of two squares = இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம்
Perfect square = நிறை வர்க்கம்