🎲
நிகழ்தகவு (Probability)
Probability · Grade 11, Unit 25
இப்பக்கம் மனவரைபடத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 அடிப்படை வாய்ப்பாடு
கிரிக்கெட் போட்டி தொடங்கும் முன் நாணயம் சுண்டுகிறார்கள் — ஏன் "நடுநிலை" என்று? ஏனென்றால் நாணயம் தலை/பூ யாரையும் விரும்புவதில்லை: $P(\text{தலை}) = \tfrac12$, $P(\text{பூ}) = \tfrac12$. நிகழ்தகவு என்பது "எவ்வளவு சாத்தியம்?" என்பதை $0$ முதல் $1$ வரை அளக்கும் ஒரு எண்.
$P(A) = \dfrac{\text{சாதகமான பேறுகள்}}{\text{சமதகவுள்ள மொத்தப் பேறுகள்}}$
எடுத்துக்காட்டுஒரு பகடையில் $\{1,2,3,4,5,6\}$: $P(\text{இரட்டை}) = \dfrac36 = \dfrac12$; $P(5) = \dfrac16$; $P(4\text{-க்கு மேல்}) = \dfrac26 = \dfrac13$.
நிரப்பி விதி$P(\text{நிகழாது}) = 1 - P(\text{நிகழும்})$. உதாரணமாக $P(\text{மழை இல்லை}) = 1 - 0.3 = 0.7$. "குறைந்தது ஒரு முறை நடக்க வேண்டும்" போன்ற கேள்விகளுக்கு நேரடியாகக் கணக்கிடுவது சிக்கலாக இருக்கும்போது, இந்த நிரப்பி வழி மிக எளிதாக்கும்.
2 சார (Dependent) & சாரா (Independent) நிகழ்வுகள்
ஒரு பையில் $7$ வெள்ளை $+ 3$ கறுப்பு $= 10$ பந்துகள் உள்ளன என வைத்துக்கொள்வோம். மீள்வைப்புடன் எடுத்தால் — முதல் பந்தை வைத்துவிட்டு மீண்டும் எடுக்கும்போது — இரண்டாம் எடுப்பும் $P(\text{வெள்ளை}) = \tfrac7{10}$ ஆகவே இருக்கும், மாறாது; இது சாரா நிகழ்வு. ஆனால் மீள்வைப்பின்றி எடுத்தால் — எடுத்த பந்தை திரும்ப வைக்காமல் — மொத்த எண்ணிக்கை $9$ ஆகக் குறையும்; முதலில் வெள்ளை கிடைத்திருந்தால் இரண்டாம் எடுப்பில் $P(\text{வெள்ளை}) = \tfrac69$ ஆக மாறும்; இது சார நிகழ்வு.
| வகை | பொருள் | உதாரணம் |
|---|
| சாரா (independent) | ஒன்று மற்றதைப் பாதிக்காது | மீள்வைப்புடன் எடுத்தல்; நாணயம் |
| சார (dependent) | ஒன்று மற்றதைப் பாதிக்கும் | மீள்வைப்பின்றி எடுத்தல் |
3 மர வரிப்படம் (Tree Diagram) — இரு நிலைச் சோதனை
ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட படிநிலைகள் கொண்ட ஒரு சோதனையை (உதாரணமாக இரு பந்துகள் தொடர்ச்சியாக எடுத்தல்) சித்தரிக்க மர வரிப்படம் மிகவும் பயனுள்ளது. ஒவ்வொரு கிளையிலும் அந்தந்த நிகழ்தகவை எழுதுங்கள். ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் (ஒரு கிளையிலிருந்து இன்னொன்றுக்கு, "உம்" (and) ஆக) நடக்கும் நிகழ்தகவு காண, அந்த வழியில் உள்ள கிளை மதிப்புகளை பெருக்குகிறோம். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வெவ்வேறு வழிகள் ("அல்லது" (or) ஆக) ஒரே முடிவை தரும் எனில், அந்த வழிகளின் நிகழ்தகவுகளை கூட்டுகிறோம்.
"உம்" (and) → கிளைகளைப் பெருக்கு • "அல்லது" (or) → வழிகளைக் கூட்டு
எடுத்துக்காட்டு 1 — மீள்வைப்புடன்இரு வெள்ளை பந்து தொடர்ச்சியாக எடுக்கும் நிகழ்தகவு: $\dfrac{7}{10} \times \dfrac{7}{10} = \dfrac{49}{100}$.
எடுத்துக்காட்டு 2 — மீள்வைப்பின்றிஒரு வெள்ளை, ஒரு கறுப்பு (எந்த வரிசையிலும்) கிடைக்கும் நிகழ்தகவு: இரு வழிகள் உண்டு — (வெள்ளை பின் கறுப்பு) அல்லது (கறுப்பு பின் வெள்ளை). $\left(\dfrac{7}{10}{\times}\dfrac{3}{9}\right) + \left(\dfrac{3}{10}{\times}\dfrac{7}{9}\right) = \dfrac{21}{90}+\dfrac{21}{90} = \dfrac{42}{90} = \mathbf{\dfrac{7}{15}}$.
4 நெடுவரிசை (Grid) முறை — இரு பகடை
இரு நிகழ்வுகளும் ஒவ்வொன்றும் பல வாய்ப்புகள் கொண்டதாக இருந்தால் (உதாரணமாக இரு பகடைகள் உருட்டுதல்), ஒரு நெடுவரிசை அட்டவணை கிளைகளைவிட எளிதாக இருக்கும். இரு பகடை உருட்டினால் மொத்தம் $6 \times 6 = 36$ சமதகவுப் பேறுகள் உள்ளன. கூட்டுத்தொகை $7$ வரும் சோடிகளை பட்டியலிட்டால்: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ — ஆக $6$ சோடிகள்.
எடுத்துக்காட்டு$P(\text{தொகை } 7) = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$.
5 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1மீள்வைப்பின்றி எடுக்கும்போது இரண்டாம் எடுப்பில் மொத்தமும் சாதகமான பேறுகளும் இரண்டும் குறையும் ($10 \to 9$) — மொத்தத்தை மாற்றாமல் விடாதீர்கள்.
⚠ தவறு 2"உம்" (and) $=$ பெருக்கல்; "அல்லது" (or) $=$ கூட்டல் — இவற்றைக் குழப்பாதீர்கள்.
⚠ தவறு 3$P$ எப்போதும் $0 \le P \le 1$ க்குள் இருக்க வேண்டும் — $1$-ஐ விட அதிகமான பதில் கிடைத்தால் கணக்கில் தவறு உள்ளது என்று அர்த்தம்.
⚠ தவறு 4ஒரு மர வரிப்படத்தில் ஒவ்வொரு முனையிலிருந்தும் பிரியும் கிளைகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் $1$ ஆக இருக்க வேண்டும் — சரிபார்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Probability = நிகழ்தகவு
Independent event = சாரா நிகழ்வு
Dependent event = சார நிகழ்வு
With replacement = மீள்வைப்புடன்
Without replacement = மீள்வைப்பின்றி
Tree diagram = மர வரிப்படம்
Complement rule = நிரப்பி விதி
Equally likely outcomes = சமதகவுள்ள பேறுகள்