✖️
பெருக்கல் விருத்தி
Geometric Progression (GP) · Grade 11, Unit 16
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 பெருக்கல் விருத்தி என்றால் என்ன?
முதல் நாள் ரூ. 1 சேமித்து, இரண்டாம் நாள் ரூ. 2, மூன்றாம் நாள் ரூ. 4, நான்காம் நாள் ரூ. 8 எனச் சேமித்தால் — 30 நாட்களுக்குப் பின் தொகை $2^{29} = 536{,}870{,}912$ ரூபாய் ஆகும். இதுவே பெருக்கல் விருத்தி (Geometric Progression, GP) — ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதற்கு முந்தைய உறுப்பை ஒரே நிலையான எண்ணால் பெருக்கிக் கிடைக்கும் தொடர்.
கூட்டல் விருத்தியில் (AP) ஒவ்வொரு உறுப்பும் முந்தையதோடு ஒரு நிலையான எண்ணைக் கூட்டி கிடைக்கும் — நேர்கோட்டு வளர்ச்சி. பெருக்கல் விருத்தியில் ஒவ்வொரு உறுப்பும் முந்தையதை ஒரு நிலையான எண்ணால் பெருக்கி கிடைக்கும் — வேகமான வளர்ச்சி. வங்கிக் கூட்டு வட்டி, வைரஸ் பரவல், பாக்டீரியா இரட்டிப்பாதல் ஆகியவை எல்லாம் இந்த வடிவத்தைப் பின்பற்றுகின்றன.
1.1 பொது விகிதம் $r$
ஒரு தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதற்கு முந்தைய உறுப்பால் வகுத்தால் கிடைப்பது பொது விகிதம் (common ratio) $r$. இந்த $r$ தொடர் முழுவதும் ஒரே மதிப்பாக இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு பெருக்கல் விருத்தி.
$r = \dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{T_3}{T_2} = \cdots$ (அடுத்தது ÷ முந்தையது)
உதாரணம் 1$3, 6, 12, 24, 48$: $r = \dfrac{6}{3} = \dfrac{12}{6} = \dfrac{24}{12} = 2$ ✓ — எல்லா இடங்களிலும் சமம். $a = 3$ (முதல் உறுப்பு), $r = 2$.
உதாரணம் 2$2, 6, 18, 54$: $r = \dfrac{6}{2} = \dfrac{18}{6} = \dfrac{54}{18} = 3$ ✓. $a = 2$, $r = 3$.
2 $n$ ஆம் உறுப்பு — $T_n = a \cdot r^{n-1}$ ஏன்?
$a$ இலிருந்து ஒரு படி முன்னேறினால் $a \times r = ar$ கிடைக்கும். இரண்டு படி முன்னேறினால் $ar \times r = ar^2$. மூன்று படி முன்னேறினால் $ar^3$. இவ்வாறு $n$ ஆம் உறுப்பு வர, முதல் உறுப்பிலிருந்து $(n-1)$ படிகள் தேவை — ஆகவே $T_n = a \times r^{n-1}$. முதல் உறுப்பையே சரிபார்த்தால் $T_1 = a r^0 = a$ ✓ — சூத்திரம் பொருந்துகிறது.
$T_n = a \cdot r^{n-1}$ ($a$ = முதல் உறுப்பு, $r$ = பொது விகிதம், $n$ = உறுப்பின் இடம்)
உதாரணம் 1$3, 6, 12, \ldots$ இல் $5$ ஆம் உறுப்பு: $T_5 = 3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48$.
உதாரணம் 2$2, 6, 18, \ldots$ இல் $6$ ஆம் உறுப்பு: $T_6 = 2 \times 3^{5} = 2 \times 243 = 486$.
உதாரணம் 3 — சுட்டி வடிவில் விடைமுதல் உறுப்பு $8$, $r = 2$ கொண்ட விருத்தியின் $7$ ஆம் உறுப்பு: $T_7 = 8 \times 2^6$. $8 = 2^3$ என்பதால் $T_7 = 2^3 \times 2^6 = 2^9$ (சுட்டிகளின் கூட்டல் விதி).
2.1 $a$, $r$ இரண்டையும் காணல்
சில கேள்விகளில் இரண்டு உறுப்புகள் மட்டும் தரப்பட்டு $a$ மற்றும் $r$ காண வேண்டியிருக்கும். $T_2 = 6$, $T_4 = 54$ எனில் $\dfrac{T_4}{T_2} = \dfrac{ar^3}{ar} = r^2 = \dfrac{54}{6} = 9$ — ஆகவே $r = 3$ (நேர் மூலம் எடுக்கவும்). பின் $T_2 = ar = 6 \Rightarrow a \times 3 = 6 \Rightarrow a = 2$.
3 முதல் $n$ உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை — $S_n$
ஒரு பெருக்கல் விருத்தியின் முதல் $n$ உறுப்புகளையும் ஒவ்வொன்றாகக் கூட்டுவதற்குப் பதிலாக, நேரடியாகக் கணக்கிட ஒரு சூத்திரம் உள்ளது. இந்தச் சூத்திரத்தை நினைவில் வைத்துப் பயன்படுத்தினால் போதும்.
$S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ ($r \neq 1$)
$r$ ஒன்றை விடக் குறைவாக இருந்தால் ($0 < r < 1$), கணக்கிடுவதற்கு எளிதான வேறு வடிவமும் உண்டு — இரண்டும் ஒரே மதிப்பையே தரும்: $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.
உதாரணம் 1$3 + 6 + 12 + 24$ ($a=3, r=2, n=4$): $S_4 = \dfrac{3(2^4 - 1)}{2 - 1} = \dfrac{3 \times 15}{1} = 45$. நேரடியாகக் கூட்டிச் சரிபார்த்தால்: $3+6+12+24 = 45$ ✓.
உதாரணம் 2$2 + 6 + 18 + 54$ ($a=2, r=3, n=4$): $S_4 = \dfrac{2(3^4 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{2 \times 80}{2} = 80$. சரிபார்: $2+6+18+54 = 80$ ✓.
4 கூட்டல் விருத்தி vs பெருக்கல் விருத்தி
| கூட்டல் விருத்தி (AP) | பெருக்கல் விருத்தி (GP) |
|---|
| விதி | $+d$ (கூட்டல்) | $\times r$ (பெருக்கல்) |
| $n$ ஆம் உறுப்பு | $T_n = a + (n-1)d$ | $T_n = a \cdot r^{n-1}$ |
| வளர்ச்சி வேகம் | நேராக, சீராக | வேகமாக, அதிவேகமாக |
அன்றாட உதாரணம்ஒரு பாக்டீரியா ஒவ்வொரு மணி நேரமும் இரட்டிப்பாகிக்கொண்டே இருந்தால் ($a=1, r=2$), $10$ மணி நேரத்தில் பாக்டீரியா எண்ணிக்கை $T_{11} = 1 \times 2^{10} = 1024$ ஆக உயரும் — இதுவே பெருக்கல் விருத்தியின் வேகம். $r = 1 + \dfrac{R}{100}$ என வைத்தால் இதே சூத்திரம் கூட்டு வட்டி சூத்திரமாக மாறுகிறது.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Geometric Progression (GP) = பெருக்கல் விருத்தி
Common ratio (r) = பொது விகிதம்
First term (a) = முதல் உறுப்பு
Tn = a·r^(n-1) = n ஆம் உறுப்பு சூத்திரம்
Sn = a(rⁿ−1)/(r−1) = கூட்டுத்தொகை சூத்திரம்
r = T2/T1 = பொது விகிதம் காணும் வழி
5 பொதுவான தவறுகள்
⚠ எச்சரிக்கை 1$T_n = ar^{n-1}$ — வலு $(n-1)$, $n$ அல்ல. சரிபார்க்க: $T_1 = ar^0 = a$ கிடைக்க வேண்டும்.
⚠ எச்சரிக்கை 2$r$ = அடுத்தது ÷ முந்தையது (வகுத்தல்) — கழித்தல் அல்ல, அது AP-க்கு உரியது.
⚠ எச்சரிக்கை 3$S_n$ சூத்திரத்தில் $r^n - 1$ முழுவதும் அடைப்புக்குள் வைத்து, பின் $a$-ஆல் பெருக்க வேண்டும்.
⚠ எச்சரிக்கை 4$r$ என்பது தொடரின் எல்லா அடுத்தடுத்த சோடிகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும் — ஒரே ஒரு சோடியைச் சரிபார்த்துவிட்டு முடிவு செய்யக் கூடாது.