🧊
திண்மங்களின் கனவளவு
Volume of Solids · Grade 11, Unit 5
இப்பக்கம் மனவரைபடத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க. ($\pi = \tfrac{22}{7}$ பயன்படுத்தப்படுகிறது.)
1 கூம்பின் கனவளவு (Volume of a Cone)
ஒரு நீர் நிரம்பிய உருளைக் கோப்பையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அதே ஆரையும் அதே உயரமும் கொண்ட ஒரு கூம்பை அந்த கோப்பையின் நீரால் நிரப்பி, மூன்று முறை அந்த உருளையினுள் ஊற்றினால் — சரியாக நிரம்பிவிடும். அதாவது கூம்பின் கனவளவு, அதே ஆரை மற்றும் உயரம் கொண்ட உருளையின் கனவளவில் சரியாக மூன்றில் ஒரு பங்கு. இது தற்செயலான ஒரு நிகழ்வு அல்ல — வடிவியல் ரீதியாக நிரூபிக்கக்கூடிய உண்மை.
உருளையின் கனவளவு $\pi r^2 h$ என்பதால், கூம்பின் கனவளவு:
$V_{\text{கூம்பு}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
இங்கு $h$ என்பது செங்குத்து உயரம் (apex இலிருந்து அடிவட்டத்தின் மையத்திற்குச் செங்குத்தாக இறங்கும் தூரம்) — சாயுரம் அல்ல என்பதை நினைவில் வையுங்கள்.
எடுத்துக்காட்டு 1$r = 7$ cm, $h = 12$ cm கொண்ட கூம்பு: முதலில் $\dfrac{22}{7} \times 7^2 = \dfrac{22}{7} \times 49 = 154$ எனக் காணலாம். பின் $V = \dfrac{1}{3} \times 154 \times 12 = \dfrac{1848}{3} = \mathbf{616\ \text{cm}^3}$.
எடுத்துக்காட்டு 2அதே $r = 7$ cm, ஆனால் $h = 6$ cm: $V = \dfrac{1}{3} \times 154 \times 6 = \mathbf{308\ \text{cm}^3}$. முதலில் $\dfrac{22}{7}\times 49 = 154$ ஐக் கண்டுவைத்தால், பின்னர் வேறு உயரங்களுக்கும் கணக்கு விரைவாகும்.
2 கூம்பகத்தின் கனவளவு (Volume of a Pyramid)
கூம்பகமும் (pyramid) அதே தர்க்கத்தைப் பின்பற்றுகிறது — அதே அடிப்பரப்பும் அதே உயரமும் கொண்ட ஓர் அரியத்தின் (prism) கனவளவில் மூன்றில் ஒரு பங்கே கூம்பகத்தின் கனவளவு.
$V = \dfrac{1}{3} \times (\text{அடிப் பரப்பு}) \times h$
சதுர அடி கொண்ட கூம்பகத்திற்கு அடிப்பரப்பு $a^2$ என்பதால் $V = \dfrac{1}{3}a^2h$ என எழுதலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 1அடி $10 \times 10$ cm, $h = 12$ cm: $V = \dfrac{1}{3} \times 100 \times 12 = \mathbf{400\ \text{cm}^3}$.
எடுத்துக்காட்டு 2அடி $6 \times 6$ cm, $h = 10$ cm: $V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 10 = \mathbf{120\ \text{cm}^3}$.
3 கோளம் மற்றும் அரைக்கோளம் (Sphere & Hemisphere)
கோளம் (sphere) முழுவதும் சமச்சீரானது — மையத்திலிருந்து எந்தத் திசையிலும் அதே ஆரை $r$. இதன் கனவளவு சூத்திரத்தை ஆர்க்கிமிடீஸ் கண்டுபிடித்தார் என்றும், அதைத் தன் கல்லறையிலேயே பொறிக்கச் சொன்னார் என்றும் கூறப்படுகிறது — அவ்வளவு பெருமிதம் கொண்ட ஒரு கண்டுபிடிப்பு.
கோளம்: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ • அரைக்கோளம்: $V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$
அரைக்கோளம் என்பது கோளத்தின் சரியாகப் பாதி என்பதால், அதன் கனவளவு கோள கனவளவின் பாதிக்குச் சமம் — இரு சூத்திரங்களும் இதை உறுதிப்படுத்துகின்றன.
எடுத்துக்காட்டுகோளம், $r = 21$ cm: முதலில் $21^3 = 9261$. பின் $\dfrac{22}{7} \times 9261 = 22 \times 1323 = 29106$. இறுதியாக $V = \dfrac{4}{3} \times 29106 = \mathbf{38808\ \text{cm}^3}$. அதே ஆரையின் அரைக்கோளம்: $V = \dfrac{1}{2} \times 38808 = \mathbf{19404\ \text{cm}^3}$ (அல்லது $\dfrac{2}{3} \times 29106 = 19404$ — இரு வழிகளும் பொருந்தும்).
4 கலப்புத் திண்மங்கள் (Composite Solids)
பல தேர்வுக் கேள்விகளில் இரு திண்ம வடிவங்கள் ஒன்று சேர்ந்திருக்கும் — உதாரணமாக ஐஸ்கிரீம் கூம்பின் மேல் ஓர் அரைக்கோளம் (scoop). இதற்கான உத்தி எளிது: ஒவ்வொரு பகுதியையும் தனித்தனியே கணக்கிட்டு, பின் கூட்டுங்கள். ஒரு திண்மத்திற்குள் இன்னொன்று வெட்டி எடுக்கப்பட்டிருந்தால் (உதாரணமாக உருளைக்குள் ஒரு கூம்பு துளையிடப்பட்டிருந்தால்), அப்போது கழிக்க வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு (ஊற்றல் கணக்கு)$r = 7$ cm, $h = 12$ cm கொண்ட ஒரு உருளைக் கோப்பையின் உள்ளே, அதே $r, h$ கொண்ட ஒரு திண்மக் கூம்பு நிலைநிறுத்தப்பட்டுள்ளது. உருளையின் மொத்தக் கனவளவு $= \pi r^2 h = 154 \times 12 = 1848\ \text{cm}^3$. கூம்பின் கனவளவு $= 616\ \text{cm}^3$ (பிரிவு 1-இல் கணக்கிட்டது). எனவே திரவம் நிரப்பக்கூடிய மீதி இடம் $= 1848 - 616 = \mathbf{1232\ \text{cm}^3}$.
⭐ நினைவில் வைக்க — மூன்றில் ஒன்றுகூம்பு + கூம்பு + கூம்பு (அதே $r,h$) $=$ ஒரு உருளை. கூம்பகம் + கூம்பகம் + கூம்பகம் (அதே அடி, $h$) $=$ ஒரு அரியம். இந்த "மூன்றில் ஒன்று" உறவை நினைவில் வைத்தால், தேர்வில் விரைவாகச் சரிபார்க்கலாம்.
5 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1$\dfrac{1}{3}$ ஐ மறவாதீர்கள் — கூம்பு மற்றும் கூம்பகம் இரண்டிலும் இது கட்டாயம். இதை விட்டுவிட்டால் மூன்று மடங்கு பெரிய தவறான விடை கிடைக்கும்.
⚠ தவறு 2கூம்பின் கனவளவில் $h$ என்பது செங்குத்து உயரம் — சாயுரம் $l$ அல்ல. (சாயுரம் மேற்பரப்பளவு கணக்கில் பயன்படுகிறது, கனவளவில் அல்ல.)
⚠ தவறு 3கோளத்தின் கனவளவு $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ — இங்கு $r^3$ (ஆரையின் கனம்), $r^2$ அல்ல என்பதைக் கவனியுங்கள்.
⚠ தவறு 4அலகுகளைக் கவனியுங்கள் — கனவளவு எப்போதும் $\text{cm}^3$ அல்லது $\text{m}^3$ போன்ற கன அலகில் இருக்கும்; $1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3$ என்பதை நினைவில் வையுங்கள்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Volume = கனவளவு
Cone = கூம்பு
Pyramid = கூம்பகம்
Sphere = கோளம்
Hemisphere = அரைக்கோளம்
Cylinder = உருளை
Prism = அரியம்
Composite solid = கலப்புத் திண்மம்
Perpendicular height = செங்குத்து உயரம்
$\pi = \tfrac{22}{7}$ = NIE மரபு மதிப்பு