🟰
சமன்பாடுகள்
Simultaneous & Quadratic Equations · Grade 11, Unit 13
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 ஏன் இரு வகையான சமன்பாடுகள்?
ஒரு கடையில் $x$ ரூ.$2$ நாணயங்களும் $y$ ரூ.$5$ நாணயங்களும் உள்ளன; மொத்தம் $20$ நாணயங்கள், மொத்த மதிப்பு ரூ. $55$ எனில் — இங்கு இரு தெரியாத எண்கள் ($x, y$), ஆகவே இரு சமன்பாடுகள் தேவை. இதுவே ஒருங்கமை சமன்பாடு (simultaneous equations).
வேறு சில சூழல்களில் $x^2 + x - 6 = 0$ போன்ற இருபடிச் சமன்பாடு (quadratic equation) வரும் — இங்கு ஒரே ஒரு தெரியாத $x$ தான், ஆனால் அதற்கு இரு சாத்தியமான விடைகள் இருக்கும். இந்த அலகு இந்த இரண்டு வகைகளையும் தீர்க்கும் முறைகளை உள்ளடக்கியது.
2 ஒருங்கமை சமன்பாடுகள் — இரு முறைகள்
இரண்டு சமன்பாடுகளும் ஒரே $x, y$ பெறுமானங்களை ஒரே நேரத்தில் திருப்தி செய்ய வேண்டும். இதைக் காண இரண்டு முறைகள் உள்ளன.
பிரதியீடு முறை (substitution): ஒரு சமன்பாட்டிலிருந்து ஒரு மாறியை ($y = \ldots$ என) தனியே வெளிப்படுத்தி, அதை மற்ற சமன்பாட்டில் பிரதியிடுவது.
உதாரணம் — பிரதியீடு$a + 2b = 3$ (i), $2a + b = 0$ (ii). (ii) இலிருந்து $b = -2a$. இதை (i) இல் பிரதியிட: $a + 2(-2a) = 3 \Rightarrow a - 4a = 3 \Rightarrow -3a = 3 \Rightarrow a = -1$. பின் $b = -2(-1) = 2$.
நீக்கல் முறை (elimination): ஒரு மாறியின் குணகங்களை இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக்கி, கூட்டியோ கழித்தோ அந்த மாறியை "நீக்குவது".
உதாரணம் — நீக்கல்$x + y = 20$ (i), $2x + 5y = 55$ (ii). (i) ஐ $2$ ஆல் பெருக்க: $2x + 2y = 40$ (iii). (ii) $-$ (iii): $3y = 15 \Rightarrow y = 5$. பின் (i) இலிருந்து $x = 15$.
சரிபார்ப்பு$15$ ரூ.$2$ நாணயங்கள் + $5$ ரூ.$5$ நாணயங்கள் $= 30 + 25 = 55$ ✓.
சொல் வழக்குகளுக்கு"வயது" அல்லது "விலை" போன்ற கேள்விகளில் இரண்டு தெரியாதவற்றை $x, y$ என வையுங்கள்; கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு தகவல்களையும் இரண்டு தனித்தனி சமன்பாடுகளாக எழுதுங்கள்.
3 இருபடிச் சமன்பாடு — முறை 1: காரணியாக்கம்
$ax^2 + bx + c = 0$ இல் இரு காரணிகளின் பெருக்கம் பூஜ்யமாக இருந்தால், அந்த இரு காரணிகளில் ஒன்று கண்டிப்பாக பூஜ்யமாக இருக்க வேண்டும் — இதைப் பயன்படுத்தியே காரணியாக்க முறை வேலை செய்கிறது. முதலில் எப்போதும் காரணியாக்கத்தை முயற்சிக்கவும்; இதுவே வேகமான வழி.
உதாரணம் 1$x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ அல்லது $x = 3$.
உதாரணம் 2$2x^2 - 5x - 3 = 0 \Rightarrow (2x+1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}$ அல்லது $x = 3$.
காரணியாக்கும் வழி$2 \times (-3) = -6$. இந்த $-6$ ஐ இரு எண்களாகப் பிரிக்கவும் — அவை கூடினால் நடு உறுப்பின் குணகம் ($-5$) கிடைக்க வேண்டும்: $+1 \times (-6) = -6$ மற்றும் $1 + (-6) = -5$ ✓.
4 இருபடிச் சமன்பாடு — முறை 2: இருபடிச் சூத்திரம்
காரணியாக்க முடியாதபோது, அல்லது காரணியாக்கம் சரியாகக் கிடைக்குமா என்று உறுதி இல்லாதபோது — இருபடிச் சூத்திரம் எப்போதுமே வேலை செய்யும். இந்தச் சூத்திரம் "வர்க்கப் பூர்த்தி" எனும் ஒரே முறையிலிருந்து எல்லா இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கும் பொதுவாக வருவிக்கப்பட்டது.
$ax^2 + bx + c = 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$b^2 - 4ac$ என்ற பகுதிக்கு பாகுபடுத்தி (discriminant) எனப் பெயர். இது எத்தனை உண்மையான விடைகள் இருக்கும் என்பதைச் சொல்லும்: $b^2-4ac > 0$ எனில் இரு தனித்த மூலங்கள்; $=0$ எனில் ஒரே ஒரு (இரட்டை) மூலம்; $<0$ எனில் உண்மையான மூலமே இல்லை.
உதாரணம் 1 — காரணியாக்க முடியாதது$x^2 - 2x - 1 = 0$: $a=1, b=-2, c=-1$. $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
உதாரணம் 2$2x^2 + 3x - 2 = 0$: $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{4} = \dfrac{-3 \pm 5}{4}$. $x = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ அல்லது $x = \dfrac{-8}{4} = -2$.
5 இருபடிச் சமன்பாடு — முறை 3: வர்க்கப் பூர்த்தியாக்கம்
சூத்திரமே இல்லாமல் தீர்க்கும் மூன்றாவது முறை இது — $x^2 + bx$ போன்ற கோவையை $(x+k)^2$ எனும் முழுமையான வர்க்க வடிவமாக மாற்றுவது. $k = \dfrac{b}{2}$ என வைத்தால் $(x+k)^2 = x^2 + bx + k^2$ கிடைக்கும்; ஆகவே $k^2$ ஐ இரு பக்கமும் கூட்டினால் இடப்பக்கம் "பூர்த்தியாகிறது".
உதாரணம்$x^2 - 4x - 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x = 1$. $\left(\dfrac{4}{2}\right)^2 = 4$ ஐ இரு பக்கமும் கூட்ட: $x^2 - 4x + 4 = 1 + 4 \Rightarrow (x-2)^2 = 5$. மூலம் எடுக்க: $x - 2 = \pm\sqrt{5} \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{5}$.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Simultaneous equations = ஒருங்கமை சமன்பாடுகள்
Elimination = நீக்கல் முறை
Substitution = பிரதியீடு முறை
Quadratic equation = இருபடிச் சமன்பாடு
Discriminant (b²−4ac) = பாகுபடுத்தி
Completing the square = வர்க்கப் பூர்த்தியாக்கம்
6 பொதுவான தவறுகள்
⚠ எச்சரிக்கை 1சூத்திரத்தில் $-b$ — $b$ இன் அடையாளத்தைக் கவனமாக நோக்குங்கள்; $b=-2$ ஆனால் $-b=+2$ ஆகும்.
⚠ எச்சரிக்கை 2$b^2 - 4ac$ முழுவதும் $\sqrt{\ }$ க்குள் இருக்க வேண்டும் — $\sqrt{b^2} - 4ac$ என்று தவறாகப் பிரிக்கக் கூடாது.
⚠ எச்சரிக்கை 3ஒருங்கமையில் $x$ மட்டும் கண்டால் போதாது — $y$ பெறுமானமும் தேவை.
⚠ எச்சரிக்கை 4வர்க்கப் பூர்த்தியில் $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$ ஐ இரு பக்கமும் சேர்க்க மறக்காதீர்கள்.