📐
மடக்கை II
Logarithm Tables · Grade 10, Unit 20
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 மடக்கை அட்டவணை ஏன்?
கணிப்பான் (calculator) வருவதற்கு முன், $594.2 \times 9.275 \div 84.21$ போன்ற கடினமான கணக்குகளை மக்கள் மடக்கை அட்டவணை (log table) கொண்டு செய்தனர். பெருக்கலைக் கூட்டலாகவும், வகுத்தலைக் கழித்தலாகவும் மாற்றி எளிதாக்கும் அதே கொள்கை இங்கும் பயன்படுகிறது. இந்த அலகு அந்த அட்டவணையைப் படிக்கும் முறையை — தசமக்கூறு மற்றும் சிறப்பியல்பு — பின் முறன்மடக்கையை (antilog) செய்துகாட்டுகிறது.
2 தசமக்கூறும் சிறப்பியல்பும்
$10$ ஐ அடியாகக் கொண்ட மடக்கையை $\lg$ என்று சுருக்கமாக எழுதுவோம் ($\lg = \log_{10}$). எந்த எண்ணின் மடக்கையும் இரு பகுதிகளாகப் பிரிகிறது: தசமப் புள்ளிக்கு முன் இருக்கும் முழுஎண் பகுதியே சிறப்பியல்பு (characteristic); தசமப் புள்ளிக்கு பின் இருக்கும் பகுதி, அட்டவணையிலிருந்து கிடைக்கும் தசமக்கூறு (mantissa).
எடுத்துக்காட்டாக $\lg 85.83 = 1.9337$ — இதில் சிறப்பியல்பு $1$, தசமக்கூறு $9337$.
சிறப்பியல்பு $=$ (முழுஎண் பகுதியின் இலக்க எண்ணிக்கை) $-\ 1$
ஏன் இப்படி? எண்ணை விஞ்ஞான முறையில் ($a\times10^n$, $1\le a<10$) எழுதினால் $\lg = \lg a + n$; இங்கு $n$ சிறப்பியல்பும், $\lg a$ தசமக்கூறும் ஆகும். இதனால் ஒரு முக்கியமான உண்மை பிறக்கிறது —
முக்கியம்$8.583$, $85.83$, $858.3$ — இம்மூன்றுக்கும் தசமக்கூறு ஒன்றே ($9337$); வேறுபடுவது சிறப்பியல்பு மட்டுமே ($0$, $1$, $2$). ஏனெனில் இலக்கங்களே ஒரே அமைப்பில் உள்ளன — தசமப் புள்ளியின் இடம் மட்டுமே மாறுகிறது.
3 முறன்மடக்கை (antilog)
முறன்மடக்கை என்பது மடக்கையின் நேர்மாறு: $\lg 59.3 = 1.7731$ எனில், $\text{antilog}\,1.7731 = 59.3$. தசமக்கூறு அட்டவணையிலிருந்து இலக்கங்களைத் தரும்; சிறப்பியல்பு தசமப் புள்ளியின் இடத்தைத் தீர்மானிக்கும்.
சிறப்பியல்பு 0$\text{antilog}\,0.5432 = 3.493$ (தசமக்கூறிலிருந்து இலக்கங்கள் கிடைக்கும்). சிறப்பியல்பு $0$ என்பதால் முழுஎண் பகுதியில் ஒரு இலக்கம் மட்டும்.
சிறப்பியல்பு கூடும்போதுஅதே இலக்கங்களை வைத்துக்கொண்டு, சிறப்பியல்பு $1$ கூடும் ஒவ்வொரு முறையும் தசமப் புள்ளி ஒரு இடம் வலமாக நகரும்:
$$\text{antilog}\,1.5432 = 34.93, \quad \text{antilog}\,2.5432 = 349.3, \quad \text{antilog}\,3.5432 = 3493$$
இலக்கங்கள் ($3493$) மாறாமல் இருக்க, சிறப்பியல்பு $+1$ ஆகும்போது எண் $\times10$ ஆக பெருகுகிறது.
4 மடக்கையால் பெருக்கல் / வகுத்தல்
$\lg(MN) = \lg M + \lg N$ மற்றும் $\lg\!\left(\dfrac{M}{N}\right) = \lg M - \lg N$ ஆகிய விதிகளைப் பயன்படுத்தி, இறுதியில் முறன்மடக்கை எடுத்தால் விடை கிடைக்கும்.
பெருக்கல்$4.975 \times 10.31$ ஐக் காண வேண்டும். $P = 4.975\times10.31$ எனக் கொண்டால்:
$$\lg P = \lg 4.975 + \lg 10.31 = 0.6968 + 1.0132 = 1.7100$$
$$P = \text{antilog}\,1.7100 = 51.28$$
வகுத்தல்$53.21 \div 4.97$:
$$\lg P = \lg 53.21 - \lg 4.97 = 1.7260 - 0.6964 = 1.0296$$
$$P = \text{antilog}\,1.0296 = 10.71$$
கலப்பு பெருக்கல்/வகுத்தல்$\dfrac{594.2 \times 9.275}{84.21}$:
$$\lg P = \lg 594.2 + \lg 9.275 - \lg 84.21 = 2.7739 + 0.9673 - 1.9254 = 1.8158$$
$$P = \text{antilog}\,1.8158 = 65.43$$
கூட்டல் (பெருக்கல் உறுப்புகளுக்கு) மற்றும் கழித்தல் (வகுத்தல் உறுப்புக்கு) இரண்டையும் ஒரே கணக்கில் சேர்த்துப் பயன்படுத்தலாம். இறுதியில் மட்டுமே antilog எடுக்க வேண்டும்.
5 கணிப்பான் குறிப்பு
பரீட்சையில் தேவைப்பட்டால் விஞ்ஞானக் கணிப்பான் (scientific calculator) செயல் வரிசையை (BODMAS) தானாகவே பின்பற்றும்: $543 + 275\times17$ இல் முதலில் பெருக்கல் நடக்கும் ($275\times17 = 4675$), பின்னர் கூட்டல் ($543+4675 = 5218$). அடைப்புகளுக்கு $($ $)$ சாவிகளைப் பயன்படுத்தத் தவறாதே.
6 பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1சிறப்பியல்பு $=$ இலக்க எண்ணிக்கை $-1$ என்ற விதியை மறவாதே.
⚠ தவறு 2தசமக்கூறு எண்ணின் இலக்கங்களைச் சார்ந்தது, தசமப் புள்ளியின் இடத்தை அல்ல; $\lg 8.583$ உம் $\lg 858.3$ உம் ஒரே தசமக்கூறு தரும்.
⚠ தவறு 3பெருக்கல் $\to$ மடக்கை கூட்டல் (பெருக்கல் அல்ல). கணக்கின் இறுதியில் antilog எடுக்க மறவாதே — லாக் மதிப்பே இறுதி விடை அல்ல.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Characteristic = சிறப்பியல்பு
Mantissa = தசமக்கூறு
Antilogarithm = முறன்மடக்கை
lg N = log₁₀ N = பொது மடக்கை
lg(MN) = lg M + lg N = பெருக்கல் விதி
lg(M/N) = lg M − lg N = வகுத்தல் விதி