மேற்பரப்பும் கனவளவும் (Surface Area and Volume) Tamil revision study sheet in plain-language paragraphs for O/L Maths Grade 10 Unit 29: curved surface area and total surface area of a cylinder, cylinder volume, and the total surface area and volume of a triangular prism using Pythagoras' theorem, with worked example questions using π = 22/7 — grounded in the Grade 10 Unit 29 O/L Maths lesson.

🏠 O/L கணிதம் › அனைத்து மனப்படங்களும்

தரம் 10 · அலகு 29 · குறு குறிப்பு

🧠 மனப்படம்
🛢️
மேற்பரப்பும் கனவளவும்
Surface Area & Volume · Grade 10, Unit 29 · π = 22/7
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.

1 மேற்பரப்பும் கனவளவும் — வேறுபாடு

ஒரு தகர உருளைக் கொள்கலனுக்கு வெளிப்பூச்சு பூசுகிறீர்கள் என வைத்துக்கொள்வோம் — எவ்வளவு சாயம் தேவை? அதுவே மேற்பரப்பளவு. அதே கொள்கலனில் எவ்வளவு நீர் பிடிக்கும்? அதுவே கனவளவு. உருளை (cylinder) மற்றும் முக்கோண அரியம் (triangular prism) — இரண்டுக்கும் ஒரே தந்திரம் பொருந்தும்: வளைப்பரப்பை வெட்டி விரித்தால் ஒரு செவ்வகம் கிடைக்கும்; கனவளவு எப்போதும் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு × உயரம். இந்த அலகில் $\pi = \dfrac{22}{7}$ (NIE முறை) பயன்படுத்துகிறோம் — ஆரை $7$ இன் மடங்காக இருக்கும்போது கணக்கீடு மிக எளிதாகிறது.

2 உருளையின் மேற்பரப்பளவு

r h வெட்டி விரித்தால் ↓ 2πr h வளைப்பரப்பு = 2πrh
உருளையின் வளைப்பரப்பை வெட்டி விரித்தால் ஒரு செவ்வகம் கிடைக்கும்: $2\pi r \times h$

உருளையின் மொத்த மேற்பரப்பு மூன்று பகுதிகளால் ஆனது — மேலும் கீழும் உள்ள இரு வட்ட முகங்களும், நடுவே உள்ள வளைப்பரப்பும்.

வளைப்பரப்பு $= 2\pi rh$  •  ஒரு வட்ட முகம் $= \pi r^2$  •  மொத்த மேற்பரப்பளவு $= 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$
எடுத்துக்காட்டு$r=7$, $h=15$ எனில், ஒரு முகத்தின் பரப்பு $= \dfrac{22}{7}\times49 = 154$; வளைப்பரப்பு $= 2\times\dfrac{22}{7}\times7\times15 = 660$. மொத்த மேற்பரப்பளவு $= 2(154)+660 = 968\ \text{cm}^2$.
குறிப்புமூடியில்லாத கொள்கலனுக்கு பரப்பு $= \pi r^2 + 2\pi rh$ (ஒரு வட்ட முகம் மட்டும் இருக்கும் — அடிமட்டம்). இரு முனைகளும் திறந்த குழாய் ஆக இருந்தால் பரப்பு $= 2\pi rh$ மட்டும் (வட்ட முகமே இல்லை).

3 உருளையின் கனவளவு

$V = (\text{குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு})\times h = \pi r^2 h$
எடுத்துக்காட்டு$r=14$, $h=20$ எனில், $V = \dfrac{22}{7}\times14\times14\times20 = 12\,320\ \text{cm}^3$.
தலைகீழ்க் கணக்குஒரு உருளையின் அடிப் பரப்பு $346.5\ \text{cm}^2$ எனவும் கனவளவு $6930\ \text{cm}^3$ எனவும் தரப்பட்டால், $r$ மற்றும் $h$ காண வேண்டும். $\pi r^2 = 346.5 \Rightarrow r^2 = \dfrac{346.5\times7}{22} = 110.25 \Rightarrow r = 10.5$. $V = (\text{அடிப் பரப்பு})\times h \Rightarrow h = \dfrac{6930}{346.5} = 20$ cm.

4 முக்கோண அரியம் (prism)

குறுக்குவெட்டு முக்கோணமாகவுள்ள திண்மத்தையே முக்கோண அரியம் என்கிறோம். இதற்கு 2 முக்கோண முகங்களும் 3 செவ்வக முகங்களும் உண்டு. பெரும்பாலான கணக்குகளில் முதலில் முக்கோண முகத்தின் உயரத்தை பைதகரஸ் தேற்றத்தால் கண்டு, பின்னரே பரப்பையும் கனவளவையும் காண வேண்டியிருக்கும்.

BC l AX (செங்குத்து)
முக்கோண அரியம்: 2 முக்கோண முகம் + 3 செவ்வக முகம்
மொத்த மேற்பரப்பளவு $= 2\times(\text{முக்கோண பரப்பு}) + (\text{3 செவ்வக பரப்புகள்})$  •  கனவளவு $V = A \times l$
முக்கோண பரப்பு காணல்இருசமபக்க முக்கோணம் $AB=AC=10$, $BC=16$, நீளம் $l=30$. $X$ ஆனது $BC$ இன் நடுப்புள்ளி என்பதால் $XC=8$. பைதகரஸ் தேற்றத்தால்: $AX = \sqrt{10^2-8^2} = \sqrt{100-64} = \sqrt{36} = 6$. முக்கோண பரப்பு $= \dfrac12\times16\times6 = 48$.
மொத்த மேற்பரப்பளவு2 முக்கோண முகங்கள் $= 2\times48 = 96$. 3 செவ்வக முகங்கள் $= 10\times30 + 10\times30 + 16\times30 = 300+300+480 = 1080$. மொத்த மேற்பரப்பளவு $= 96+1080 = 1176\ \text{cm}^2$.
கனவளவுஒரு செங்கோண முக்கோணி வடிவ குறுக்குவெட்டில் அடி $6$, உயரம் $8$, அரியத்தின் நீளம் $l=15$ எனில்: முக்கோண பரப்பு $A = \dfrac12(6)(8) = 24$; கனவளவு $V = 24\times15 = 360\ \text{cm}^3$.

5 பொதுவான தவறுகள்

⚠ தவறு 1$\pi r^2$ (வட்ட முகப் பரப்பு) உம் $2\pi rh$ (வளைப்பரப்பு) உம் குழப்பாதே; மொத்த மேற்பரப்பளவில் வட்ட முகம் இரண்டு உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்.
⚠ தவறு 2முக்கோண அரியத்தில் முதலில் முக்கோண முகத்தின் உயரத்தைப் பைதகரஸ் தேற்றத்தால் காண வேண்டும் — அதை விட்டுவிட்டு நேரடியாகப் பரப்பு காண முடியாது.
⚠ தவறு 3கனவளவு $=$ குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு $\times$ நீளம் — உருளைக்கும் அரியத்துக்கும் இதே ஒரே கொள்கை பொருந்தும்.
⚠ தவறு 4$\pi = \dfrac{22}{7}$ ஆரை $7$ இன் மடங்காக இருக்கும்போது பயன்படுத்த மிக எளிது — கணக்கிடும் முன் ஆரையை $7$ இன் மடங்காக்கக் கூடுமா எனப் பார்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Curved surface area = வளைப்பரப்பளவு
Total surface area = மொத்த மேற்பரப்பளவு (TSA)
Volume = கனவளவு
Cylinder = உருளை
Triangular prism = முக்கோண அரியம்
Cross-section = குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு
V = πr²h = உருளை கனவளவு
V = A × l = அரியம் கனவளவு
learn.gtdigital.tech/ol/maths/ Goperamanan Thirusenthivel, MSc · GT Digital