▱
சமாந்தரக் கோடுகளுக்கிடையே பரப்பளவு
Area Between Parallel Lines · Grade 11, Unit 8
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 ஒரே உயரம் = ஒரே பரப்பு
இரு சமாந்தரக் கோடுகளை (இரு தண்டவாளங்கள் போல) கற்பனை செய்யுங்கள். அதில் ஒரு செவ்வகம் அமைக்கிறீர்கள். பின் அதே அடியின் மீது ஒரு சாய்ந்த இணைகரமும் அமைக்கிறீர்கள். வடிவம் வேறு, ஆனால் பரப்பளவு சமமாகவே இருக்கும்!
ஏன்? இரண்டுமே ஒரே இரு சமாந்தரக் கோடுகளுக்கிடையே (தண்டவாளங்களுக்கிடையே) அமைந்திருப்பதால், உயரம் ($h$) மாறவில்லை; அடி ($b$) மாறவில்லை. ஆகவே பரப்பு ($b \times h$) மாறாது. இதுவே இந்த அலகின் மையக் கருத்து — சமாந்தரங்களுக்கிடையே அமையும் சம பரப்பு தேற்றங்கள்.
2 பரப்பளவுச் சூத்திரங்கள் (மீட்டல்)
முக்கோணி $= \dfrac{1}{2} \times$ அடி $\times$ உயரம் • இணைகரம் $=$ அடி $\times$ உயரம்
செவ்வகம் $=$ நீளம் $\times$ அகலம் • சரிவகம் $= \dfrac{1}{2}(a+b) \times h$
உதாரணம் 1 — முக்கோணிஅடி $10$ cm, உயரம் $8$ cm எனில்: பரப்பு $= \dfrac{1}{2}(10)(8) = 40\ \text{cm}^2$.
கவனம்உயரம் என்பது எப்போதும் அடிக்குச் செங்குத்தான தூரம் — சாய்பக்கத்தின் நீளம் அல்ல.
உதாரணம் 2 — சரிவகம்$a = 6$ cm, $b = 10$ cm, $h = 4$ cm எனில்: பரப்பு $= \dfrac{1}{2}(6+10)(4) = \dfrac{1}{2}(16)(4) = 32\ \text{cm}^2$.
3 தேற்றம் 1 — ஒரே அடி, ஒரே சமாந்தரம்: இணைகரங்கள் சம பரப்பு
ஒரே அடியின் மீதும், ஒரே இரு சமாந்தரக் கோடுகளுக்கு இடையேயும் அமையும் எல்லா இணைகரங்களும் சம பரப்பு உடையவை. காரணம் தெளிவு: அடி $b$ மாறவில்லை; உயரம் $h$ (இரு கோடுகளுக்கிடையேயான செங்குத்துத் தூரம்) மாறவில்லை. வடிவம் எவ்வளவு சாய்ந்திருந்தாலும் $b \times h$ மாறாது.
உதாரணம்செவ்வகம் $KLMN$: $NM = 10$ cm, $KN = 8$ cm $\Rightarrow$ பரப்பு $= 80\ \text{cm}^2$. அதே அடி $NM$-இன் மீது, அதே சமாந்தரத்தில் அமையும் இணைகரம் $PQMN$-இன் பரப்பும் $= 80\ \text{cm}^2$ — வடிவம் சாய்ந்தாலும் $h$ மாறாது என்பதால்.
4 தேற்றம் 2 — முக்கோணி $=$ இணைகரத்தின் பாதி
ஒரு இணைகரத்தை மூலைவிட்டமாக வரைந்தால், அது இரு சம முக்கோணிகளாகப் பிரிகிறது என்பது ஏற்கெனவே தெரியும். இதிலிருந்து ஒரு முடிவு கிடைக்கிறது: அதே அடியிலும் அதே சமாந்தரத்திலும் அமையும் ஒரு முக்கோணியின் பரப்பு, அந்த இணைகரத்தின் பரப்பில் பாதி.
ஒரே அடி, ஒரே சமாந்தரங்கள் $\Rightarrow$ முக்கோணி $= \dfrac{1}{2} \times$ இணைகர பரப்பு
உதாரணம் 1இணைகரம் பரப்பு $80\ \text{cm}^2$ $\Rightarrow$ அதே அடி+சமாந்தரத்தில் அமையும் முக்கோணி $= 40\ \text{cm}^2$.
உதாரணம் 2 — தேர்வு வடிவம்$\triangle ABC$ உம் இணைகரம் $ABCD$ உம் ஒரே அடி $AB$ மற்றும் ஒரே சமாந்தரத்தில் அமைந்துள்ளன. இணைகரம் $ABCD = 48\ \text{cm}^2$ எனில் $\triangle ABC = 24\ \text{cm}^2$.
5 தேற்றம் 3 — ஒரே அடி, ஒரே சமாந்தரம்: முக்கோணிகள் சம பரப்பு
ஒரே அடியிலும், ஒரே இரு சமாந்தரக் கோடுகளுக்கிடையேயும் அமையும் எல்லா முக்கோணிகளும் சம பரப்பு உடையவை. இதற்கான காரணமும் அதே தான்: $\text{பரப்பு} = \tfrac{1}{2} \times b \times h$ இல் $b$ மாறவில்லை, $h$ மாறவில்லை — வடிவம் மட்டும் வேறாக இருக்கலாம்.
உதாரணம்$\triangle ABC$ உம் $\triangle ABD$ உம் ஒரே அடி $AB$-இன் மீது, $C$ மற்றும் $D$ ஒரே சமாந்தரத்தில் அமைந்திருந்தால்: $\text{ar}(\triangle ABC) = \text{ar}(\triangle ABD)$.
அன்றாட உதாரணம்ஒரு நிலத்தை இரு சம பரப்பளவு கொண்ட பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டியிருந்தால், நில அளவையாளர்கள் இந்தத் தத்துவத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனர் — அடி மற்றும் சமாந்தரம் மாறாமல் இருக்கும் வரை வடிவத்தை மாற்றியும் பரப்பு மாறாது.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Parallel lines = சமாந்தரக் கோடுகள்
Same base = ஒரே அடி
Perpendicular height = செங்குத்து உயரம்
Parallelogram = இணைகரம்
Trapezium = சரிவகம்
ar(△) = ½ ar(parallelogram) = முக்கோணி = இணைகரத்தின் பாதி
6 பொதுவான தவறுகள்
⚠ எச்சரிக்கை 1மூன்று தேற்றங்களும் பொருந்த இரண்டு நிபந்தனைகள் தேவை: ஒரே அடி மற்றும் ஒரே சமாந்தரங்கள் — ஒன்று மட்டும் போதாது.
⚠ எச்சரிக்கை 2உயரம் என்பது எப்போதும் செங்குத்தான தூரம் — சாய்பக்கத்தின் நீளம் அல்ல.
⚠ எச்சரிக்கை 3முக்கோணியின் பரப்பில் $\tfrac{1}{2}$ ஐ மறக்காதீர்கள் — இணைகரத்திற்கு அது தேவையில்லை.
⚠ எச்சரிக்கை 4"முக்கோணி $=$ இணைகரத்தின் பாதி" என்பது அதே அடி மற்றும் அதே சமாந்தரத்தில் இருக்கும் இணைகரத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும்.