🔢
சமன்பாடுகள்
Equations · Grade 10, Unit 15
இப்பக்கம் மனவரைபடத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 சமன்பாடு ஏன்?
"$60$ மாங்காய்கள் சில நண்பர்களுக்குச் சமமாகப் பகிரப்பட்டன; ஒருவன் $3$ விற்றபின் $2$ எஞ்சின — நண்பர்கள் எத்தனை?" இதை யூகித்தும் தீர்க்கலாம், ஆனால் சமன்பாடு ஒரு நம்பகமான இயந்திரம் — தெரியாததை $x$ எனக் குறித்து, சொல்லை சமன்பாடாக்கி, தீர்த்தால் பதில் நேரடியாகக் கிடைக்கும். இந்தப் பாடம் மூன்று வகைச் சமன்பாடுகளைச் செய்துகாட்டுகிறது: (1) பின்னச் சமன்பாடு ($x$ பகுதியில்), (2) ஒருங்கமை சமன்பாடு (இரு தெரியாதவை), (3) இருபடிச் சமன்பாடு (காரணியால்).
நினைவுபடுத்தல் — எளிய சமன்பாடு: இரு பக்கத்திற்கும் ஒரே செயலைச் செய்து $x$ ஐத் தனிமைப்படுத்து. $2x+8 = x+12 \Rightarrow x = 4$. பின்னம் இருந்தால் பகுதியால் பெருக்கி நீக்கு.
2 பின்னச் சமன்பாடு ($x$ பகுதியில்)
தெரியாதது $x$ பகுதியில் (denominator) இருந்தால்: முதலில் இடப்பக்கத்தை ஒரே பின்னமாக்கு (தேவைப்பட்டால் பொ.ம.க.சி பயன்படுத்து), பின் குறுக்குப் பெருக்கல் (cross-multiply) செய்து $x$ ஐக் காண்.
எடுத்துக்காட்டு 1$\dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{a} = \dfrac{1}{2}$: இடப்பக்கம் ஏற்கனவே ஒரே பகுதி என்பதால் நேரடியாகக் கூட்டு: $\dfrac{5}{a} = \dfrac{1}{2}$. குறுக்குப் பெருக்கல்: $5\times2 = 1\times a$, எனவே $a = 10$.
எடுத்துக்காட்டு 2$\dfrac{2}{x+5} = \dfrac{3}{2(x-3)}$: குறுக்குப் பெருக்கல் செய்: $2 \times 2(x-3) = 3(x+5)$, அதாவது $4x-12 = 3x+15$. $x$ உள்ள உறுப்புகளை ஒரு பக்கமும் எண்களை மறு பக்கமும் கொண்டுவந்தால் $x = 27$.
சொல் வடிவம்$60$ மாங்காய்களை $x$ நண்பர்களுக்குப் பங்கிட்டால் ஒருவருக்கு $\dfrac{60}{x}$ கிடைக்கும். அதில் $3$ விற்றபின் $2$ எஞ்சின எனில்: $\dfrac{60}{x} - 3 = 2$, அதாவது $\dfrac{60}{x} = 5$. குறுக்குப் பெருக்கல் செய்தால் $5x = 60$, எனவே $x = 12$ நண்பர்கள்.
3 ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் (இரு தெரியாதவை)
இரு தெரியாதவை ($x$, $y$) இருக்கும்போது அவற்றைத் தீர்க்க இரு சமன்பாடுகள் தேவை. இதற்கு இரண்டு வழிமுறைகள் உண்டு: (அ) நீக்கல் முறை — ஒரு மாறியின் குணகத்தைச் சமப்படுத்திக் கூட்டு அல்லது கழி; (ஆ) பிரதியிடல் முறை — ஒரு சமன்பாட்டை மற்றொன்றில் இடு (ஒரு சமன்பாடு ஏற்கனவே "$x = \ldots$" வடிவில் இருந்தால் இது எளிது).
நீக்கல் முறை$x+2y=110$ ①, $2x+3y=190$ ②. ① இன் இரு பக்கங்களையும் $2$ ஆல் பெருக்கு: $2x+4y=220$ ③. இப்போது $x$ இன் குணகம் ② மற்றும் ③ இரண்டிலும் $2$ ஆனதால், ③ இலிருந்து ② ஐக் கழித்தால் $x$ நீங்கும்: $y = 30$. இதை ① இல் பிரதியிட்டால் $x + 60 = 110$, எனவே $x = 50$.
பிரதியிடல் முறை$2x+y=80$ ①, $2x=3y$ ②. ② இல் $2x = 3y$ என்பதால், அதை ① இல் நேரடியாக $2x$-க்குப் பதிலாக இடு: $3y + y = 80$, எனவே $y = 20$. மீண்டும் ② இல் பிரதியிட: $2x = 60$, எனவே $x = 30$.
4 இருபடிச் சமன்பாடு (காரணிப்படுத்தலால்)
$ax^2+bx+c = 0$ வடிவமுள்ள சமன்பாடுகளுக்கு திறவுகோல் இது: இரு எண்களின் பெருக்கல் $0$ எனில், அவற்றுள் ஒன்றேனும் $0$ ஆக இருக்க வேண்டும். எனவே இருபடிக் கோவையைக் காரணிப்படுத்தி, ஒவ்வொரு காரணியையும் $0$ ஆக்கினால் இரு மூலங்களும் கிடைக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு$x^2 + 5x + 6 = 0$ ஐத் தீர்க்க முதலில் காரணிப்படுத்து: $(x+3)(x+2) = 0$. இப்போது ஒவ்வொரு காரணியையும் $0$ ஆக்கு: $x+3 = 0$ அல்லது $x+2 = 0$, அதாவது $x = -3$ அல்லது $x = -2$. சரிபார்க்க: $(-3)^2+5(-3)+6 = 9-15+6 = 0$ ✓.
$b=0$ அல்லது $c=0$ நிலைகள்$x^2-16 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+4)=0 \Rightarrow x = \pm4$ (இரண்டு மூலங்களும்). $x^2+2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow x = 0$ அல்லது $x = -2$.
5 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1இருபடிக்கு இரு மூலங்களும் எழுத வேண்டும் — ஒன்றை மட்டும் எழுதி விட்டுவிடாதே.
⚠ தவறு 2$x^2=25$ போன்ற வடிவங்களில் $x=\pm5$ (நேர்மறையும் எதிர்மறையும் இரண்டும்) தீர்வுகள்.
⚠ தவறு 3ஒருங்கமையில் ஒரு மாறியின் குணகம் சமப்படுத்திய பின்தான் கூட்டு/கழி செய்ய வேண்டும் — அதற்கு முன் செய்தால் மாறி நீங்காது.
⚠ தவறு 4பின்னச் சமன்பாட்டில் பகுதியை $0$ ஆக்கும் $x$ பெறுமானம் தீர்வாக ஏற்றுக்கொள்ளக் கூடாது — அது வரையறுக்கப்படாதது.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Equation = சமன்பாடு
Fractional equation = பின்னச் சமன்பாடு
Cross-multiply = குறுக்குப் பெருக்கல்
Simultaneous equations = ஒருங்கமை சமன்பாடுகள்
Elimination = நீக்கல் முறை
Substitution = பிரதியிடல் முறை
Quadratic equation = இருபடிச் சமன்பாடு
Roots = மூலங்கள்