🎲
நிகழ்தகவு
Probability · Grade 10, Unit 30
இப்பக்கம் மனவரைபடத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 அடிப்படை நிகழ்தகவு
"நாளை மழை பெய்யும் வாய்ப்பு $70\%$" என்ற வானிலை அறிவிப்பைக் கேட்டிருப்பீர்கள். $70\% = 0.7$ என்பது மழை நடக்கும் வாய்ப்பை $0$ (நடக்காது) முதல் $1$ (நிச்சயம் நடக்கும்) வரையிலான ஒரு எண்ணால் அளக்கிறது — இதுவே நிகழ்தகவு (probability). நேர்மையான நாணயம் அல்லது தாயம் போல எல்லா பெறுகளும் சமதகவுடையன எனில், நிகழ்தகவைக் காண்பது எளிது: சாதகப் பெறுகள் ÷ மொத்தப் பெறுகள்.
$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{\text{நிகழ்ச்சியின் பெறுகள்}}{\text{மாதிரி வெளியின் பெறுகள்}}$
எடுத்துக்காட்டு$1$ முதல் $5$ வரை எண் போட்ட அட்டைகள் உள்ளன. இரட்டை எண் வருவதற்கான நிகழ்ச்சி $A = \{2, 4\}$. மொத்தப் பெறுகள் $n(S) = 5$, சாதகப் பெறுகள் $n(A) = 2$, ஆகவே $P(A) = \dfrac{2}{5}$.
தாயம் எறியும்போது மாதிரி வெளி $\{1,2,3,4,5,6\}$. $4$ வருவதற்கான நிகழ்தகவு $P(4) = \dfrac{1}{6}$ — இது ஒரே ஒரு பெறு கொண்ட எளிய நிகழ்ச்சி. ஒற்றை எண் வருவதற்கு $\{1,3,5\}$, ஆகவே $P(\text{ஒற்றை}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ — இது பல பெறு கொண்ட கூட்டு நிகழ்ச்சி. $2$-க்கும் கூடிய எண் ($\{3,4,5,6\}$) வருவதற்கு $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
2 ஒன்றிப்பும் இடைவெட்டலும் — கூட்டல் விதி
இரு நிகழ்ச்சிகள் $A$, $B$ இருந்தால், $A \cup B$ (ஒன்றிப்பு) என்பது $A$ அல்லது $B$ அல்லது இரண்டும் நிகழ்வதைக் குறிக்கும்; $A \cap B$ (இடைவெட்டல்) என்பது $A$ மற்றும் $B$ இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்வதைக் குறிக்கும். இரண்டு நிகழ்ச்சிகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்க்கும்போது இடைவெட்டலை இருமுறை எண்ணிவிடக் கூடாது என்பதற்காக அதைக் கழிக்க வேண்டும்:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
எடுத்துக்காட்டு$S = \{1,2,3,4,5\}$, $A = \{3,4,5\}$, $B = \{2,4\}$. இங்கு $A \cap B = \{4\}$ (இரண்டிலும் உள்ள ஒரே எண்), $A \cup B = \{2,3,4,5\}$. கூட்டல் விதிப்படி $P(A \cup B) = \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$. நேரடியாக $A \cup B$-இன் பெறுகளை எண்ணினாலும் $\dfrac{4}{5}$ கிடைத்து சரிபார்க்கலாம்.
3 தம்முன்புறத்துக்கும் நிகழ்ச்சிகள்
இரு நிகழ்ச்சிகளுக்கும் பொது மூலகம் இல்லாதபோது ($A \cap B = \emptyset$), அவை தம்முன்புறத்துக்கும் நிகழ்ச்சிகள் (mutually exclusive) என அழைக்கப்படும் — அதாவது இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் நிகழவே முடியாது. இப்போது $P(A \cap B) = 0$ ஆவதால், கூட்டல் விதி எளிமையாகிறது:
$A \cap B = \emptyset \;\Rightarrow\; P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
எடுத்துக்காட்டுதம்முன்புறத்துக்கும் நிகழ்ச்சிகள் $X$, $Y$ இற்கு $P(X) = \dfrac{1}{6}$, $P(Y) = \dfrac{7}{12}$. இவை தம்முன்புறத்துக்கும் என்பதால் $P(X \cap Y) = 0$. கூட்டல் விதிப்படி $P(X \cup Y) = \dfrac{2}{12} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$.
4 நிரப்பி நிகழ்ச்சி
ஒரு நிகழ்ச்சி $A$ நிகழாமல் போவது அதன் நிரப்பி எனப்படும், $A'$ எனக் குறிக்கப்படும். $A$ மற்றும் $A'$ சேர்ந்தால் முழு மாதிரி வெளி கிடைக்கும் ($A \cup A' = S$), இரண்டுக்கும் பொது மூலகம் இல்லை ($A \cap A' = \emptyset$). எனவே:
$P(A') = 1 - P(A)$
எடுத்துக்காட்டு$P(A) = \dfrac{2}{7}$, $P(B) = \dfrac{3}{7}$, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{14}$ எனில், முதலில் அனைத்தையும் $14$-பகுதியாக்கு: $P(A \cup B) = \dfrac{4}{14} + \dfrac{6}{14} - \dfrac{1}{14} = \dfrac{9}{14}$. நிரப்பி விதிப்படி $P(A') = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$; அதேபோல $P\big((A \cup B)'\big) = 1 - \dfrac{9}{14} = \dfrac{5}{14}$. நேரடியாகக் கணக்கிடுவதைவிட நிரப்பியைப் பயன்படுத்துவது பல வினாக்களில் விரைவானது.
5 நெடியாரி (Grid) முறை
இரு பொருள்களை (இரு தாயம், அல்லது தாயம் + நாணயம்) ஒரே நேரத்தில் எறியும்போது, எல்லா சாத்தியமான பெறுகளையும் ஒரு நெடியாரியில் (grid) வரிசையாகவும் நிரையாகவும் அடுக்கிக் காட்டலாம். இதனால் மொத்தப் பெறுகள் வரிசை $\times$ நிரை என எளிதாகக் கிடைக்கும்.
எடுத்துக்காட்டுஇரு நாணயங்களை ஒரே நேரத்தில் எறிந்தால், நெடியாரியில் $2 \times 2 = 4$ பெறுகள் கிடைக்கும்: $S = \{HH, HT, TH, TT\}$. இரண்டும் தலை வருவதற்கு $P(HH) = \dfrac{1}{4}$. குறைந்தது ஒரு தலையேனும் வருவதற்கு (அதாவது $HH$, $HT$, $TH$) $\dfrac{3}{4}$, அல்லது எளிதாக $HT, TH$ ஆகிய இரண்டையும் எண்ணி $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ ($HH$ தவிர ஒன்று மட்டும் தலை).
6 சாரா நிகழ்ச்சிகளும் மர வரைபடமும்
ஒரு நிகழ்ச்சியின் விளைவு மற்றொன்றில் தாக்கம் செலுத்தாதபோது (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நாணயத்தை இருமுறை எறிதல், அல்லது மீள்வைத்துப் பந்து எடுத்தல்), அவை சாரா நிகழ்ச்சிகள் (independent events) எனப்படும். சாரா நிகழ்ச்சிகள் இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் நிகழ வாய்ப்பைக் காண பெருக்கல் விதி பயன்படும்:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
கவனிக்க: தம்முன்புறத்துக்கும் நிகழ்ச்சிகள் ஒரே நேரத்தில் நடக்கவே முடியாது (எனவே கூட்டு); சாரா நிகழ்ச்சிகள் ஒரே நேரத்தில் நடக்கலாம், ஆனால் ஒன்று மற்றதன் மீது தாக்கம் செலுத்தாது (எனவே பெருக்கு) — இவ்விரண்டையும் குழப்பிக் கொள்ளக் கூடாது.
எடுத்துக்காட்டு 1சாரா நிகழ்ச்சிகள் $X$, $Y$ இற்கு $P(X) = \dfrac{1}{3}$, $P(Y) = \dfrac{1}{4}$. பெருக்கல் விதிப்படி $P(X \cap Y) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$. எனவே $P(X \cup Y) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.
எடுத்துக்காட்டு 2 — மர வரைபடம்ஒரு நாணயத்தை இருமுறை எறிகிறோம். ஒவ்வொரு கிளையிலும் தலை/பூ வருவதற்கான வாய்ப்பு $\dfrac{1}{2}$. மர வரைபடத்தில் ஒரு பாதி வழியாக (branch வழியாக) செல்லும்போது வாய்ப்புகளை பெருக்க வேண்டும்: இருமுறையும் தலை வர $P(HH) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$. குறைந்தது ஒரு பூவேனும் வர $1 - P(HH) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ (நிரப்பி விதி பயன்படுத்தப்பட்டது).
7 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1நிகழ்தகவு எப்போதும் $0 \le P \le 1$ இற்குள் இருக்க வேண்டும் — இதற்கு வெளியே பதில் வந்தால் கணக்கில் தவறு உள்ளது.
⚠ தவறு 2$P(A \cup B)$ காணும்போது $P(A \cap B)$ ஐக் கழிக்க மறக்காதே (தம்முன்புறத்துக்கும் நிகழ்ச்சிகளுக்கு மட்டும் இது தேவையில்லை, ஏனெனில் அங்கு அது $0$).
⚠ தவறு 3நிரப்பி வழி விரைவானது: $P(A') = 1 - P(A)$. நெடியாரியில் மொத்தப் பெறுகள் $=$ வரிசை $\times$ நிரை.
⚠ தவறு 4சாரா நிகழ்ச்சிகளுக்குப் பெருக்கு ($P(A) \times P(B)$); தம்முன்புறத்துக்கும் நிகழ்ச்சிகளுக்குப் கூட்டு ($P(A) + P(B)$) — இவ்விரண்டை மாற்றிப் பயன்படுத்தாதே. நினைவில் கொள்ள: "மர வரைபடத்தில் ஒரு கிளை வழியே பெருக்கு, வெவ்வேறு கிளைகளுக்கிடையே கூட்டு."
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Probability = நிகழ்தகவு P(A) = n(A)/n(S)
Union = ஒன்றிப்பு (A ∪ B)
Intersection = இடைவெட்டல் (A ∩ B)
Mutually exclusive = தம்முன்புறத்துக்கும்
Complement = நிரப்பி P(A') = 1 − P(A)
Sample space = மாதிரி வெளி (S)
Grid method = நெடியாரி முறை
Independent events = சாரா நிகழ்ச்சிகள்
Tree diagram = மர வரைபடம்
Multiplication rule = பெருக்கல் விதி P(A∩B)=P(A)P(B)