🔢
பின்னங்கள்
Fractions · Grade 10, Unit 3
இப்பக்கம் மனவரைபடத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 பின்னத்தின் பாகங்களும் வகைகளும்
ஒரு சாக்லேட்டை பத்துச் சம துண்டுகளாக உடைத்துப் பாருங்கள். ஒரு துண்டு முழுச் சாக்லேட்டின் $\dfrac{1}{10}$; மூன்று துண்டுகள் $\dfrac{3}{10}$. "ஒரு வகுப்பின் $\dfrac23$ பேர் பெண் பிள்ளைகள்", "தொட்டியின் $\dfrac34$ நீர் தீர்ந்தது" — அன்றாடப் பேச்சில் பகுதியைக் குறிக்க நாம் எப்போதும் பின்னங்களையே பயன்படுத்துகிறோம். எப்போதும் "எதன்" பின்னம் என்பதை (அதாவது முழு அளவு எது) மனதில் வைத்திருப்பதே இந்த அலகின் சாவி.
$\dfrac26$ இல், கீழே உள்ள $6$ பகுதி (denominator) — முழு அலகு எத்தனை சம பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டதோ அதைக் குறிக்கும்; மேலே உள்ள $2$ தொகுதி (numerator) — அதில் எத்தனை எடுக்கப்பட்டது என்பதைக் குறிக்கும்.
| வகை | விளக்கம் | எடுத்துக்காட்டு |
|---|
| முறைமைப் பின்னம் | தொகுதி $<$ பகுதி | $\tfrac{2}{6}$, $\tfrac{7}{12}$ |
| முறைமையில்லாப் பின்னம் | தொகுதி $>$ பகுதி | $\tfrac{11}{4}$ |
| அலகுப் பின்னம் | தொகுதி $=1$ | $\tfrac15$ |
| கலப்பெண் | முழுஎண் + பின்னம் | $2\tfrac34$ |
கலப்பெண் ↔ முறைமையில்லாப் பின்னம்எளிய வழி: $2\tfrac34 = \dfrac{(2\times4)+3}{4} = \dfrac{11}{4}$. திரும்ப: $\tfrac72 = 3\tfrac12$ ($7\div2 = 3$, மீதி $1$).
2 சமவளவுப் பின்னங்கள் — எல்லாவற்றுக்கும் அடிப்படை
$\dfrac12 = \dfrac24 = \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{10}$ — இவை ஒரே அளவைக் குறிக்கும் சமவளவுப் பின்னங்கள். தொகுதியையும் பகுதியையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்கினால் (அல்லது வகுத்தால்) பெறுமானம் மாறாது.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1\times 3}{2\times 3} = \dfrac{3}{6}, \qquad \dfrac{8}{20} = \dfrac{8\div 4}{20\div 4} = \dfrac{2}{5}$
இது ஏன் முக்கியம்? பகுதி வேறுபட்ட பின்னங்களை ஒப்பிடவோ, கூட்டவோ, கழிக்கவோ — முதலில் அவற்றை ஒரே பகுதி கொண்ட சமவளவுப் பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும். $\dfrac23$ vs $\dfrac34$ ஐ ஒப்பிட: $\dfrac23 = \dfrac{8}{12}$, $\dfrac34 = \dfrac{9}{12}$ → $\dfrac{9}{12} > \dfrac{8}{12}$, எனவே $\dfrac34 > \dfrac23$.
3 கூட்டலும் கழித்தலும் — பொதுப் பகுதி காண்
பகுதி ஒன்றாக இருந்தால் வேலை எளிது — தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டு/கழி: $\dfrac{2}{10}+\dfrac{3}{10} = \dfrac{5}{10}$. பகுதி வேறுபட்டால், முதலில் பொதுப் பகுதிக்கு (LCD) மாற்ற வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு$\dfrac23 + \dfrac14$ ஐக் காண்க. பகுதிகள் $3$, $4$; இவற்றின் சிறிய பொது மடங்கு $12$. ஒவ்வொன்றையும் $12$-பகுதியாக்கு: $\dfrac23 = \dfrac{2\times4}{3\times4}=\dfrac{8}{12}$, $\dfrac14 = \dfrac{1\times3}{4\times3}=\dfrac{3}{12}$. இப்போது பகுதி ஒன்றானதால் தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டு: $\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.
⚠ பொதுவான தவறு$\dfrac23+\dfrac14$ ஆனது $\dfrac{2+1}{3+4}=\dfrac37$ அல்ல! பகுதிகளைக் கூட்டக் கூடாது. முதலில் பொதுப் பகுதிக்கு மாற்றி, பின் தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டு.
4 பெருக்கலும் வகுத்தலும்
பெருக்கல் மிக எளிது — தொகுதியைத் தொகுதியால், பகுதியைப் பகுதியால் பெருக்கினால் போதும். "$\dfrac34$ இன் $\dfrac12$" என்பதில் "இன்" என்ற சொல் பெருக்கலைக் குறிக்கும்:
$\dfrac34 \text{ இன் } \dfrac12 = \dfrac34 \times \dfrac12 = \dfrac{3\times1}{4\times2} = \dfrac{3}{8}$
வகுத்தல் இல் ஒரே ஒரு புதிய எண்ணம் — ஒரு பின்னத்தால் வகுப்பது என்பது அதன் நிகர்மாறால் (தலைகீழ்) பெருக்குவதற்குச் சமம். $\dfrac{a}{b}$-இன் நிகர்மாறு $\dfrac{b}{a}$.
எடுத்துக்காட்டு$\dfrac13 \div \dfrac16$ ஐக் காண: $\dfrac16$ ஆல் வகுப்பதற்குப் பதிலாக அதன் நிகர்மாறு $\dfrac61$ ஆல் பெருக்கு: $\dfrac13 \times \dfrac61 = \dfrac{6}{3} = 2$. "$\dfrac13$ இல் எத்தனை $\dfrac16$ உண்டு?" எனக் கேட்டால் பதில் $2$ — இது பொருளோடு பொருந்துகிறது. முழுஎண்ணால் வகுத்தலும் இதே: $\dfrac35 \div 2 = \dfrac35 \times \dfrac12 = \dfrac{3}{10}$ ($2 = \dfrac21$, அதன் நிகர்மாறு $\dfrac12$).
5 செய்கைகளின் ஒழுங்கு (BODMAS)
பல செய்கைகள் சேர்ந்த கோவையில் ஒழுங்கு முக்கியம்: Brackets (அடைப்புகள்) → Of ("இன்") → Division/Multiplication (வகுத்தல்/பெருக்கல், இடமிருந்து வலம்) → Addition/Subtraction (கூட்டல்/கழித்தல்).
எடுத்துக்காட்டு$\left(2\tfrac23 - 1\tfrac12 + \tfrac56\right) \div \left(1\tfrac23 \text{ இன் } \tfrac45\right)$ ஐக் காண்க. முதலில் கலப்பெண்களை முறைமையில்லாப் பின்னமாக மாற்று: $\left(\dfrac83 - \dfrac32 + \dfrac56\right) \div \left(\dfrac53 \times \dfrac45\right)$. அடைப்புகளை முதலில் தீர்: இடப்பக்கம் பொதுப் பகுதி $6$-இல் $\dfrac{16-9+5}{6} = \dfrac{12}{6}=2$; வலப்பக்கம் "இன்" = பெருக்கல் $\dfrac53\times\dfrac45=\dfrac{4}{3}$. இறுதியாக வகுத்தல் → நிகர்மாறால் பெருக்கல்: $2 \div \dfrac43 = \dfrac21 \times \dfrac34 = \dfrac{3}{2} = 1\tfrac12$.
6 சொல் வடிவப் பிரச்சினைகள் (மிக முக்கியம்)
பரீட்சையில் பெரும்பாலும் பின்னம் சொல் வடிவில் வரும். இரண்டே வகை: (1) "முழுவின் இவ்வளவு பகுதி எவ்வளவு?" → முழுவை பின்னத்தால் பெருக்கு; (2) "இவ்வளவு பகுதி = இவ்வளவு அளவு, முழு எவ்வளவு?" → அலகுப் பின்னம் ($1$ பங்கு) கண்டு, மடங்காக்கு.
வகை 2 எடுத்துக்காட்டுபேருந்தில் செல்லும் தூரம் மொத்தத் தூரத்தின் $\dfrac35$, அது $12$ km. முழுத் தூரம் எவ்வளவு? முதலில் ஒரு பங்கு ($\dfrac15$) கண்டுபிடி: $\dfrac15$ பகுதி $= 12 \div 3 = 4$ km. முழு ($\dfrac55$) $=5$ பங்கு: முழுத் தூரம் $= 4 \times 5 = 20$ km.
எஞ்சும் பகுதி வினாக்களில் கவனம் தேவை: "மீதியில் $\dfrac14$" என்றால் முழுவின் $\dfrac14$ அல்ல — அந்நேர மீதியின் $\dfrac14$. எடுத்துக்காட்டு: புத்தகங்களுக்கு $\dfrac23$ செலவழித்தபின், மீதி $\dfrac13$; அதில் போக்குவரத்திற்குச் செலவானது $\dfrac13$ இன் $\dfrac14 = \dfrac13 \times \dfrac14 = \dfrac{1}{12}$ (முழுவின் அல்ல).
7 தேர்வுக் குறிப்பு
⭐ நினைவில் கொள்"மீதியில்…", "எஞ்சியதில்…" எனக் கண்டால் — அது முழுவை அல்ல, அந்த நேரத்து மீதியை அலகாகக் கொள்கிறது. முதலில் மீதிப் பின்னத்தைக் கண்டு, அதன்மீது அடுத்த பின்னத்தைப் பெருக்கு.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Numerator = தொகுதி
Denominator = பகுதி
Proper fraction = முறைமைப் பின்னம்
Improper fraction = முறைமையில்லாப் பின்னம்
Mixed number = கலப்பெண்
Equivalent fractions = சமவளவுப் பின்னங்கள்
LCD = பொதுப் பகுதி
Reciprocal = நிகர்மாறு
BODMAS = செய்கை ஒழுங்கு
"of" = "இன்" = பெருக்கல்