⚖️
அட்சரகணிதச் சமனிலிகள்
Algebraic Inequalities · Grade 10, Unit 25
இப்பக்கம் மனவரைபடத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 சமனிலி என்றால் என்ன?
கடைக்குப் போய் $x$ கிலோ பழம் வாங்குகிறீர்கள் — ஒரு கிலோ ரூ.$15$, மொத்த செலவு ரூ.$100$-க்கு மிகாமல் இருக்க வேண்டும் என வைக்கலாம். இதை $15x \le 100$ என எழுதலாம் — இது ஒரு சமனிலி (inequality). சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு மதிப்பு விடையாகக் கிடைக்கும்; சமனிலியில் ஒரு மதிப்பு வீச்சு கிடைக்கும் ($x \le 6.67$, எனவே அதிகூடியது $6$ கிலோ). சமன்பாட்டுத் தீர்வு விதிகளே இங்கும் பயன்படும் — ஒரே ஒரு விதிவிலக்கு தவிர.
2 தங்கவிதி — மறையெண்ணால் பெருக்கு/வகுக்கும்போது
மறையெண்ணால் ×/÷ செய்தால் குறியீடு திரும்பும்: $> \to <$ • $\ge \to \le$
கூட்டல்/கழித்தல் செய்யும்போதும், நேரெண்ணால் பெருக்கும்/வகுக்கும்போதும் குறியீடு மாறாது. ஆனால் மறையெண்ணால் பெருக்கினால் அல்லது வகுத்தால் மட்டும் குறியீடு திரும்ப வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு 1$x + 20 > 50 \Rightarrow x > 30$ (கூட்டல்/கழித்தலில் குறி மாறாது). முழுஎண் தீர்வு: $\{31, 32, 33, \ldots\}$.
எடுத்துக்காட்டு 2$-3x \ge 12$: இரு பக்கத்தையும் $-3$ ஆல் வகு — மறையெண் என்பதால் குறியீடு திரும்பும்: $x \le \dfrac{12}{-3} = -4$. சரிபார்க்க: $-3 \times (-5) = 15 \ge 12$ ✓ ஆனால் $-3 \times 0 = 0 \not\ge 12$ — எனவே $x \le -4$ சரி.
3 எண்கோட்டில் குறித்தல்
திறந்த வட்டம் ($\circ$) = அந்த எண் தீர்வில் சேராது ($>, <$); நிறை வட்டம் ($\bullet$) = அந்த எண் தீர்வில் சேரும் ($\ge, \le$). $x > 3$ எனில் $3$-இல் திறந்த வட்டம் இட்டு, அதிலிருந்து வலப்பக்கமாக (பெரிய எண்கள் நோக்கி) அம்புக்குறியுடன் கோடு வரையப்படும்.
4 $ax + b \ge c$ வடிவச் சமனிலிகள்
சுற்றளவு கணக்குஒரு செவ்வகத்தின் சுற்றளவு $30$ அலகுகளுக்குக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்: $2x + 10 < 30 \Rightarrow 2x < 20 \Rightarrow x < 10$. கூடவே நீளம் அகலத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் ($x > 5$) எனில், இரண்டையும் இணைத்தால் தீர்வு $5 < x < 10$, முழுஎண்களில் $\{6, 7, 8, 9\}$.
எடுத்துக்காட்டு$3 - 2x \le 9 \Rightarrow -2x \le 6$. இப்போது $-2$ ஆல் வகுக்க வேண்டும் — மறையெண் என்பதால் குறியீடு திரும்பும்: $x \ge -3$.
பழ விலை கணக்கு$60 + 2y \le 100 \Rightarrow 2y \le 40 \Rightarrow y \le 20$. அதிகூடிய முழுஎண் விலை ரூ.$20$.
5 ஆள்கூற்றுத் தளத்தில் பிரதேசம்
ஒரு கோடு தளத்தை இரண்டாகப் பிரிக்கிறது. $x = 3$ போன்ற ஒரு நிலைக்குத்துக் கோடு எடுத்தால் — வலப்பக்கம் $x > 3$, இடப்பக்கம் $x < 3$. $y = x$ போன்ற ஒரு சாய்வுக் கோடு எடுத்தால் — கோட்டுக்கு மேலே $y > x$, கீழே $y < x$.
கோட்டின் வகை முக்கியம்: புள்ளிக்கோடு (dashed line) = அந்தக் கோடு தீர்வில் சேராது ($>, <$); தடிப்புக்கோடு (solid line) = அந்தக் கோடு தீர்வில் சேரும் ($\ge, \le$). $x > 3$ ஐ வரைபடத்தில் காட்ட, $x=3$ கோட்டைப் புள்ளிக்கோடாக வரைந்து, அதன் வலப்புறத்தை நிழற்ற வேண்டும்.
6 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1மறையெண்ணால் பெருக்கும்/வகுக்கும்போது மட்டுமே குறியீடு திரும்பும் — கூட்டல்/கழித்தலில் திரும்பாது.
⚠ தவறு 2$>, <$ → திறந்த வட்டம் / புள்ளிக்கோடு; $\ge, \le$ → நிறை வட்டம் / தடிப்புக்கோடு. இவற்றைக் குழப்பிக் கொள்ளக் கூடாது.
⚠ தவறு 3"அதிகூடிய முழுஎண்" எனக் கேட்டால், வீச்சின் விளிம்பு ஏற்கனவே முழுஎண்ணா எனப் பார்க்க வேண்டும் ($y \le 20$ எனில் விடை $20$; ஆனால் $p < 166.67$ எனில் விடை $166$, $167$ அல்ல).
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Inequality = சமனிலி
Sign flip rule = தங்கவிதி (குறி திரும்புதல்)
Open circle = திறந்த வட்டம் (>, <)
Closed circle = நிறை வட்டம் (≥, ≤)
Dashed line = புள்ளிக்கோடு
Solid line = தடிப்புக்கோடு
Region = பிரதேசம்
Number line = எண்கோடு