🔺
திண்மங்களின் மேற்பரப்பு
Surface Area of Solids · Grade 11, Unit 4
இப்பக்கம் மனவரைபடத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க. ($\pi = \tfrac{22}{7}$ பயன்படுத்தப்படுகிறது.)
1 கூம்பின் மேற்பரப்பு — சாயுரம் ஏன் முக்கியம்?
தரம் 10-இல் நாம் உருளை மற்றும் அரியத்தின் மேற்பரப்பைக் கணக்கிட்டோம். இங்கு மூன்று புதிய வடிவங்கள் — கூம்பு, கூம்பகம், கோளம். ஒவ்வொன்றிலும் ஒரே தந்திரம்: முகங்களைப் பிரித்து, தனித்தனியே கணக்கிட்டு, கூட்டவும்.
ஒரு கூம்பைத் தட்டையாக விரித்தால் ஒரு "ஆரை வெட்டு" (sector) கிடைக்கும். அந்த sector-இன் ஆரம் என்பது apex இலிருந்து அடி விளிம்பு வரையான தூரம் — இதைத்தான் சாயுரம் $l$ என்கிறோம். வளைப்பரப்பைக் கணக்கிட செங்குத்து உயரம் $h$ அல்ல, இந்த சாயுரம் $l$ ஐயே பயன்படுத்த வேண்டும். $h$ மட்டும் தரப்பட்டிருந்தால், பைதகரஸ் தேற்றத்தால் $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ எனக் கணக்கிடலாம்.
$l = \sqrt{r^2+h^2}$ • வளைப்பரப்பு $= \pi r l$ • மொத்த மேற்பரப்பு $= \pi r(r+l)$
எடுத்துக்காட்டு$r = 7$ cm, $h = 24$ cm கொண்ட கூம்பு. முதலில் சாயுரம்: $l = \sqrt{7^2+24^2} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25$ cm ($7$-$24$-$25$ ஒரு பைதகரஸ் மும்மை — தேர்வில் அடிக்கடி வரும்). அடுத்து வளைப்பரப்பு $= \dfrac{22}{7} \times 7 \times 25 = 22 \times 25 = 550\ \text{cm}^2$. அடி வட்டப் பரப்பு $= \dfrac{22}{7} \times 49 = 154\ \text{cm}^2$. எனவே மொத்த மேற்பரப்பு $= 550 + 154 = \mathbf{704\ \text{cm}^2}$ (சரிபார்ப்பு: $\pi r(r+l) = 22 \times (7+25) \div 7 \times 7 = 22 \times 32 = 704$ ✓).
2 கூம்பகத்தின் மேற்பரப்பு (Pyramid)
சதுர அடியுள்ள கூம்பகத்திற்கு நான்கு முக்கோண முகங்களும் ஒரு சதுர அடியும் உண்டு. ஒவ்வொரு முக்கோண முகத்தின் பரப்பும் $\tfrac{1}{2} \times a \times l$ ஆகும் — இங்கு $a$ அடிப்பக்கம், $l$ முகச்சாய்வு உயரம் (சாயுர முகத்தின் நடுப்புள்ளியிலிருந்து apex வரையான தூரம்; கூம்பகத்தின் செங்குத்து உயரம் $h$ அல்ல என்பதை நினைவில் வையுங்கள்).
மொத்த மேற்பரப்பு $= a^2 + 2al$
முகச்சாய்வு உயரம் நேரடியாகத் தரப்படாவிட்டால், செங்குத்து உயரம் $h$ மற்றும் அடி மையத்திலிருந்து விளிம்புவரையான தூரம் $\tfrac{a}{2}$ கொண்டு $l = \sqrt{h^2 + (\tfrac{a}{2})^2}$ எனக் கணக்கிடலாம்.
எடுத்துக்காட்டு$a = 10$ cm, முகச்சாய்வு $l = 13$ cm: மொத்த மேற்பரப்பு $= 10^2 + 2 \times 10 \times 13 = 100 + 260 = \mathbf{360\ \text{cm}^2}$.
3 கோளம் மற்றும் அரைக்கோளம் (Sphere & Hemisphere)
கோளத்தின் மேற்பரப்பு வட்டப் பரப்பின் நான்கு மடங்கு — அதாவது $4\pi r^2$. அரைக்கோளத்தில் இரண்டு பகுதி உள்ளது: வளைந்த மேற்பரப்பு, மற்றும் அதை மூடும் தட்டையான வட்ட முகம். மொத்த மேற்பரப்பு கணக்கிடும்போது இரண்டையும் சேர்க்க வேண்டும்.
கோளம் $= 4\pi r^2$ • அரைக்கோளம் வளை $= 2\pi r^2$ • அரைக்கோளம் மொத்தம் $= 3\pi r^2$
எடுத்துக்காட்டுகோளம், $r = 7$ cm: $4 \times \dfrac{22}{7} \times 49 = 4 \times 154 = \mathbf{616\ \text{cm}^2}$. அதே ஆரையின் அரைக்கோள மொத்த மேற்பரப்பு: $3 \times 154 = \mathbf{462\ \text{cm}^2}$ (வளைப்பரப்பு $2 \times 154 = 308$, தட்டையான வட்டமுகம் $154$; கூட்டினால் $308+154=462$ ✓).
4 பயிற்சி — கூம்பு தொப்பியும் பந்தும்
பிறந்தநாள் கொண்டாட்டத்தில் அணியும் கூம்பு வடிவத் தொப்பியை வண்ண காகிதத்தால் மூட எவ்வளவு காகிதம் வேண்டும்? இங்கு அடிவட்டம் தேவையில்லை — தலையில் வைக்கும் தொப்பியின் அடி திறந்திருக்கும் — எனவே வளைப்பரப்பு மட்டும் ($\pi r l$) கணக்கிட வேண்டும், மொத்த மேற்பரப்பு அல்ல. இதேபோல் ஒரு பந்தை (கோளம்) பேக்கேஜ் செய்ய தேவைப்படும் தகடு அதன் முழு மேற்பரப்பு $4\pi r^2$. கேள்வியில் என்ன கேட்கிறது என்பதைக் கவனமாகப் படித்து, வளைப்பரப்பா மொத்தமா என முடிவு செய்யுங்கள்.
5 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1கூம்பு வளைப்பரப்பில் $l$ = சாயுரம் பயன்படுத்த வேண்டும், செங்குத்து உயரம் $h$ அல்ல — $l$ தெரியாவிட்டால் முதலில் $l=\sqrt{r^2+h^2}$ கண்டுபிடியுங்கள்.
⚠ தவறு 2கோளத்தின் மேற்பரப்பு $4\pi r^2$ — வெறும் வட்டப் பரப்பு $\pi r^2$ என்று எழுதிவிடாதீர்கள்.
⚠ தவறு 3அரைக்கோளத்தின் மொத்த மேற்பரப்பு $3\pi r^2$ — தட்டையான வட்ட முகத்தைச் சேர்க்க மறவாதீர்கள்.
⚠ தவறு 4கூம்பகத்தில் முக்கோண முகப் பரப்புக்கு முகச்சாய்வு $l$ பயன்படுத்த வேண்டும் — செங்குத்து உயரம் $h$ அல்ல.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Surface area = மேற்பரப்பு
Slant height = சாயுரம் ($l$)
Curved surface area = வளைப்பரப்பு
Total surface area = மொத்த மேற்பரப்பு
Slant face height = முகச்சாய்வு உயரம்
Sphere = கோளம்
Hemisphere = அரைக்கோளம்
Cone = கூம்பு
Pyramid = கூம்பகம்
$\pi = \tfrac{22}{7}$ = NIE மரபு மதிப்பு