ஒரே வடிவமும் ஒரே அளவும் கொண்ட இரு உருவங்களை ஒன்றின்மேல் ஒன்றாக வைத்தால் சரியாகப் பொருந்தும் — அவை ஒருங்கிணைவானவை (congruent) என அழைக்கப்படும், $\Delta ABC \equiv \Delta PQR$ என எழுதப்படும். ஒரு முக்கோணியில் மூன்று பக்கங்களும் மூன்று கோணங்களும் — மொத்தம் ஆறு உறுப்புகள் உள்ளன. இரு முக்கோணிகள் ஒருங்கிணைந்தால் ஒத்த உறுப்புகள் அனைத்தும் சமமாக இருக்கும். ஆனால் இதைக் காட்ட ஆறு உறுப்புகளையும் சரிபார்க்க வேண்டியதில்லை — சரியான மூன்று உறுப்புகள் சமம் என நிரூபித்தால் போதும், மீதி மூன்றும் தானாகப் பொருந்திவிடும்.
| பெயர் | தேவையான மூன்று உறுப்புகள் |
|---|---|
| ப.கோ.ப. (SAS) | இரு பக்கம் + அவற்றின் அடைக் கோணம் சமம் |
| கோ.கோ.ப. (AAS) | இரு கோணம் + ஒரு ஒத்த பக்கம் சமம் |
| ப.ப.ப. (SSS) | மூன்று பக்கங்களும் சமம் |
| செ.ப.ப. (RHS) | செங்கோணம் + செம்பக்கம் (hypotenuse) + ஒரு பக்கம் சமம் |
நிரூபணம் என்பது ஒரு தர்க்க அடுக்கு — ஒவ்வொரு கூற்றுக்கும் ஒரு காரணம் தேவை. வடிவம் நான்கு படிகள்: (1) எந்த இரு முக்கோணிகள் எனச் சொல்; (2) சமமான மூன்று உறுப்புகளை அடுக்கி, ஒவ்வொன்றுக்கும் காரணம் (தரப்பட்டது / பொது பக்கம் / குத்துவெட்டுக் கோணம் / வட்ட ஆரை …) தருக; (3) எந்தச் சந்தர்ப்பம் என்பதைக் கூறி $\equiv$ எனக் குறிக்க; (4) "ஒத்த உறுப்புகள் சமம்" என்பதைப் பயன்படுத்தி மீதி வேண்டியதைத் தருக.
பல வினாக்களில் மூன்றாவது சமக் கூறு படத்திலேயே மறைந்திருக்கும் — இவற்றைத் தேட வேண்டும்:
ஒரு வட்டத்தின் மையம் $O$ இலிருந்து நாண் $AB$-க்கு ஒரு செங்குத்துக் கோடு $OX$ வரையப்படுகிறது. $\Delta OXA$, $\Delta OXB$ ஆகிய முக்கோணிகளை ஒப்பிட்டால்: $\hat{OXA} = \hat{OXB} = 90°$ (செங்கோணம்), செம்பக்கம் $OA = OB$ (இரண்டும் ஒரே வட்டத்தின் ஆரைகள்), $OX$ பொது பக்கம் — எனவே செ.ப.ப. பொருந்தி $\Delta OXA \equiv \Delta OXB$.
இதிலிருந்து $AX = BX$ கிடைக்கிறது — அதாவது வட்ட மையத்திலிருந்து ஒரு நாணுக்கு வரையும் செங்குத்துக் கோடு அந்த நாணை இரு சம பாதிகளாகப் பிரிக்கும். இந்த முடிவு பின்னர் "வட்டத்தின் நாண்கள்" எனும் அலகில் மீண்டும் பயன்படுத்தப்படும்.