📐
சுட்டிகளும் மடக்கைகளும் II
Indices & Logarithms II · Grade 11, Unit 3
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 பட்டை (bar) குறியீடு ஏன் தேவை?
கணிப்பான் வருவதற்கு முன்பு, விஞ்ஞானிகள் $0.005432 \times 87.6$ போன்ற பெரிய பெருக்கல்களை எப்படிச் செய்தார்கள்? பெருக்கலை நேரடியாகச் செய்யாமல், இரு எண்களின் மடக்கை எடுத்து அவற்றைக் கூட்டினார்கள் — ஏனெனில் $\lg(M \times N) = \lg M + \lg N$. கூட்டல் எப்போதும் பெருக்கலை விட எளிது.
ஆனால் $0.005432$ போன்ற $1$ இலும் சிறிய எண்களின் மடக்கை மறை மதிப்பாக இருக்கும் — அதை அச்சிடப்பட்ட மடக்கை அட்டவணையில் எப்படிக் கையாள்வது, ஏனெனில் அட்டவணைகள் நேர் தசமக்கூறுகளுக்கே வேலை செய்யும். இதற்குத் தீர்வாக வந்ததே பட்டை (bar) குறியீடு.
2 சிறப்பியல்பும் தசமக்கூறும்
அட்டவணை $\lg 5.432 = 0.7350$ எனத் தருகிறது என வையுங்கள். இப்போது $5.432 \times 10^{-1} = 0.5432$ எடுத்துக்கொள்வோம்: $\lg 0.5432 = \lg(5.432 \times 10^{-1}) = \lg 5.432 + \lg 10^{-1} = 0.7350 + (-1) = -0.2650$.
இந்த $-0.2650$ ஐ அப்படியே அட்டவணையில் தேட முடியாது. எனவே ஒரு புத்திசாலி யுக்தி பயன்படுத்தப்படுகிறது: முழு எண் பகுதியை (சிறப்பியல்பு, characteristic) மட்டும் மறையாக எழுது; தசமக்கூறை (mantissa) எப்போதும் நேராக வை. அதாவது $\lg 0.5432 = -1 + 0.7350$ — இதை $\bar{1}.7350$ என எழுதுகிறோம். $\bar{1}$ என்பது "மறை ஒன்று" மட்டுமே; $.7350$ நேர். இப்போது அட்டவணையில் $.7350$ ஐத் தேடலாம் — இலக்கங்கள் $5432$ கிடைக்கும்; சிறப்பியல்பு $\bar{1}$ புள்ளியின் இடத்தைக் காட்டும்.
| எண் | விஞ்ஞான முறை | $\lg$ (பட்டை வடிவம்) |
|---|
| $5.432$ | $5.432 \times 10^0$ | $0.7350$ |
| $0.5432$ | $5.432 \times 10^{-1}$ | $\bar{1}.7350$ |
| $0.05432$ | $5.432 \times 10^{-2}$ | $\bar{2}.7350$ |
| $0.005432$ | $5.432 \times 10^{-3}$ | $\bar{3}.7350$ |
இலக்கங்கள் $5432$ மாறவில்லை — தசமக்கூறு $0.7350$ மாறாமலேயே இருக்கிறது. சிறப்பியல்பு மட்டுமே மாறுகிறது; புள்ளிக்குப் பின் எத்தனை பூச்சியங்கள் இருந்தாலும், அந்த எண்ணிக்கைக்கு $+1$ கூட்டி சிறப்பியல்பு காணலாம்.
$0 < x < 1$ ஆனால்: புள்ளிக்குப் பின் முதல் பூச்சியமற்ற இலக்கம் வரும் இடம் $= n$ எனில், சிறப்பியல்பு $= \bar{n}$.
$0.5\ldots \to$ பூச்சியம் இல்லை $\to \bar{1}$ • $0.05\ldots \to$ ஒரு பூச்சியம் $\to \bar{2}$
பட்டை மதிப்பு எடுத்தல்$\bar{1}.7350 = -1 + 0.7350 = -0.2650$. $\bar{2}.3725 = -2 + 0.3725 = -1.6275$.
3 முறன்மடக்கை (antilog) — பட்டை வடிவத்திலிருந்து எண் காண்க
$\lg x = \bar{1}.7350$ எனில் $x$ என்ன? நேர்மாறாக அட்டவணையில் தசமக்கூறு $0.7350$ ஐத் தேடினால் இலக்கங்கள் $5432$ கிடைக்கும். சிறப்பியல்பு $\bar{1}$ என்றால் "புள்ளிக்குப் பின் பூச்சியமே இல்லாமல் நேரடியாக இலக்கங்கள்" என்று பொருள் — ஆகவே $x = 0.5432$.
உதாரணம் 1$\text{antilog}\ \bar{1}.7350 = 0.5432$.
ஏன்?சிறப்பியல்பு $\bar{1}$: புள்ளிக்குப் பின் உடனே இலக்கம் தொடங்கும் (பூச்சியம் இல்லை).
உதாரணம் 2$\text{antilog}\ \bar{3}.7350 = 0.005432$.
ஏன்?சிறப்பியல்பு $\bar{3}$: புள்ளிக்குப் பின் $(3-1)=2$ பூச்சியங்கள், பின் இலக்கங்கள் $5432$.
4 பட்டை மடக்கைகளின் கூட்டல் & கழித்தல்
பட்டை சிறப்பியல்புகளைக் கூட்டும்போது கவனமாக இருக்க வேண்டும். தசமக்கூறுகளை முதலில் தனியாகக் கூட்டுங்கள்; அவை $1$ ஐ அல்லது அதற்கு மேலே கடந்தால் ஒன்றை "கொண்டுசெல்" (carry) என்று எடுங்கள் — ஆனால் இந்தக் கொண்டுசெல் எப்போதும் நேர்ச் சிறப்பியல்புகளுக்குச் சேர்க்கப்படும் ($+1$), கழிக்கப்படாது.
உதாரணம் 1 — கூட்டல்$\bar{1}.7350 + \bar{1}.7350$: தசமம் $0.7350 + 0.7350 = 1.4700$ $\to$ கொண்டுசெல் $1$, தசமம் $0.4700$. சிறப்பியல்பு: $(-1)+(-1)+1(\text{கொண்டுசெல்}) = -1 \to \bar{1}.4700$. விடை: $\text{antilog}\ \bar{1}.4700 = 0.2951$.
சரிபார்ப்பு$0.5432 \times 0.5432 = 0.2951$ — நேரடியாகப் பெருக்கியும் இதே விடை கிடைக்கும்.
உதாரணம் 2 — கழித்தல்$\bar{2}.7350 - \bar{1}.4200 = (-2+0.7350) - (-1+0.4200) = (-2+1) + (0.7350-0.4200) = \bar{1}.3150$.
முறைகழித்தலில் சிறப்பியல்புகளையும் தசமக்கூறுகளையும் தனித்தனியே கையாள வேண்டும்.
5 விஞ்ஞானக் கணிப்பான்
இன்று கணிப்பான் இருப்பதால், மடக்கை அட்டவணை தேடி நேரம் செலவழிக்க வேண்டியதில்லை. ஆனாலும் இதற்குப் பின்னாலுள்ள விதிகளும் கருத்துகளும் தேர்வுக்கு அவசியம் — கணிப்பான் தரும் விடையைப் புரிந்துகொள்ளவும், வார்த்தை வடிவக் கேள்விகளுக்கும் இது தேவை. முக்கிய சாவிகளை அறிந்து வையுங்கள்.
$\boxed{\log}$ = பொதுவான மடக்கை ($\log_{10}$) • $\boxed{\ln}$ = இயற்கை மடக்கை ($\log_e$)
$\boxed{x^y}$ அல்லது $\boxed{\wedge}$ = வலு • $\boxed{\sqrt{\ }}$ = வர்க்கமூலம் • $\boxed{x^{-1}}$ = தலைகீழ்
உதாரணம்$2^{10}$ ஐக் கணிப்பானில் காண: $2\ \boxed{x^y}\ 10\ \boxed{=} \to 1024$.
அன்றாட உதாரணம்pH அளவுகோல் ஹைட்ரஜன் அயனி செறிவின் மடக்கை என்பதால், pH $4$ கரைசல் pH $5$ கரைசலை விட $10$ மடங்கு அமிலத்தன்மை கொண்டது — ஒவ்வொரு pH இலக்கமும் $10$ மடங்கு வேறுபாட்டைக் குறிக்கும்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Characteristic = சிறப்பியல்பு
Mantissa = தசமக்கூறு
Bar notation (n̄) = பட்டை குறியீடு
Antilog = முறன்மடக்கை
Carry = கொண்டுசெல்
log₁₀ = பொதுவான மடக்கை
6 பொதுவான தவறுகள்
⚠ எச்சரிக்கை 1$\bar{2}.3725 = -2 + 0.3725$ — தசமக்கூறு எப்போதும் நேர்; இதை முழுவதுமாக $-2.3725$ என்று படித்துவிடக் கூடாது.
⚠ எச்சரிக்கை 2பட்டை கூட்டலில் தசமக்கூறிலிருந்து வரும் கொண்டுசெல் ($+1$) சிறப்பியல்புக்கு கூட்டப்படும் — கழிக்கப்படாது.
⚠ எச்சரிக்கை 3சிறப்பியல்பு $\bar{n}$ ஆக இருந்தால், antilog எடுக்கும்போது புள்ளிக்குப் பின் $(n-1)$ பூச்சியங்கள் வரும், பின்னரே இலக்கங்கள் வரும்.
⚠ எச்சரிக்கை 4கணிப்பானின் $\log$ சாவி $\log_{10}$ ஐயே தரும்; $\ln$ (இயற்கை மடக்கை) வேறு சாவி — இரண்டையும் குழப்பக் கூடாது.