📐
பைதகரசின் தேற்றம்
Pythagoras' Theorem · Grade 11, Unit 17
இப்பக்கம் மனவரைபடத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 தேற்றமும் அதன் மூலமும்
ஒரு கட்டிட ஆசிரியர் சுவர் மூலையை சரியாக $90°$ ஆக்க வேண்டும் என வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு சுவரில் $3$ அடி அளவிடுகிறார்; மற்ற சுவரில் $4$ அடி. மூலையிலிருந்து இந்த இரு புள்ளிகளுக்கிடையே ஒரு மாபாவை இழுக்கிறார் — அது சரியாக $5$ அடி வந்தால், மூலை சரியாக $90°$ ஆகும். கி.மு. $600$-க்கும் முன்பே கட்டிட வல்லுநர்கள் இந்த $3$-$4$-$5$ தந்திரத்தை அறிந்திருந்தார்கள். பைதகரஸ் இதை ஏன் உண்மை என்று நிரூபித்தார்.
$c^2 = a^2 + b^2$ ($c$ = செம்பக்கம் — செங்கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள மிகப்பெரிய பக்கம்)
சரிபார்ப்பு: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓. அதாவது செங்கோண முக்கோணியில் செம்பக்கத்தின் வர்க்கம், மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம்.
எடுத்துக்காட்டு 1பக்கங்கள் $3, 4$: $c = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$.
எடுத்துக்காட்டு 2பக்கங்கள் $5, 12$: $c = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = \mathbf{13}$.
எடுத்துக்காட்டு 3பக்கங்கள் $7, 24$: $c = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = \mathbf{25}$ ($625 = 25^2$ — $7$-$24$-$25$ தேர்வில் அடிக்கடி வரும் மும்மை).
2 தெரியாத குறுகிய பக்கம் காணல்
எல்லா கேள்விகளிலும் செம்பக்கத்தையே காண வேண்டியதில்லை. செம்பக்கம் தெரிந்தால், மற்ற பக்கம் காண கழிக்க வேண்டும்: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. செம்பக்கம் தெரியாவிட்டால் (இரு பக்கங்களும் தரப்பட்டு செம்பக்கம் தேவை), கூட்ட வேண்டும்: $c = \sqrt{a^2+b^2}$.
எடுத்துக்காட்டு 1செம்பக்கம் $13$, ஒரு பக்கம் $5$: $b = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = \mathbf{12}$.
எடுத்துக்காட்டு 2செம்பக்கம் $25$, ஒரு பக்கம் $7$: $b = \sqrt{625-49} = \sqrt{576} = \mathbf{24}$.
3 மறுதலை — செங்கோணத்தைச் சரிபார்த்தல்
கொடுக்கப்பட்ட மூன்று பக்கங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணியை உருவாக்குகின்றனவா என்று சரிபார்க்க, மிகப்பெரிய பக்கத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமா என்று பாருங்கள்.
சோதனை 1$6, 8, 10$: $6^2+8^2 = 36+64 = 100 = 10^2$ → செங்கோண முக்கோணி ✓.
சோதனை 2$4, 5, 6$: $4^2+5^2 = 41 \neq 36 = 6^2$ → செங்கோணம் இல்லை.
4 நடைமுறை பயன்பாடுகள்
செவ்வக மூலைவிட்டம்$3 \times 4$ செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டம்: $\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$.
ஏணி$13$ m ஏணி ஒரு சுவரில் சாய்க்கப்பட்டு, அடி சுவரிலிருந்து $5$ m தூரத்தில் உள்ளது: சுவரின் மேல் ஏணி எட்டும் உயரம் $= \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = \mathbf{12\ \text{m}}$.
சமபக்க முக்கோணியின் உயரம்பக்கம் $a$ கொண்ட சமபக்க முக்கோணியை நடுவே செங்குத்தாகப் பிரித்தால், அடிப்பக்கம் $\tfrac{a}{2}$ ஆகும். எனவே உயரம் $= \sqrt{a^2 - \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$. $a=10$: உயரம் $= \sqrt{100-25} = \sqrt{75} = \mathbf{5\sqrt3}$.
⭐ பைதகரஸ் மும்மைகள் — மனப்பாடம் செய்யுங்கள்$(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$, $(6,8,10)$, $(9,12,15)$ — இவற்றை அறிந்தால் $\sqrt{}$ கணக்கிடாமலேயே தேர்வில் விடை சொல்லலாம்.
5 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு 1$c$ = மிகப்பெரிய பக்கம் மட்டுமே — ஒரு சிறிய பக்கத்தை செம்பக்கமாக எடுத்துவிடாதீர்கள்.
⚠ தவறு 2$\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b$ — சோதித்துப் பாருங்கள்: $\sqrt{9+16}=5$, ஆனால் $3+4=7$.
⚠ தவறு 3செம்பக்கம் தெரிந்தால் கழிக்கவும் ($c^2-a^2$); தெரியாவிட்டால் கூட்டவும் — திசையை மாற்றிவிடாதீர்கள்.
⚠ தவறு 4மறுதலையில் மூன்று பக்கங்களும் தரப்பட்டால், மிகப்பெரிய பக்கத்தையே $c$ ஆக வைத்துச் சோதிக்க வேண்டும்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Pythagoras' theorem = பைதகரசின் தேற்றம்
Hypotenuse = செம்பக்கம் (கர்ணம்)
Right-angled triangle = செங்கோண முக்கோணி
Converse = மறுதலை
Pythagorean triple = பைதகரஸ் மும்மை
Diagonal = மூலைவிட்டம்
Equilateral triangle = சமபக்க முக்கோணி