🔢
நேர்மாறு விகிதசமன்
Inverse Proportion · Grade 10, Unit 10
இப்பக்கம் மனவரைபடத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 நேர் விகிதசமனும் நேர்மாறு விகிதசமனும்
ஒரு வேலையை அதிக ஆட்கள் செய்தால் அந்த வேலை குறைந்த நாட்களில் முடியும். வேகமாக ஓட்டினால் பயணம் குறைந்த நேரத்தில் முடியும். இந்த இரு நிலைகளிலும் ஒரு அளவு கூடும்போது மற்றொரு அளவு குறைகிறது — இதுவே நேர்மாறு விகிதசமன் (inverse proportion). இதற்கு நேர் மாறாக, நேர் விகிதசமனில் இரண்டு அளவுகளும் ஒன்றாகவே கூடும் அல்லது குறையும் — உதாரணமாக, பெட்ரோல் அளவு கூடினால் அதற்கான விலையும் கூடும்.
| வகை | நடத்தை | அட்சரகணித உறவு |
|---|
| நேர் விகிதசமன் | ஒன்று கூட மற்றொன்றும் கூடும் | $\dfrac{x}{y}=k$ |
| நேர்மாறு விகிதசமன் | ஒன்று கூட மற்றொன்று குறையும் | $xy=k$ |
இரண்டில் எது என அறிய ஒரே ஒரு எளிய சோதனை போதும்: "ஒன்று இரட்டிப்பானால் மற்றொன்று என்னவாகும்?" எனக் கேட்டுப் பார். இரட்டிப்பானால் அது நேர் விகிதம்; பாதியானால் அது நேர்மாறு விகிதம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வேலையில் ஆட்களை இரட்டித்தால் அதை முடிக்க ஆகும் நாட்கள் பாதியாகும் — எனவே இது நேர்மாறு.
2 மைய எண்ணம் — ஆட்கள் × நாட்கள் = வேலையின் அளவு
ஒரு வேலையின் மொத்த அளவு எப்போதும் மாறாது. இதை மனித-நாட்களில் (man-days) அளக்கலாம்: ஆட்களின் எண்ணிக்கை × நாட்களின் எண்ணிக்கை = ஒரு மாறிலி $k$. இதுவே நேர்மாறு விகிதசமனின் அட்சரகணித வடிவமான $xy = k$ ஆகும்.
$x\,y = k \quad\Longleftrightarrow\quad x_1 y_1 = x_2 y_2$
2.1 வேலை-நாள் கணக்கு
எடுத்துக்காட்டு$5$ ஆட்கள் ஒரு வேலையை $8$ நாட்களில் முடிப்பர். $10$ ஆட்களுக்கு எத்தனை நாட்கள் தேவை? முதலில் மொத்த வேலையை மனித-நாட்களில் காண்போம்: $5 \times 8 = 40$ மனித-நாட்கள். ஆட்கள் எத்தனையானாலும் இந்த $40$ என்ற எண் மாறாது — அதுவே வேலையின் மொத்த அளவு. இப்போது $10$ ஆட்களுக்கு எத்தனை நாட்கள் எனக் காண, $40$-ஐ $10$ ஆல் வகுத்தால் போதும்: $\dfrac{40}{10} = 4$ நாட்கள். ஆட்கள் இரட்டித்ததால் ($5 \to 10$) நாட்கள் பாதியானது ($8 \to 4$) — இது நேர்மாறு விகிதசமன் என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது.
விகித முறையும் பயன்படுத்தலாம் — ஆனால் நேர்மாறில் ஒரு பக்கத்தை இடம் மாற்றி எழுத வேண்டும். $5$ ஆட்களுக்கு $8$ நாள், $10$ ஆட்களுக்கு $x$ நாள் எனில், ஆட்கள் விகிதம் நாட்களின் தலைகீழ் விகிதத்திற்குச் சமம்: $5 : 10 = x : 8$. இதைச் சரிக்கட்டினால் $10x = 40$, ஆகவே $x = 4$ — மேலே கிடைத்த பதிலே கிடைக்கிறது.
3 நடுவில் ஆட்கள் மாறும் கடினமான வினா
சில வினாக்களில் ஆட்களின் எண்ணிக்கை நடுவில் மாறும் — இப்படிப்பட்ட வினாக்களுக்கு "மனித-நாட்கள்" உத்தியே சிறந்தது. விதி எளிது: மொத்த வேலையிலிருந்து பயன்பட்டதைக் கழித்து, மீதி வேலையைப் புதிய ஆட்களால் வகு.
எடுத்துக்காட்டு$40$ பேருக்கு $12$ நாளைக்குத் தேவையான உணவு உள்ளது. $6$ நாட்கள் கழித்து மேலும் $8$ பேர் சேர்ந்தால், மீதி உணவு எத்தனை நாட்களுக்குப் போதும்? முதலில் மொத்த உணவை மனித-நாட்களில் காண்போம்: $40 \times 12 = 480$ மனித-நாட்கள். $6$ நாட்களில் பயன்பட்டது $40 \times 6 = 240$ மனித-நாட்கள். எனவே மீதி உணவு $480 - 240 = 240$ மனித-நாட்கள். இப்போது புதிய ஆட்கள் எண்ணிக்கை $40 + 8 = 48$. மீதி நாட்கள் $= \dfrac{240}{48} = 5$ நாட்கள்.
4 அட்சரகணித வடிவம் $xy = k$ — நேரடியாகப் பயன்படுத்துதல்
ஒரே வேலையின் இரு வெவ்வேறு சந்தர்ப்பங்களுக்கும் மாறிலி $k$ ஒன்றேயாக இருப்பதால், $x_1 y_1 = x_2 y_2$ என எழுதலாம். இந்த சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தெரியாத எண்ணைக் காண்பது மிக எளிது.
எடுத்துக்காட்டு 1$8$ ஆட்கள் ஒரு வேலையை $9$ நாட்களில் முடிப்பர். அதே வேலையை $6$ ஆட்கள் முடிக்க எத்தனை நாட்கள்? $x_1y_1 = x_2y_2$ படி $8 \times 9 = 6 \times y$, அதாவது $6y = 72$, எனவே $y = 12$ நாட்கள்.
எடுத்துக்காட்டு 2ஒரு குழு ஒரு வேலையை $9$ நாட்களில் முடிக்கும் திட்டமிட்டது. அதில் $3$ பேர் கூடுதலாகச் சேர்த்தால் $6$ நாட்களில் முடியும். தொடக்கக் குழுவில் எத்தனை ஆட்கள் இருந்தனர்? தொடக்க ஆட்கள் $x$ எனில், $x \times 9 = (x+3) \times 6$. இதைத் திறந்தால் $9x = 6x + 18$, அதாவது $3x = 18$, எனவே $x = 6$.
5 வேகம்-நேரம் வினாக்களும் பரீட்சைக் குறிப்பும்
தூரம் மாறாத வினாக்களில், வேகம் × நேரம் = மாறிலி (தூரம்) என்ற அதே நேர்மாறு உறவே பயன்படும். எடுத்துக்காட்டாக, $40$ km/h வேகத்தில் $\tfrac12$ மணி நேரத்தில் $20$ km தூரம் கடக்கப்படுகிறது ($40 \times 0.5 = 20$). அதே $20$ km தூரத்தை $50$ km/h வேகத்தில் கடக்க ஆகும் நேரம் $\dfrac{20}{50} = 0.4$ மணி, அதாவது $24$ நிமிடம்.
6 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1நேர்மாறு விகிதசமனில் நேராக விகிதம் போடாதே — $5:10 = 8:x$ என எழுதுவது தவறு; சரியான வடிவம் $5:10 = x:8$ (ஒரு பக்கம் தலைகீழாக்கப்பட வேண்டும்).
⚠ தவறு 2சந்தேகம் வந்தால் விகிதத்தை நம்பாமல் "ஆட்கள் × நாட்கள் = மாறிலி" (மனித-நாட்கள்) உத்தியைப் பயன்படுத்து — இது எப்போதும் சரியாகும்.
⚠ தவறு 3எல்லா உறவும் நேர்மாறு அல்ல. உதாரணமாக வட்ட ஆரையும் பரப்பும் நேர்மாறு உறவு கிடையாது ($A \propto r^2$) — ஒவ்வொரு வினாவிலும் இரட்டிப்புச் சோதனை செய்தே வகையை உறுதிசெய்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Inverse proportion = நேர்மாறு விகிதசமன்
Direct proportion = நேர் விகிதசமன்
xy = k = நேர்மாறு உறவின் சூத்திரம்
Man-days = மனித-நாட்கள் உத்தி
x₁y₁ = x₂y₂ = இரு சந்தர்ப்ப ஒப்பீடு
Doubling test = இரட்டிப்புச் சோதனை
Speed × Time = வேகம் × நேரம் = தூரம்