⚡
சுட்டிகளும் மடக்கைகளும் I
Indices & Logarithms I · Grade 11, Unit 2
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 $2^{1/2}$ என்றால் என்ன?
தரம் 8 இல் $2^3 = 8$ என்று கற்றீர்கள் — "2 ஐ மூன்று முறை தன்னோடு பெருக்கு" என்பது புரிகிறது. தரம் 10 இல் $a^0 = 1$, $a^{-n}$ போன்றவற்றைக் கண்டீர்கள். ஆனால் $2^{1/2}$ என்றால் என்ன? "2 ஐ அரை முறை பெருக்கு" என்று சொல்வதற்கு நேரடி அர்த்தமே இல்லை. இந்த அலகு அதற்கான விடையைத் தருகிறது — பின்ன சுட்டிகளும் மறை சுட்டிகளும் அதே பழைய சுட்டி விதிகளிலிருந்தே இயல்பாக வருகின்றன என்று காண்பிக்கிறோம். மடக்கை (logarithm) என்பது சுட்டியின் "பின்னோக்குச் செயல்பாடு" — அதுவும் இங்கே தெளிவாகும்.
2 மறை சுட்டி — $a^{-n}$ ஏன் $\dfrac{1}{a^n}$?
$a^5 \div a^5 = 1$ என்பது நேரடியாகவே தெரியும். ஆனால் சுட்டி விதிப்படி $a^5 \div a^5 = a^{5-5} = a^0$. இரண்டும் சரியாக இருக்க வேண்டும் என்றால் $a^0 = 1$ — இது ஒரு மனப்பாடச் சட்டமல்ல, விதியிலிருந்தே தானாக வருகிறது.
இப்போது $a^3 \div a^5$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். நேரடியாக விரித்தால்: $\dfrac{a^3}{a^5} = \dfrac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \dfrac{1}{a^2}$. ஆனால் விதிப்படி: $a^3 \div a^5 = a^{3-5} = a^{-2}$. இரண்டு விடைகளும் சரியாக இருக்க வேண்டும் என்றால் $a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$ என்றுதான் இருக்க முடியும். மறை சுட்டி என்பது "தலைகீழாக்கு" என்ற பொருள் மட்டுமே.
3 பின்ன சுட்டி — $a^{1/n}$ ஏன் $\sqrt[n]{a}$?
"வலுவின் வலு" விதியை நினைவுகூருங்கள்: $(a^m)^n = a^{mn}$. இதை $a^{1/2}$ க்குப் பயன்படுத்தினால்: $(a^{1/2})^2 = a^{(1/2) \times 2} = a^1 = a$. அதாவது $a^{1/2}$ ஐ இருமுறை தன்னோடு பெருக்கினால் $a$ கிடைக்கிறது — இதுவே $a$ இன் வர்க்கமூலத்தின் வரையறை: $a^{1/2} = \sqrt{a}$.
அதேபோல் $(a^{1/3})^3 = a^1 = a$ — அதாவது மூன்றாம் மூலம்: $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. பகுதி (denominator) $n$ என்பது "$n$ ஆம் மூலம்" என்று பொருள்.
இரண்டையும் இணைத்தால்: $a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[n]{a})^m$. மாற்றியும் எழுதலாம்: $a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}$ — இரண்டும் சரிதான், எது கணக்கிட எளிதோ அதைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.
நினைவிருக்கட்டும்$a^{m/n}$ இல் — பகுதி $n$ = மூலம் (root); தொகுதி $m$ = வலு (power). முதலில் மூலம் எடுத்துவிட்டு, பின் வலு உயர்த்துவது கணக்கிட எளிது.
உதாரணம் 1$27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.
உதாரணம் 2$(\sqrt{25})^{-2} = (25^{1/2})^{-2} = 5^{-2} = \dfrac{1}{25}$.
படிமுறைமுதலில் வர்க்கமூலம் ($25 \to 5$), பிறகு மறை சுட்டி (தலைகீழ்: $5^2 \to \dfrac{1}{25}$).
உதாரணம் 3$\left(\dfrac{27}{125}\right)^{2/3} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$.
படிமுறைபகுதி $3$ = மூலம்: $\dfrac{27}{125} \to \dfrac{3}{5}$ (ஒவ்வொன்றும் மூன்றாம் மூலம் எடுக்கப்பட்டது). தொகுதி $2$ = வலு: $\dfrac{3}{5} \to \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$.
4 சுட்டிகளுடன் சுருக்கல்
சுட்டி விதிகளைப் பின்ன சுட்டிகளுக்கும் மறை சுட்டிகளுக்கும் அப்படியே பயன்படுத்தலாம். தொகுதியிலோ பகுதியிலோ மறை சுட்டி இருந்தால், அதை மாற்றி எழுதுவதன் மூலம் கோவை எளிதாகிறது.
உதாரணம் 1$(\sqrt{x})^3 = (x^{1/2})^3 = x^{3/2}$.
உதாரணம் 2$(\sqrt[3]{a})^{-1/2} = (a^{1/3})^{-1/2} = a^{-1/6} = \dfrac{1}{a^{1/6}}$.
உதாரணம் 3$\dfrac{1}{\sqrt{x^{-3}}} = (x^{-3})^{-1/2} = x^{3/2}$.
ஏன்?மறை $\times$ மறை $=$ நேர்: $-3 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = +\dfrac{3}{2}$.
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ • $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ • $(a^m)^n = a^{mn}$
$a^0 = 1$ • $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ • $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ • $a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m$
5 மடக்கை — சுட்டியின் நேர்மாறு
ஒரு கேள்வியை எடுத்துக்கொள்வோம்: $2^{?} = 32$. விடை $5$ என்பது நேரடியாகவே தெரியும், ஏனெனில் $2^5 = 32$. ஆனால் $10^{?} = 500$ என்றால்? இந்த முறை விடை உடனடியாகத் தெரியாது. மடக்கை (logarithm) இந்தக் கேள்வியை முறையாக எழுத ஒரு வழி தருகிறது: $10^x = 500 \implies x = \log_{10} 500$. "$\log_{10} 500$" என்றால் "$10$ ஐ எத்தனை மடங்கு உயர்த்தினால் $500$ கிடைக்கும்?" என்று மட்டுமே பொருள்.
முன்னோக்கு (forward): $a^x = N$. பின்னோக்கு (reverse): $\log_a N = x$. இரண்டும் ஒரே உறவையே வேறு வேறு திசையில் காட்டுகின்றன.
$a^x = N \;\Longleftrightarrow\; \log_a N = x$ ($a>0,\; a\neq 1,\; N>0$) • $\lg = \log_{10}$
6 மடக்கை விதிகள் எங்கிருந்து வருகின்றன?
மடக்கை விதிகள் தனியே மனப்பாடம் செய்ய வேண்டியவை அல்ல — அவை சுட்டி விதிகளிலிருந்தே நேரடியாக வருகின்றன. $\log_a M = x$ என்றால் $a^x = M$; $\log_a N = y$ என்றால் $a^y = N$. அப்போது $MN = a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ — சுட்டியின் கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி. எனவே $\log_a(MN) = x+y = \log_a M + \log_a N$. மற்ற விதிகளும் இதே வழியில் வருவிக்கப்படுகின்றன.
$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$
$\log_a\dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ • $\log_a M^n = n\log_a M$
$\log_a a = 1$ • $\log_a 1 = 0$
உதாரணம் 1$\lg 25 + \lg 4 = \lg(25 \times 4) = \lg 100 = 2$ (ஏனெனில் $100 = 10^2$).
உதாரணம் 2$\log_2 8 - \log_2 4 = \log_2\dfrac{8}{4} = \log_2 2 = 1$.
உதாரணம் 3$\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4\log_3 3 = 4 \times 1 = 4$.
உதாரணம் 4$\log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{1/2} = \dfrac{1}{2}$.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Index / Power = சுட்டி
Negative index = மறை சுட்டி
Fractional index = பின்ன சுட்டி
Root (√) = மூலம்
Logarithm = மடக்கை
a^x = N ⟺ log_a N = x = சுட்டி ↔ மடக்கை மாற்றம்
7 பொதுவான தவறுகள்
⚠ எச்சரிக்கை 1$a^{m/n}$ இல் பகுதி $=$ மூலம், தொகுதி $=$ வலு — இதைத் தலைகீழ் மாற்றாதீர்கள்.
⚠ எச்சரிக்கை 2$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ — இது மறை சுட்டி, மறை எண் அல்ல ($a^{-2} \neq -a^2$).
⚠ எச்சரிக்கை 3$(a+b)^n \neq a^n + b^n$ — விதிரித்துப் பெருக்குவது தனிக்கோவைகளுக்கு (single terms) மட்டுமே பொருந்தும்.
⚠ எச்சரிக்கை 4$\log(M+N) \neq \log M + \log N$ — கூட்டலுக்கு எந்த மடக்கை விதியும் இல்லை.
⚠ எச்சரிக்கை 5$\log_a a = 1$; $\log_a 1 = 0$ — இவற்றை சுட்டியிலிருந்தே நினைவுகூருங்கள்: $a^1=a$, $a^0=1$.