🔢
மெய்யெண்கள் (Real Numbers)
Real Numbers and Surds · Grade 11, Unit 1
இப்பக்கம் மனவரைபடத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 எண்களின் குடும்பம் — ஒன்றுக்குள் ஒன்றாக அடங்கும் கூடுகள்
சிறு வயதில் நாம் கற்றது எண்ணுவதுதான் — $1, 2, 3, \ldots$ ஒரு கூடையில் எத்தனை மாம்பழம் என்று. ஆனால் கடன் வந்தபோது மறை எண் தேவைப்பட்டது, ஒரு ரொட்டியைப் பகிர்ந்தபோது பின்னம் தேவைப்பட்டது, ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தை அளந்தபோது $\sqrt{2}$ போன்ற பின்னமாகவே எழுத முடியாத ஒரு புதிய வகை எண் தேவைப்பட்டது. இப்படி எண்களின் குடும்பம் படிப்படியாக வளர்ந்தது.
இந்தக் குடும்பத்தை ஒன்றுக்குள் ஒன்றாக அடங்கும் கூடுகளாக நினைத்துப் பாருங்கள். மிகச் சிறிய கூடு இயற்கை எண்கள் $\mathbb{N}$ — $1, 2, 3, \ldots$. அதைச் சுற்றி பெரிய கூடு நிறையெண்கள் $\mathbb{Z}$ — பூச்சியத்தையும் மறை எண்களையும் சேர்த்தது. அதையும் சுற்றி விகிதமுறும் எண்கள் $\mathbb{Q}$ — இரு நிறையெண்களின் விகிதமாக ($\tfrac{a}{b}$) எழுதக்கூடிய அனைத்தும். எல்லாவற்றையும் அடக்கும் மிகப் பெரிய கூடு மெய்யெண்கள் $\mathbb{R}$ — இதில் விகிதமுறா எண்களும் ($\sqrt2, \pi$ போன்றவை) அடங்கும்.
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ • $\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0\right\}$
ஒரு சிறிய கூட்டில் உள்ள எண் எப்போதும் அடுத்த பெரிய கூட்டிலும் இருக்கும் — $5$ ஒரு இயற்கை எண்; அது நிறையெண்ணும் ஆகும், விகிதமுறும் எண்ணும் ($\tfrac{5}{1}$) ஆகும், மெய்யெண்ணும் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக $-\tfrac{3}{4}$ — இது இயற்கை எண்ணும் அல்ல, நிறையெண்ணும் அல்ல (பின்னம் ஆதலால்), ஆனால் விகிதமாக எழுதலாம்; எனவே அது முதலில் இடம்பெறும் மிகச் சிறிய கூடு $\mathbb{Q}$.
2 எந்த எண் "விகிதமுறும்", எந்தது இல்லை?
இதற்கு எளிய சோதனை ஒன்று உண்டு: எண்ணைத் தசமமாக எழுதிப் பாருங்கள். விகிதமுறும் எண் இரண்டில் ஒரு வழியில் நடந்துகொள்ளும் — ஒன்று முற்றுப்பெறும் ($\tfrac14 = 0.25$, இங்கேயே நின்றுவிடுகிறது), அல்லது ஒரு தொகுதி இலக்கம் திரும்பத் திரும்ப வரும் ($\tfrac49 = 0.\dot{4}$). இரண்டிலும் ஒரு தெளிவான ஒழுங்கு இருக்கிறது.
ஆனால் விகிதமுறா எண் ஒருபோதும் நிலைபெறாது — முடிவே இல்லாமல், எந்த ஒழுங்கும் இல்லாமல் தொடர்ந்துகொண்டே இருக்கும் ($\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$). ஒரு நல்ல சுருக்கு வழி: $\sqrt{n}$ விகிதமுறும் எண்ணாக இருப்பது $n$ ஒரு நிறை வர்க்கமாக ($4, 9, 16, 25, \ldots$) இருந்தால் மட்டுமே. $\sqrt{25}=5$ நேர்த்தியாக நிற்கும்; ஆனால் $\sqrt{2}$ ஒருபோதும் நிற்காது.
வகைப்படுத்தல் பயிற்சி$\sqrt{25} = 5$ → விகிதமுறும் (நிறை வர்க்கம்). $6.52$ → விகிதமுறும் (முற்றுப்பெறும் தசமம்). $\sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{11}$ → விகிதமுறா ($2, 6, 11$ நிறை வர்க்கம் அல்ல). $0.01011011101111\ldots$ → விகிதமுறா (ஒழுங்கின்றி மீளாது).
3 சேடுகளை (Surds) நேர்த்தியாக்குதல்
நிறை வர்க்கம் அல்லாத ஒரு எண்ணின் வர்க்கமூலத்தை சேடு (surd) என்கிறோம் — $\sqrt{2}, \sqrt{50}$ போன்றவை. தசமமாக எழுத முடியாது என்பதால், சேடாகவே வைத்துக்கொண்டு வேலை செய்கிறோம். ஆனால் $\sqrt{50}$ போன்ற ஒரு சேட்டுக்குள் சில சமயம் ஒரு நிறை வர்க்கம் ஒளிந்திருக்கும் — அதை வெளியே இழுத்தால் சேடு எளிய வடிவம் பெறும்.
$\sqrt{50}$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். $50 = 25 \times 2$, இதில் $25$ ஒரு நிறை வர்க்கம். எனவே $\sqrt{50} = \sqrt{25}\times\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. $25$ "வெளியே வந்து" $5$ ஆகிவிட்டது; சுருக்க முடியாத $\sqrt{2}$ மட்டும் உள்ளே நிற்கிறது.
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ • $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ • $(\sqrt{a})^2 = a$
சுருக்கல்$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$; $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$; $\sqrt{75} = \sqrt{25\times3} = 5\sqrt{3}$.
கூட்டல் / கழித்தல்சேடுகள் ஒத்தவையாக இருந்தால் மட்டுமே கூட்டலாம் — $\sqrt{2}$ ஐ "ஒரு பொருள்" போல எண்ணுங்கள்: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. ஆனால் $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ — இவை வெவ்வேறு பொருள்கள்; மேலும் சுருக்க முடியாது.
பெருக்கல்$\sqrt{6} \times \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
4 பகுதியில் இருந்து சேட்டை அகற்றுதல் (Rationalising)
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ஐ நேரடியாகக் கணக்கிட முயன்றால் $1 \div 1.414\ldots$ — கையால் செய்ய கடினம். ஆனால் ஒரு சிறு தந்திரத்தால் அந்தச் சேட்டை கீழிருந்து மேலே நகர்த்தலாம்: தொகுதியையும் பகுதியையும் அதே $\sqrt{2}$ ஆல் பெருக்குங்கள். $\tfrac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1$ என்பதால் எண்ணின் பெறுமானம் மாறாது — வடிவத்தை மட்டுமே நேர்த்தியாக்குகிறோம். இதைத்தான் பகுதியை விகிதமுறுவாக்கல் (rationalising the denominator) என்கிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு 1$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0.707$ — இப்போது $1.414 \div 2$ மட்டும்; எளிது.
எடுத்துக்காட்டு 2$\dfrac{3}{\sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$; $\dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
⭐ ஏன் இந்த சிரமம்?பகுதியில் சேடு இருந்தால் கையால் வகுப்பது கடினம், மேலும் ஒவ்வொரு முறையும் அண்ணளவு செய்தால் வழு சேர்ந்துகொண்டே போகும். சேட்டை மேலே நகர்த்தினால் வகுத்தல் சுலபமாகும், விடையும் துல்லியமாகும். அதனால்தான் பதில்களை $\dfrac{\sqrt6}{2}$ போன்ற நேர்த்தியான வடிவில் விட்டு வைக்கிறோம்.
5 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — சோதித்துப் பாருங்கள்: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, ஆனால் $3+4=7$. இரண்டும் வேறுபடுகின்றன.
⚠ தவறு 2ஒத்த சேடுகளை மட்டுமே கூட்ட / கழிக்க முடியும். $\sqrt2$ மற்றும் $\sqrt3$ போன்ற வெவ்வேறு சேடுகளைச் சேர்க்க முடியாது.
⚠ தவறு 3$a\sqrt{b}$ இல் $b$-க்குள் இன்னும் ஒரு நிறை வர்க்கம் இருந்தால் வேலை முழுமையாகவில்லை என்பது பொருள் — $5\sqrt{12} = 10\sqrt{3}$ ($12=4\times3$).
⚠ தவறு 4$\sqrt{n}$ விகிதமுறும் ஆவது $n$ ஒரு நிறை வர்க்கமானால் மட்டுமே — இதை நினைவில் வைத்தால் வகைப்படுத்தல் கேள்விகளில் தவறு வராது.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Natural numbers = இயற்கை எண்கள் ($\mathbb{N}$)
Integers = நிறையெண்கள் ($\mathbb{Z}$)
Rational numbers = விகிதமுறும் எண்கள் ($\mathbb{Q}$)
Irrational numbers = விகிதமுறா எண்கள் ($\mathbb{Q}'$)
Real numbers = மெய்யெண்கள் ($\mathbb{R}$)
Surd = சேடு
Perfect square = நிறை வர்க்கம்
Recurring decimal = மடங்கு தசமம்
Terminating decimal = முடிவுறு தசமம்
Rationalising = விகிதமுறுவாக்கல்