➕
கூட்டல் விருத்தி
Arithmetic Progression (AP) · Grade 10, Unit 24
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 பொது வித்தியாசம் d
$3, 8, 13, 18, \ldots$ எனும் தொடரில் ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தையதைவிட ஒரே அளவு ($5$) கூடுகிறது. இப்படி அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கிடையேயான வித்தியாசம் மாறாதிருக்கும் தொடரையே கூட்டல் விருத்தி (arithmetic progression, AP) என அழைக்கின்றோம். ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதற்கு முன்னுள்ள உறுப்பிலிருந்து கழித்தால் கிடைப்பதே அந்த மாறா வித்தியாசம் $d$.
$d = (\text{எந்தவொரு உறுப்பு}) - (\text{அதற்கு முன்னுள்ள உறுப்பு})$
உதாரணமாக $12, 17, 22, \ldots$ இல் $d = 17-12 = 5$. ஆனால் $10, 6, 2, \ldots$ இல் $d = 6-10 = -4$ — இது ஒரு குறையும் விருத்தி; $d$ எதிர்க்குறியாக இருந்தாலும் அது AP தான், ஏனெனில் வித்தியாசம் மாறவில்லை.
ஏன் இது முக்கியம்$d$ மாறாதிருந்தால் மட்டுமே அது கூட்டல் விருத்தி. $1, -1, 1, -1, \ldots$ போன்ற தொடரில் $d$ ஒவ்வொரு முறையும் மாறுவதால் அது AP அல்ல.
2 n ஆம் உறுப்பு — $T_n = a + (n-1)d$
முதல் உறுப்பு $a$ எனவும் பொது வித்தியாசம் $d$ எனவும் கொண்டால், $T_2 = a+d$, $T_3 = a+2d$, $T_4 = a+3d$ என ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு $d$ கூடுதலாகச் சேர்கிறது. எனவே $n$ ஆம் உறுப்புக்கு $a$ உடன் $(n-1)$ தடவை $d$ சேர்க்கப்படுகிறது:
$T_n = a + (n-1)d$
இச்சூத்திரத்தில் $a, d, n, T_n$ என நான்கு கணியங்கள் உள்ளன. இவற்றுள் எவை மூன்று தெரிந்தாலும் நான்காவதை இச்சூத்திரத்திலிருந்தே கணக்கிடலாம். நான்கு வகையான கேள்விகளையும் இங்கே பார்ப்போம்.
Tₙ காணல்$3, 7, 11, \ldots$ தொடரில் $15$ ஆம் உறுப்பைக் காண வேண்டும். இங்கு $a=3$, $d=4$. $T_{15} = 3 + 14\times4 = 3+56 = 59$.
a காணல்$d=4$ எனவும் $T_{26}=105$ எனவும் தரப்பட்டால், $105 = a + 25\times4 \Rightarrow 105 = a+100 \Rightarrow a = 5$.
d காணல்$a=-32$ எனவும் $T_{12}=1$ எனவும் தரப்பட்டால், $1 = -32 + 11d \Rightarrow 11d = 33 \Rightarrow d = 3$.
n காணல்$30, 25, 20, \ldots$ தொடரில் $-65$ என்பது எத்தனையாம் உறுப்பு? $a=30$, $d=-5$: $-65 = 30 + (n-1)(-5) \Rightarrow -65 = 35 - 5n \Rightarrow 5n = 100 \Rightarrow n = 20$.
3 இரு உறுப்புகளிலிருந்து a, d — ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள்
சில வேளைகளில் $a$ மற்றும் $d$ இரண்டுமே தெரியாது; அதற்குப் பதிலாக இரு வெவ்வேறு உறுப்புகளின் மதிப்புகள் மட்டும் தரப்படும். அப்போது $T_n = a+(n-1)d$ சூத்திரத்தை இரண்டு முறை பயன்படுத்தி இரு சமன்பாடுகளை உருவாக்கி, அவற்றை ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளாகத் தீர்க்க வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு$T_7 = 38$, $T_{12} = 63$ எனத் தரப்பட்டால் $T_{20}$ ஐக் காண வேண்டும். இரு சமன்பாடுகள்: $a+6d=38$ ① மற்றும் $a+11d=63$ ②. ② இலிருந்து ① ஐக் கழித்தால் $5d = 25 \Rightarrow d = 5$; ① இல் பின்னிடவைத்தால் $a+30=38 \Rightarrow a = 8$. எனவே $T_{20} = 8 + 19\times5 = 8+95 = 103$.
4 கூட்டுத்தொகை — $S_n$
$3+5+7+\cdots+17$ எனும் கூட்டலை முன்னும் பின்னுமாக ஒரு சேர எழுதிக் கூட்டினால், ஒவ்வொரு சோடியும் ஒரே மதிப்பைத் தரும் — முதல் உறுப்பும் ($a$) இறுதி உறுப்பும் ($l$) சேர்ந்தால் $a+l$. இவ்வாறு $n$ சோடிகள் இருப்பதால் $2S_n = n(a+l)$ கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து இரு வடிவங்களில் $S_n$ ஐ எழுதலாம்:
$S_n = \dfrac{n}{2}(a+l)$ (இறுதி உறுப்பு $l$ தெரியின்) • $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$ ($a,d$ தெரியின்)
முதல் வடிவம் (l தெரியும்)$1+2+\cdots+100$ இன் கூட்டுத்தொகை காண வேண்டும். $a=1$, $l=100$, $n=100$: $S_{100} = \dfrac{100}{2}(1+100) = 50\times101 = 5050$.
இரண்டாம் வடிவம் (d தெரியும்)$5,10,15,\ldots$ தொடரில் முதல் $12$ உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை. $a=5$, $d=5$: $S_{12} = \dfrac{12}{2}\{2\times5 + 11\times5\} = 6\times\{10+55\} = 6\times65 = 390$.
n காணல் (இருபடி வரும்)$13,11,9,\ldots$ தொடரில் கூட்டுத்தொகை $40$ ஆக இருக்க எத்தனை உறுப்புகள் தேவை? $a=13$, $d=-2$: $40 = \dfrac{n}{2}\{26-2(n-1)\}$ ஐ விரித்தால் $n^2-14n+40=0 \Rightarrow (n-4)(n-10)=0$.
$n=4$ உம் $n=10$ உம் — இரண்டு விடைகளும் சரி! ஏனெனில் $T_5$ முதல் $T_{10}$ வரையிலான உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமாக இருப்பதால், $4$ உறுப்புகள் கூட்டியாலும் $10$ உறுப்புகள் கூட்டியாலும் ஒரே $40$ கிடைக்கிறது.
5 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1$T_n = a + (n-1)d$ — அடுக்கு $(n-1)$ தான், $n$ அல்ல. இது மிகவும் பொதுவான தவறு.
⚠ தவறு 2$S_n$ காணும்போது: இறுதி உறுப்பு $l$ தெரிந்தால் $\dfrac{n}{2}(a+l)$ பயன்படுத்து; இல்லையேல் $\dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$ பயன்படுத்து.
⚠ தவறு 3$S_n$ கொடுத்து $n$ காணும் கணக்கில் இருபடிச் சமன்பாடு வரும். இரண்டு விடைகளும் சரியாக இருக்கலாம் என்பதை மறவாதே; $n$ ஓர் இயல் எண்ணாக (நேர் முழு எண்) இல்லையேல் மட்டுமே அந்த விடையை நிராகரி.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Arithmetic Progression = கூட்டல் விருத்தி (AP)
Common difference = பொது வித்தியாசம் (d)
First term = முதல் உறுப்பு (a)
Last term = இறுதி உறுப்பு (l)
nth term = n ஆம் உறுப்பு (Tₙ)
Sum of n terms = கூட்டுத்தொகை (Sₙ)
Tₙ = a + (n-1)d = n ஆம் உறுப்புச் சூத்திரம்
Sₙ = n/2(a+l) = கூட்டுத்தொகைச் சூத்திரம்