முக்கோணிகள் II (Isosceles Triangle Theorem) Tamil revision study sheet in plain-language paragraphs for O/L Maths Grade 10 Unit 9: the isosceles triangle theorem, its proof using the angle bisector and SAS congruency, the three-lines-coincide property, the converse theorem, and combining isosceles results with congruency, with worked example questions — grounded in the Grade 10 Unit 9 O/L Maths lesson.

🏠 O/L கணிதம் › அனைத்து மனப்படங்களும்

தரம் 10 · அலகு 9 · குறு குறிப்பு

🧠 மனப்படம்
📐
முக்கோணிகள் II — இருசமபக்கம்
Isosceles Triangle Theorem · Grade 10, Unit 9
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.

1 இருசமபக்க முக்கோணி என்றால் என்ன?

ஒரு கூரை, ஒரு கூடாரம், ஒரு பாலத்தின் முக்கோண ஆதரவு — பல நிஜ வடிவங்கள் இருசமபக்க முக்கோணங்களே (இரு பக்கம் சமநீளம் கொண்டவை). இவற்றுக்கு ஒரு அழகான பண்பு உண்டு: சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணங்களும் சமம் — இது அம்முக்கோணியின் சமச்சீரின் (symmetry) நேரடி விளைவு.

A B C AB AC
AB = AC எனில், எதிர்க் கோணங்கள் ABC = ACB

2 தேற்றம் — இருசமபக்க முக்கோணித் தேற்றம்

இரு பக்கம் சமம் $\Rightarrow$ அவற்றின் எதிர்க் கோணங்கள் சமம்.   $AB = AC \Rightarrow A\hat{B}C = A\hat{C}B$
எடுத்துக்காட்டு$AB = AC$, $A\hat{B}C = 50°$ எனில் $A\hat{C}B$ உம் $B\hat{A}C$ உம் காண வேண்டும். $$A\hat{C}B = A\hat{B}C = 50° \quad (\text{சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணங்கள்})$$ பின்னர் அகக் கூட்டுத்தொகை $180°$ ஆல்: $$B\hat{A}C = 180° - (50°+50°) = 80°$$
$AB=AC$ என்பதால் அவற்றின் எதிர்க் கோணங்களான $A\hat{C}B$, $A\hat{B}C$ சமம் என்று முதலில் எழுதி, பின் மூன்றாம் கோணத்தைக் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து கழிக்கிறோம்.

ஏன் இது உண்மை? (நிறுவல்) உச்சிக் கோணம் $B\hat{A}C$ இன் இருசமவெட்டியை $AD$ என வரைந்தால், முக்கோணங்கள் $\Delta ABD$ உம் $\Delta ACD$ உம்: $AB=AC$ (தரப்பட்டது), $B\hat{A}D=D\hat{A}C$ (இருசமவெட்டி என்பதால்), $AD$ இரண்டு முக்கோணங்களுக்கும் பொது பக்கம் — இம்மூன்றும் பொருந்துவதால் ப.கோ.ப. ஒருங்கிணைவு (SAS congruency) மூலம் $\Delta ABD \equiv \Delta ACD$. ஒருங்கிணைந்த முக்கோணங்களின் ஒத்த உறுப்புகள் சமமாக இருப்பதால் $A\hat{B}D = A\hat{C}D$ எனக் கிடைக்கிறது.

🔑 மூன்று கோடுகள் ஒன்றாகின்றனஇருசமபக்க முக்கோணியில் உச்சியிலிருந்து வரும் கோண இருசமவெட்டி, நடுக்கோடு (median), செங்குத்து (altitude), மற்றும் அடிப்பக்கச் செங்குத்து இருசமவெட்டி — எல்லாமே ஒரே ஒரு கோடுதான். மேலே நிறுவலில் $BD=DC$ உம் $A\hat{D}B = A\hat{D}C = 90°$ உம் வருவதால் இது தெளிவாகிறது.

3 தேற்றத்தின் மறுதலை (converse)

தேற்றத்தைத் திருப்பிப் பார்த்தால் என்ன கிடைக்கும்? இரு கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் எதிர் பக்கங்களும் சமமாகுமா? ஆம் — இதுவே மறுதலை.

இரு கோணம் சமம் $\Rightarrow$ அவற்றின் எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம்.   $P\hat{Q}R = P\hat{R}Q \Rightarrow PR = PQ$
எடுத்துக்காட்டு$\Delta ABC$ இல் $\hat{B}=50°$, $\hat{C}=80°$ எனில், சம பக்கச் சோடியைக் காண வேண்டும். $$\hat{A} = 180° - (50°+80°) = 50°$$ $\hat{A} = \hat{B} = 50°$ என்பதால், சம கோணங்களின் எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம்: $\hat{A}$ க்கு எதிரே $BC$; $\hat{B}$ க்கு எதிரே $AC$. எனவே: $$AC = BC \quad (\text{மறுதலையால்})$$

4 ஒருங்கிணைவுடன் இணைத்தல்

இருசமபக்க வினாக்கள் அடிக்கடி ஒருங்கிணைவையும் (அலகு 5) கோணத் தேற்றங்களையும் (அலகு 8) சேர்த்துப் பயன்படுத்தும். எடுத்துக்காட்டாக, $AB=AC$ எனவும் $BP=CQ$ ($P,Q$ புள்ளிகள் $BC$ மீது) எனவும் தரப்பட்டால்: $A\hat{B}P = A\hat{C}Q$ (சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணம்), எனவே $\Delta ABP \equiv \Delta ACQ$ (ப.கோ.ப.) → $AP=AQ$ → $\Delta APQ$ ஒரு இருசமபக்க முக்கோணி → $A\hat{P}Q = A\hat{Q}P$. இப்படி ஒரு விளைவிலிருந்து இன்னொரு விளைவு படிப்படியாகப் பிறக்கும்.

5 பொதுவான தவறு

⚠ தவறுதேற்றம் (பக்கம் → கோணம்) உம் மறுதலை (கோணம் → பக்கம்) உம் குழப்பாதே — கேள்வியில் எது தரப்பட்டுள்ளது, எது நிறுவ வேண்டியது என்று முதலில் பார்த்து, சரியான திசையைப் பயன்படுத்து. மேலும், சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணங்களே சமம் என்பதை நினைவில் கொள் — அடுத்துள்ள கோணம் அல்ல.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Isosceles triangle = இருசமபக்க முக்கோணி
Base angles = அடிக் கோணங்கள்
Angle bisector = கோண இருசமவெட்டி
Median = நடுக்கோடு
Altitude = செங்குத்து
Converse = மறுதலை
SAS congruency = ப.கோ.ப. ஒருங்கிணைவு
Congruent = ஒருங்கிணைந்த
learn.gtdigital.tech/ol/maths/ Goperamanan Thirusenthivel, MSc · GT Digital