மடக்கை I (Logarithms) Tamil revision study sheet in plain-language paragraphs for O/L Maths Grade 10 Unit 19: index form vs logarithm form aⁿ = N ⇔ log_a N = x, the two basic facts log_a a = 1 and log_a 1 = 0, solving logarithmic equations, and the multiplication and division laws of logarithms with worked example questions — grounded in the Grade 10 Unit 19 O/L Maths lesson.

🏠 O/L கணிதம் › அனைத்து மனப்படங்களும்

தரம் 10 · அலகு 19 · குறு குறிப்பு

🧠 மனப்படம்
🔢
மடக்கை I
Logarithms — Part I · Grade 10, Unit 19
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.

1 மடக்கை என்றால் என்ன?

"$2$ ஐ எத்தனை முறை பெருக்கினால் $8$ வரும்?" என்று கேட்டால், பதில் $3$ ($2^3=8$). இக்கேள்விக்குப் பதிலளிக்கும் கருவியே மடக்கை (logarithm): $\log_2 8 = 3$ என எழுதுகிறோம். பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்களை கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்களாக மாற்றி, பெரிய எண் கணக்குகளை எளிதாக்குவதற்காக ஜான் நேப்பியர் இதைக் கண்டுபிடித்தார்.

அன்றாட பயன்பாடுரிக்டர் அளவுகோல் (பூகம்ப தீவிரம்) மற்றும் pH அளவுகோல் (அமிலத்தன்மை) — இரண்டுமே மடக்கை அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்டவை.

2 சட்டி வடிவம் ↔ மடக்கை வடிவம்

சட்டி வடிவமும் (index form) மடக்கை வடிவமும் (logarithm form) ஒரே உண்மையை இரு வெவ்வேறு வழிகளில் சொல்கின்றன. $a^x = N$ என்பதே $\log_a N = x$ என்பதற்குச் சமம்:

$a^x = N \quad\Longleftrightarrow\quad \log_a N = x$

$\log_a N$ ஐப் படிக்கும் முறை: "$a$ ஐ எந்த வலுவுக்கு உயர்த்தினால் $N$ வரும்?" எடுத்துக்காட்டுகள்: $2^3=8 \Leftrightarrow \log_2 8=3$;   $3^2=9 \Leftrightarrow \log_3 9=2$;   $10^3=1000 \Leftrightarrow \log_{10}1000=3$.

இரு அடிப்படை உண்மைகள்$\log_a a = 1$ (ஏனெனில் $a^1=a$) மற்றும் $\log_a 1 = 0$ (ஏனெனில் $a^0=1$). $1$ இலும் சிறிய எண்களின் மடக்கை மறையாக வரும்: $\log_2\!\left(\tfrac18\right) = -3$, ஏனெனில் $\tfrac18 = 2^{-3}$.

3 மடக்கைச் சமன்பாடு தீர்த்தல்

தெரியாதது $\log_a N = x$ இல் $a$, $N$, $x$ ஆகிய எதுவாக இருந்தாலும், அதைத் தீர்க்கும் வழி ஒன்றே — சட்டி வடிவத்திற்கு மாற்றித் தீர்.

x காணல்$\log_2 64 = x$. சட்டி வடிவம்: $2^x = 64 = 2^6$, எனவே $x = 6$.
அடி காணல்$\log_x 81 = 4$. $x^4 = 81 = 3^4$, எனவே $x = 3$.
$x = \pm3$ கணிதவியலில் சரியாகத் தோன்றினாலும், மடக்கையின் அடி எப்போதும் நேர் எண் ஆக இருக்க வேண்டும் என்பதால் $x = 3$ மட்டுமே ஏற்கத்தக்க விடை.
N காணல்$\log_5 x = 2$. சட்டி வடிவம்: $x = 5^2 = 25$.

4 மடக்கை விதிகள் — பெருக்கல் & வகுத்தல்

மடக்கையின் மந்திரம் இதுதான்: ஒரே அடியில் இரு சட்டிகளைப் பெருக்கும்போது, அவற்றின் வலுக்கள் கூட்டப்படுகின்றன ($2^4\times2^5 = 2^{4+5}$). இதே உண்மையை மடக்கை வடிவில் எழுதினால்:

பெருக்கல் விதி: $\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$
வகுத்தல் விதி: $\log_a\!\left(\dfrac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n$

சுருக்கமாகச் சொன்னால் — "பெருக்கலின் மடக்கை = மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை; வகுத்தலின் மடக்கை = மடக்கைகளின் வித்தியாசம்."

பெறுமானம் காண்$\log_4 32 + \log_4 2 = \log_4(32\times2) = \log_4 64$. $64 = 4^3$ என்பதால் விடை $3$.
பல உறுப்பு$\log_{10}25 + \log_{10}8 - \log_{10}2 = \log_{10}\!\left(\dfrac{25\times8}{2}\right) = \log_{10}100 = 2$.
கூட்டல் என்பது தொகுதியில் (numerator) பெருக்கலாகவும், கழித்தல் என்பது பகுதியில் (denominator) வகுத்தலாகவும் மாறும். எல்லாவற்றையும் ஒரே மடக்கையாக்கிய பின்னரே பெறுமானத்தைக் காண வேண்டும்.
சார்பில் தருதல்$18 = 2\times3\times3 = 2\times3^2$ என்பதால், $\log_a 18 = \log_a 2 + \log_a 3^2 = \log_a 2 + 2\log_a 3$.
சமன்பாடு தீர்த்தல்$\log_a 5 + \log_a x = \log_a 3 + \log_a 10 - \log_a 2$. இரு பக்கத்தையும் ஒரே மடக்கையாக்கினால் $\log_a(5x) = \log_a\!\left(\dfrac{3\times10}{2}\right) = \log_a 15$. $$5x = 15 \;\Rightarrow\; x = 3$$
இரு பக்கமும் ஒரே மடக்கையாக்கியதும், அடிக்குள் உள்ள எண்கள் சமம் என்று சமன்பாடு எழுதலாம் — $5x = 15$.

5 பொதுவான தவறுகள்

⚠ தவறு 1$\log_a(m+n)$ ஆனது $\log_a m + \log_a n$ அல்ல. மடக்கை விதிகள் பெருக்கல்/வகுத்தலுக்கு மட்டுமே பொருந்தும், கூட்டல்/கழித்தலுக்கு அல்ல.
⚠ தவறு 2மடக்கையின் அடி எப்போதும் நேர் எண்ணாக இருக்க வேண்டும் — மறை அடி (negative base) கிடையாது.
⚠ தவறு 3$\log_a a = 1$ மற்றும் $\log_a 1 = 0$ என்ற இரு அடிப்படை உண்மைகளை மனப்பாடம் செய்துகொள். இவை பல கணக்குகளின் இறுதிப் படியில் தேவைப்படும்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Logarithm = மடக்கை
Index form = சட்டி வடிவம்
Logarithm form = மடக்கை வடிவம்
Base = அடி (a)
a^x = N ⇔ log_a N = x = வடிவ மாற்றம்
log_a(mn) = log_a m + log_a n = பெருக்கல் விதி
log_a(m/n) = log_a m − log_a n = வகுத்தல் விதி
log_a a = 1, log_a 1 = 0 = அடிப்படை உண்மைகள்
learn.gtdigital.tech/ol/maths/ Goperamanan Thirusenthivel, MSc · GT Digital