⚖
சமனிலிகள்
Inequalities · Grade 11, Unit 20
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 சமனிலி என்றால் என்ன?
ஒரு பையில் $8$ தேயிலைப் பாக்கெட் (ஒவ்வொன்றும் $x$ கிராம்) மற்றும் $3000$ g சீனி வைத்து, மொத்த எடை $5000$ g ஐ தாண்டக் கூடாது என்றால்: $8x + 3000 \le 5000$. இதைத் தீர்த்தால் $x \le 250$ கிடைக்கும் — ஆனால் இங்கு ஒரே ஒரு விடை இல்லை, ஒரு வீச்சு (range) முழு விடைகளும் சரியாக இருக்கும். இதைக் குறிப்பதற்குப் பயன்படும் குறியீடுகளே சமனிலிகள் (inequalities): $<, >, \le, \ge$.
சமன்பாட்டிலிருந்து சமனிலிக்கு உள்ள வித்தியாசம் ஒன்றே ஒன்று தான்: மறை எண்ணால் பெருக்கும்போது அல்லது வகுக்கும்போது சமனிலிக் குறியீட்டின் திசை மாறும். இதைத் தவிர மற்ற எல்லா படிகளும் சமன்பாட்டைப் போலவே.
2 சமனிலியை அவிழ்த்தல்
சமன்பாட்டைப் போலவே, சமனிலியிலும் இருபுறமும் ஒரே மதிப்பை கூட்டலாம் அல்லது கழிக்கலாம்; மறை அல்லாத எண்ணால் பெருக்கலாம் அல்லது வகுக்கலாம். குறிக்கோள் எப்போதும் $x$ ஐ ஒரு பக்கத்தில் தனிமைப்படுத்துவதே.
உதாரணம் 1$3x - 2 > 2x + 3$: இருபுறமும் $2x$ ஐக் கழிக்க: $3x - 2x - 2 > 3 \Rightarrow x - 2 > 3 \Rightarrow x > 5$.
உதாரணம் 2$5x + 3 \le 3x + 1$: $5x - 3x \le 1 - 3 \Rightarrow 2x \le -2 \Rightarrow x \le -1$.
3 மறை எண்ணால் வகுத்தல் — குறி மாறும்!
$2 < 6$ என்பது உண்மை. இருபுறமும் $-1$ ஆல் பெருக்கினால் $-2$ மற்றும் $-6$ கிடைக்கும். ஆனால் $-2 > -6$ — அதாவது பெருக்கியதும் சமனிலிக் குறியீடு தலைகீழாக மாறியிருக்கிறது. இதுவே எல்லா சமனிலிகளுக்கும் பொருந்தும் விதி: மறை எண்ணால் பெருக்கினால் அல்லது வகுத்தால், $< \leftrightarrow >$ மற்றும் $\le \leftrightarrow \ge$ என மாறும். கூட்டல் அல்லது கழித்தலில் இந்த மாற்றம் நிகழாது.
ஏன்?எண் கோட்டில் மறை எண்களால் பெருக்கும்போது எண்களின் வரிசை தலைகீழாகிறது — பெரிய நேர் எண் பெரிய மறை எண்ணாக மாறாது, சிறிய மறை எண்ணாக மாறும் (ஏனெனில் $-1 \times$ பெரிய எண் = பெரிய அளவிலான மறை எண்). ஆகவே சமனிலியின் திசையும் தலைகீழாக மாற வேண்டும்.
உதாரணம் 1$-2x < 1$: இருபுறமும் $-2$ ஆல் வகு (குறி மாறும்) $\Rightarrow x > -\dfrac{1}{2}$.
உதாரணம் 2$3 - 4x \ge 11$: $-4x \ge 8$; இருபுறமும் $-4$ ஆல் வகு (குறி மாறும்) $\Rightarrow x \le -2$.
4 எண் கோட்டில் காட்டல்
ஒரு சமனிலியின் தீர்வை எண் கோட்டில் காட்டும்போது, எல்லைப் புள்ளியில் இரு வகையான குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படும்.
| குறியீடு | வட்டம் | பொருள் |
|---|
| $<, >$ | திறந்த வட்டம் ○ | அந்த மதிப்பு தீர்வில் உள்ளடங்காது |
| $\le, \ge$ | நிரப்பிய வட்டம் ● | அந்த மதிப்பு தீர்வில் உள்ளடங்கும் |
எடுத்துக்காட்டாக $x > 0$ எனில், $0$ இலிருந்து திறந்த வட்டத்துடன் தொடங்கி வலப்புறமாக (பெரிய எண்களை நோக்கி) அம்புக்குறியுடன் கோடு வரையப்படும் — $0$ தானே தீர்வில் இல்லை என்பதைக் காட்ட.
5 முழு எண் தீர்வுகள் & சொல் வழக்குகள்
சில கேள்விகள் சமனிலியின் தீர்வுக்குள் அடங்கும் முழு எண்களைக் (integers) கேட்கும். $5x + 3 \le 3x + 13$ எனில் $2x \le 10 \Rightarrow x \le 5$ — இதன் முழு எண் தீர்வுகள் $\ldots, 3, 4, 5$; மிகப் பெரிய முழு எண் தீர்வு $5$.
சொல் வழக்குகளில் சரியான சொல்லுக்கு சரியான குறியீட்டைப் பொருத்த வேண்டும்: "அதிகபட்சம்" என்றால் $\le$; "குறைந்தபட்சம்" என்றால் $\ge$; "தாண்டக் கூடாது" என்பதும் $\le$ க்குச் சமம்.
அன்றாட உதாரணம்ஒரு பரீட்சையில் தேர்ச்சி பெற குறைந்தது $40$ மதிப்பெண் வேண்டும் என்பதை $x \ge 40$ என எழுதலாம். தேயிலைப் பை உதாரணத்தில்: $8x + 3000 \le 5000 \Rightarrow x \le 250$ — ஒரு பாக்கெட் தேயிலை அதிகபட்சம் $250$ g இருக்கலாம்.
உதாரணம் — சராசரி நிபந்தனைமூன்று தேர்வுகளில் $72, 68, x$ மதிப்பெண்கள் பெற்று, சராசரி குறைந்தது $70$ இருக்க வேண்டும் எனில்: $\dfrac{72 + 68 + x}{3} \ge 70 \Rightarrow 140 + x \ge 210 \Rightarrow x \ge 70$.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Inequality = சமனிலி
Sign flips = குறி மாறுதல்
Open circle ○ = திறந்த வட்டம் (உள்ளடங்காது)
Filled circle ● = நிரப்பிய வட்டம் (உள்ளடங்கும்)
Maximum = அதிகபட்சம் ($\le$)
Minimum = குறைந்தபட்சம் ($\ge$)
6 பொதுவான தவறுகள்
⚠ எச்சரிக்கை 1மறை எண்ணால் பெருக்கும்/வகுக்கும்போது குறி மாற்றத்தை மறக்காதீர்கள் — இதுவே சமனிலியின் மிக முக்கிய விதி.
⚠ எச்சரிக்கை 2எண் கோட்டில் திறந்த ($<, >$) vs நிரப்பிய ($\le, \ge$) வட்டத்தைச் சரியாகத் தேர்வு செய்யுங்கள்.
⚠ எச்சரிக்கை 3சொல் வழக்குகளில் "அதிகபட்சம்" $\to \le$; "குறைந்தபட்சம்" $\to \ge$; "மட்டுமே குறைவாக" $\to <$ — சொற்களை கவனமாக வாசிக்கவும்.
⚠ எச்சரிக்கை 4கூட்டல்/கழித்தலில் குறி மாறாது — பெருக்கல்/வகுத்தலில் மறை எண்ணால் மட்டுமே மாறும்.