📝 பயிற்சி
எல்லைத் தெரிவு செய்து, பகுதி I (MCQ) அல்லது பகுதி II (கட்டுரை) பயிற்சி செய்யுங்கள்.
தேக்கோட்டு இயக்கம் · பகுதி II
அலகு 2 — தேக்கோட்டு இயக்கம்
1. (அ) தூரம் — இடப்பெயர்ச்சி, கதி — வேகம் ஆகிய இரு ஜோடிக்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டை உதாரணத்துடன் விளக்குக. (6 புள்.)
(ஆ) 400 m வட்ட ஓட்டப் பாதையில் ஓர் ஓட்டக்காரர் முழுச் சுற்று ஒன்றை 80 s-இல் முடித்தார். அவரது மொத்த தூரம், இடப்பெயர்ச்சி, சராசரிக் கதி, சராசரி வேகம் என்பவற்றை கணக்கிடுக. (4 புள்.) (10 புள்ளி)
(ஆ) 400 m வட்ட ஓட்டப் பாதையில் ஓர் ஓட்டக்காரர் முழுச் சுற்று ஒன்றை 80 s-இல் முடித்தார். அவரது மொத்த தூரம், இடப்பெயர்ச்சி, சராசரிக் கதி, சராசரி வேகம் என்பவற்றை கணக்கிடுக. (4 புள்.) (10 புள்ளி)
விடைத் திட்டம்:
- தூரம் = கடந்த பாதையின் மொத்த நீளம் (scalar).
- இடப்பெயர்ச்சி = தொடக்கம் → இறுதி நேர்க்கோட்டு + திசை (vector).
- கதி = தூரம்/நேரம் (scalar).
- வேகம் = இடப்பெயர்ச்சி/நேரம் (vector).
- மொத்த தூரம் = 400 m.
- இடப்பெயர்ச்சி = 0 (தொடக்கம் = இறுதி).
- சராசரிக் கதி = 400/80 = 5 m s⁻¹.
- சராசரி வேகம் = 0.
(அ) தூரம் என்பது ஒரு பொருள் ஒரு இடத்திலிருந்து இன்னோர் இடத்துக்குச் செல்லும்போது கடந்த பாதையின் மொத்த நீளம். பாதை வளைந்தோ, சுற்றியோ, பல திருப்பங்கள் கொண்டோ இருந்தாலும், சேர்த்துக் கணக்கிட்ட நீளமே தூரம். இதற்கு திசை இல்லை; இது எண்ணிக் கணியம் (scalar). SI அலகு m.
இடப்பெயர்ச்சி என்பது தொடக்கப் புள்ளியிலிருந்து இறுதிப் புள்ளி வரை வரையப்படும் நேர்க்கோட்டு; அதன் அளவும் திசையும் சேர்ந்தது — ஆகவே காவிக் கணியம் (vector). SI அலகு m, ஆனால் திசையும் தெரிவிக்கப்பட வேண்டும்.
உதாரணம்: ஒருவர் வீட்டிலிருந்து கடைக்குச் சென்று மீண்டும் வீடு திரும்பினால் — கடந்த தூரம் 2 கி.மீ ஆகும் (போனது + வந்தது); ஆனால் இடப்பெயர்ச்சி பூஜ்ஜியம் (தொடக்கம் = இறுதி).
கதி என்பது ஓரலகு நேரத்தில் கடக்கும் தூரம் — scalar; SI அலகு m s⁻¹. வேகம் என்பது ஓரலகு நேரத்தில் ஏற்படும் இடப்பெயர்ச்சி — vector; SI அலகு m s⁻¹. அதனாலேயே ஒரு கூற்றில் '6 m s⁻¹ வடக்கு நோக்கி' என்று திசை இருந்தால் வேகம்; '6 m s⁻¹' மட்டுமே என்றால் கதி.
(ஆ) ஓட்டக்காரர்: முழுச் சுற்று → தொடக்கம் = இறுதி.
• மொத்த தூரம் = 400 m.
• இடப்பெயர்ச்சி = 0 m (தொடக்கம் = இறுதி).
• சராசரிக் கதி = 400 / 80 = 5 m s⁻¹.
• சராசரி வேகம் = 0 / 80 = 0 m s⁻¹.
இதனாலேயே 'சீரான கதி உள்ளவருக்கும் சராசரி வேகம் 0 ஆக இருக்கலாம்' என்ற முடிவு.
இடப்பெயர்ச்சி என்பது தொடக்கப் புள்ளியிலிருந்து இறுதிப் புள்ளி வரை வரையப்படும் நேர்க்கோட்டு; அதன் அளவும் திசையும் சேர்ந்தது — ஆகவே காவிக் கணியம் (vector). SI அலகு m, ஆனால் திசையும் தெரிவிக்கப்பட வேண்டும்.
உதாரணம்: ஒருவர் வீட்டிலிருந்து கடைக்குச் சென்று மீண்டும் வீடு திரும்பினால் — கடந்த தூரம் 2 கி.மீ ஆகும் (போனது + வந்தது); ஆனால் இடப்பெயர்ச்சி பூஜ்ஜியம் (தொடக்கம் = இறுதி).
கதி என்பது ஓரலகு நேரத்தில் கடக்கும் தூரம் — scalar; SI அலகு m s⁻¹. வேகம் என்பது ஓரலகு நேரத்தில் ஏற்படும் இடப்பெயர்ச்சி — vector; SI அலகு m s⁻¹. அதனாலேயே ஒரு கூற்றில் '6 m s⁻¹ வடக்கு நோக்கி' என்று திசை இருந்தால் வேகம்; '6 m s⁻¹' மட்டுமே என்றால் கதி.
(ஆ) ஓட்டக்காரர்: முழுச் சுற்று → தொடக்கம் = இறுதி.
• மொத்த தூரம் = 400 m.
• இடப்பெயர்ச்சி = 0 m (தொடக்கம் = இறுதி).
• சராசரிக் கதி = 400 / 80 = 5 m s⁻¹.
• சராசரி வேகம் = 0 / 80 = 0 m s⁻¹.
இதனாலேயே 'சீரான கதி உள்ளவருக்கும் சராசரி வேகம் 0 ஆக இருக்கலாம்' என்ற முடிவு.
2. (அ) ஆர்முடுகல் என்றால் என்ன? அதன் SI அலகை எழுதுக. (3 புள்.)
(ஆ) ஓர் கார் 0-இலிருந்து 20 m s⁻¹-ஆக 5 s-இல் வேகம் கூட்டியது. பின் 10 s சீரான வேகத்தில் ஓடியது. இறுதியில் 4 s-இல் நின்றது. (i) ஆர்முடுகல், (ii) அமர்முடுகல், (iii) மொத்த இடப்பெயர்ச்சியை கணக்கிடுக. v–t வரைபை வரைக. (7 புள்.) (10 புள்ளி)
(ஆ) ஓர் கார் 0-இலிருந்து 20 m s⁻¹-ஆக 5 s-இல் வேகம் கூட்டியது. பின் 10 s சீரான வேகத்தில் ஓடியது. இறுதியில் 4 s-இல் நின்றது. (i) ஆர்முடுகல், (ii) அமர்முடுகல், (iii) மொத்த இடப்பெயர்ச்சியை கணக்கிடுக. v–t வரைபை வரைக. (7 புள்.) (10 புள்ளி)
விடைத் திட்டம்:
- ஆர்முடுகல் = வேக மாற்றம்/நேரம்; SI = m s⁻².
- ஆர்முடுகல் (கட்டம் 1) = 20/5 = 4 m s⁻².
- அமர்முடுகல் (கட்டம் 3) = 20/4 = 5 m s⁻².
- கட்டம் 1 இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 5 × 20 = 50 m.
- கட்டம் 2 இடப்பெயர்ச்சி = 20 × 10 = 200 m.
- கட்டம் 3 இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 4 × 20 = 40 m.
- மொத்த = 290 m.
- v–t graph: ஏற்றம் → கிடை → வீழ்ச்சி (trapezium).
(அ) ஆர்முடுகல் (acceleration) என்பது வேக மாற்றத்தின் வீதம். அதாவது ஓரலகு நேரத்தில் ஏற்படும் வேக மாற்றம்.
இது காவிக் கணியம் (vector). SI அலகு m s⁻² (மீற்றர் ஒரு செக்கன் ஸ்கொயருக்கு). நேர் ஆர்முடுகல் → வேகம் ஏறும்; எதிர் ஆர்முடுகல் (அமர்முடுகல்) → வேகம் வீழும்.
(ஆ) கட்டம் 1 (0 → 5 s): u = 0, v = 20 m s⁻¹, t = 5 s.
ஆர்முடுகல் = (20 − 0)/5 = 4 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 5 × 20 = 50 m.
கட்டம் 2 (5 → 15 s): சீரான வேகம் 20 m s⁻¹, t = 10 s.
ஆர்முடுகல் = 0.
இடப்பெயர்ச்சி = 20 × 10 = 200 m.
கட்டம் 3 (15 → 19 s): u = 20, v = 0, t = 4 s.
ஆர்முடுகல் = (0 − 20)/4 = −5 m s⁻²; அமர்முடுகல் = 5 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 4 × 20 = 40 m.
மொத்த இடப்பெயர்ச்சி = 50 + 200 + 40 = 290 m.
v–t வரைபு: ஒரு trapezium — (0,0) → (5,20) ஏற்றம்; (5,20) → (15,20) கிடை; (15,20) → (19,0) வீழ்ச்சி. கீழ்ப்பரப்பின் மொத்தம் 290 m.
ஆர்முடுகல் a = (இறுதி வேகம் − ஆரம்ப வேகம்) / நேரம் = (v − u) / tஇது காவிக் கணியம் (vector). SI அலகு m s⁻² (மீற்றர் ஒரு செக்கன் ஸ்கொயருக்கு). நேர் ஆர்முடுகல் → வேகம் ஏறும்; எதிர் ஆர்முடுகல் (அமர்முடுகல்) → வேகம் வீழும்.
(ஆ) கட்டம் 1 (0 → 5 s): u = 0, v = 20 m s⁻¹, t = 5 s.
ஆர்முடுகல் = (20 − 0)/5 = 4 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 5 × 20 = 50 m.
கட்டம் 2 (5 → 15 s): சீரான வேகம் 20 m s⁻¹, t = 10 s.
ஆர்முடுகல் = 0.
இடப்பெயர்ச்சி = 20 × 10 = 200 m.
கட்டம் 3 (15 → 19 s): u = 20, v = 0, t = 4 s.
ஆர்முடுகல் = (0 − 20)/4 = −5 m s⁻²; அமர்முடுகல் = 5 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 4 × 20 = 40 m.
மொத்த இடப்பெயர்ச்சி = 50 + 200 + 40 = 290 m.
v–t வரைபு: ஒரு trapezium — (0,0) → (5,20) ஏற்றம்; (5,20) → (15,20) கிடை; (15,20) → (19,0) வீழ்ச்சி. கீழ்ப்பரப்பின் மொத்தம் 290 m.
3. (அ) வேக–நேர வரைபில் (i) கோட்டின் சாய்வு, (ii) கோட்டின் கீழ் பரப்பு என்ன குறிக்கின்றன என்பதை விளக்குக. (4 புள்.)
(ஆ) ஓய்விலிருந்து தொடங்கி, 4 s-இல் 12 m s⁻¹ வேகத்துக்கு சீராக ஆர்முடுகித்து, அடுத்த 4 s சீரான வேகத்தில் ஓடி, இறுதி 2 s-இல் சீர் அமர்முடுகலில் நின்ற பொருளுக்கு 10 s-இல் ஆர்முடுகலை, அமர்முடுகலை, மொத்த இடப்பெயர்ச்சியை கணக்கிடுக. (6 புள்.) (10 புள்ளி)
(ஆ) ஓய்விலிருந்து தொடங்கி, 4 s-இல் 12 m s⁻¹ வேகத்துக்கு சீராக ஆர்முடுகித்து, அடுத்த 4 s சீரான வேகத்தில் ஓடி, இறுதி 2 s-இல் சீர் அமர்முடுகலில் நின்ற பொருளுக்கு 10 s-இல் ஆர்முடுகலை, அமர்முடுகலை, மொத்த இடப்பெயர்ச்சியை கணக்கிடுக. (6 புள்.) (10 புள்ளி)
விடைத் திட்டம்:
- சாய்வு (slope) = ஆர்முடுகல்.
- கீழ்ப்பரப்பு (area under) = இடப்பெயர்ச்சி.
- ஆர்முடுகல் = 12/4 = 3 m s⁻².
- அமர்முடுகல் = 12/2 = 6 m s⁻².
- கட்டம் 1 இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 4 × 12 = 24 m.
- கட்டம் 2 இடப்பெயர்ச்சி = 12 × 4 = 48 m.
- கட்டம் 3 இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 2 × 12 = 12 m.
- மொத்த = 84 m.
(அ) வேக–நேர வரைபில்:
(i) கோட்டின் சாய்வு (slope) = ஆர்முடுகல். ஏனெனில் slope = Δv/Δt — இதன் வரையறையே ஆர்முடுகல். நேர் சாய்வு → வேகம் ஏறும்; எதிர் சாய்வு → வேகம் வீழும்; சாய்வு பூஜ்ஜியம் → சீரான வேகம்.
(ii) கீழ்ப்பரப்பு (area under) = இடப்பெயர்ச்சி. சீரான வேகத்தில் பரப்பு = v × t = இடப்பெயர்ச்சி (வேக × நேர அலகுகள் மீற்றராக சுருங்குகின்றன). சீர் ஆர்முடுகலில் வரைபு ஒரு முக்கோணம்; பரப்பு = ½ × அடி × உயரம்.
(ஆ) கட்டம் 1 (0 → 4 s): u = 0, v = 12, t = 4.
ஆர்முடுகல் = 12/4 = 3 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 4 × 12 = 24 m.
கட்டம் 2 (4 → 8 s): சீரான வேகம் 12 m s⁻¹, t = 4.
ஆர்முடுகல் = 0.
இடப்பெயர்ச்சி = 12 × 4 = 48 m.
கட்டம் 3 (8 → 10 s): u = 12, v = 0, t = 2.
ஆர்முடுகல் = (0 − 12)/2 = −6 m s⁻²; அமர்முடுகல் = 6 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 2 × 12 = 12 m.
மொத்த இடப்பெயர்ச்சி = 24 + 48 + 12 = 84 m.
(i) கோட்டின் சாய்வு (slope) = ஆர்முடுகல். ஏனெனில் slope = Δv/Δt — இதன் வரையறையே ஆர்முடுகல். நேர் சாய்வு → வேகம் ஏறும்; எதிர் சாய்வு → வேகம் வீழும்; சாய்வு பூஜ்ஜியம் → சீரான வேகம்.
(ii) கீழ்ப்பரப்பு (area under) = இடப்பெயர்ச்சி. சீரான வேகத்தில் பரப்பு = v × t = இடப்பெயர்ச்சி (வேக × நேர அலகுகள் மீற்றராக சுருங்குகின்றன). சீர் ஆர்முடுகலில் வரைபு ஒரு முக்கோணம்; பரப்பு = ½ × அடி × உயரம்.
(ஆ) கட்டம் 1 (0 → 4 s): u = 0, v = 12, t = 4.
ஆர்முடுகல் = 12/4 = 3 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 4 × 12 = 24 m.
கட்டம் 2 (4 → 8 s): சீரான வேகம் 12 m s⁻¹, t = 4.
ஆர்முடுகல் = 0.
இடப்பெயர்ச்சி = 12 × 4 = 48 m.
கட்டம் 3 (8 → 10 s): u = 12, v = 0, t = 2.
ஆர்முடுகல் = (0 − 12)/2 = −6 m s⁻²; அமர்முடுகல் = 6 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 2 × 12 = 12 m.
மொத்த இடப்பெயர்ச்சி = 24 + 48 + 12 = 84 m.
4. (அ) புவியீர்ப்பினாலான ஆர்முடுகல் (g) என்றால் என்ன? அதன் தோராய பெறுமானமும் திசையும் என்ன? (3 புள்.)
(ஆ) ஓர் கல் 80 m உயரத்திலிருந்து ஓய்விலிருந்து கீழே வீழ்கிறது (g = 10 m s⁻²). (i) தரையை அடைய எடுத்த நேரம், (ii) தரை அடையும் வேகம் — கணக்கிடுக. (4 புள்.)
(இ) 'மேலே எறிந்த பொருளின் உச்ச புள்ளியில் ஆர்முடுகல் பூஜ்ஜியம்' — இக்கூற்று சரியா? காரணம் கூறுக. (3 புள்.) (10 புள்ளி)
(ஆ) ஓர் கல் 80 m உயரத்திலிருந்து ஓய்விலிருந்து கீழே வீழ்கிறது (g = 10 m s⁻²). (i) தரையை அடைய எடுத்த நேரம், (ii) தரை அடையும் வேகம் — கணக்கிடுக. (4 புள்.)
(இ) 'மேலே எறிந்த பொருளின் உச்ச புள்ளியில் ஆர்முடுகல் பூஜ்ஜியம்' — இக்கூற்று சரியா? காரணம் கூறுக. (3 புள்.) (10 புள்ளி)
விடைத் திட்டம்:
- g = புவியீர்ப்பால் ஏற்படும் ஆர்முடுகல்.
- பெறுமானம் ≈ 10 m s⁻² (உலகச் சராசரி 9.8).
- திசை = புவியின் மையத்தை நோக்கி (கீழ்நோக்கி).
- t = √(2h/g) = √(160/10) = 4 s.
- v = gt = 10 × 4 = 40 m s⁻¹.
- கூற்று தவறு — உச்சத்தில் வேகம் 0 ஆனாலும் g தொடர்கிறது.
- ஆகவே ஆர்முடுகல் = 10 m s⁻² (கீழ்நோக்கி) எப்போதும்.
(அ) புவியீர்ப்பினாலான ஆர்முடுகல் (g) என்பது புவியீர்ப்பு விசையால் ஒரு பொருளில் ஏற்படும் ஆர்முடுகல். காற்று எதிர்ப்பைப் புறக்கணித்தால், கீழ்நோக்கி விழும் ஒவ்வொரு பொருளும் — பால் ஆனாலும், கல் ஆனாலும், இறகு ஆனாலும் — ஒரே ஆர்முடுகலில் வீழும். அதன் தோராய பெறுமானம் g ≈ 10 m s⁻² (உலகச் சராசரி 9.8 m s⁻²). திசை: புவியின் மையத்தை நோக்கி — அதாவது கீழ்நோக்கி.
(ஆ) கல் 80 m உயரத்திலிருந்து ஓய்விலிருந்து வீழ்கிறது; u = 0; g = 10.
(i) தரையை அடைய நேரம்: s = ½ g t² → 80 = ½ × 10 × t² → 80 = 5 t² → t² = 16 → t = 4 s.
(ii) தரை அடையும் வேகம்: v = u + gt = 0 + 10 × 4 = 40 m s⁻¹ (கீழ்நோக்கி).
(இ) கூற்று தவறு. மேலே எறிந்த பொருளின் உச்ச புள்ளியில் — அக் கணத்தில் வேகம் 0 என்பது உண்மை (மேல்நோக்கி இயங்க இனி வேகம் இல்லை, கீழ்நோக்கி இன்னும் தொடங்கவில்லை). ஆனால் புவியீர்ப்பு விசை தொடர்கின்றது — ஆகவே ஆர்முடுகல் தொடர்கின்றது. அக் கணத்திலும் ஆர்முடுகல் = g = 10 m s⁻² (கீழ்நோக்கி). இதே ஆர்முடுகல்தான் அடுத்த கணத்தில் பொருளை மீண்டும் கீழ்நோக்கி தள்ளுகின்றது. வேகம் 0 ≠ ஆர்முடுகல் 0 — இரண்டு வேறு கணியங்கள்.
(ஆ) கல் 80 m உயரத்திலிருந்து ஓய்விலிருந்து வீழ்கிறது; u = 0; g = 10.
(i) தரையை அடைய நேரம்: s = ½ g t² → 80 = ½ × 10 × t² → 80 = 5 t² → t² = 16 → t = 4 s.
(ii) தரை அடையும் வேகம்: v = u + gt = 0 + 10 × 4 = 40 m s⁻¹ (கீழ்நோக்கி).
(இ) கூற்று தவறு. மேலே எறிந்த பொருளின் உச்ச புள்ளியில் — அக் கணத்தில் வேகம் 0 என்பது உண்மை (மேல்நோக்கி இயங்க இனி வேகம் இல்லை, கீழ்நோக்கி இன்னும் தொடங்கவில்லை). ஆனால் புவியீர்ப்பு விசை தொடர்கின்றது — ஆகவே ஆர்முடுகல் தொடர்கின்றது. அக் கணத்திலும் ஆர்முடுகல் = g = 10 m s⁻² (கீழ்நோக்கி). இதே ஆர்முடுகல்தான் அடுத்த கணத்தில் பொருளை மீண்டும் கீழ்நோக்கி தள்ளுகின்றது. வேகம் 0 ≠ ஆர்முடுகல் 0 — இரண்டு வேறு கணியங்கள்.
5. (அ) Scalar (எண்ணிக் கணியம்) மற்றும் Vector (காவிக் கணியம்) — இவ்விரண்டுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாட்டை விளக்குக. ஒவ்வொன்றுக்கும் இரு உதாரணம் தருக. (4 புள்.)
(ஆ) ஒரு பொருளின் வேக–நேர வரைபு பின்வருமாறு உள்ளது: 0 → 2 s ஏற்றம் 0-இலிருந்து 6 m s⁻¹; 2 → 6 s சீரான 6 m s⁻¹; 6 → 8 s வீழ்ச்சி 6-இலிருந்து 0. (i) ஒவ்வொரு கட்டத்தின் ஆர்முடுகலை, (ii) ஒவ்வொரு கட்டத்தின் இடப்பெயர்ச்சியை கணக்கிடுக. (6 புள்.) (10 புள்ளி)
(ஆ) ஒரு பொருளின் வேக–நேர வரைபு பின்வருமாறு உள்ளது: 0 → 2 s ஏற்றம் 0-இலிருந்து 6 m s⁻¹; 2 → 6 s சீரான 6 m s⁻¹; 6 → 8 s வீழ்ச்சி 6-இலிருந்து 0. (i) ஒவ்வொரு கட்டத்தின் ஆர்முடுகலை, (ii) ஒவ்வொரு கட்டத்தின் இடப்பெயர்ச்சியை கணக்கிடுக. (6 புள்.) (10 புள்ளி)
விடைத் திட்டம்:
- Scalar = அளவு மட்டும்; Vector = அளவு + திசை.
- Scalar உதா: தூரம், கதி, காலம், திணிவு.
- Vector உதா: இடப்பெயர்ச்சி, வேகம், ஆர்முடுகல், விசை.
- கட்டம் 1: a = 6/2 = 3 m s⁻².
- கட்டம் 2: a = 0.
- கட்டம் 3: a = −6/2 = −3 m s⁻².
- கட்டம் 1 இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 2 × 6 = 6 m.
- கட்டம் 2 இடப்பெயர்ச்சி = 6 × 4 = 24 m.
- கட்டம் 3 இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 2 × 6 = 6 m.
(அ) Scalar (எண்ணிக் கணியம்) என்பது அளவை மட்டுமே கொண்ட இயற்பியல் கணியம். திசை இல்லை. கூட்டல், கழித்தல் சாதாரண கணக்கு போலவே. உதாரணம்: தூரம், கதி, காலம், திணிவு, வெப்பநிலை, சக்தி.
Vector (காவிக் கணியம்) என்பது அளவு + திசை இரண்டையும் கொண்டது. கூட்டல்/கழித்தலுக்கு திசை சேர்த்துப் பார்க்க வேண்டும். உதாரணம்: இடப்பெயர்ச்சி, வேகம், ஆர்முடுகல், விசை, கணத்தாக்கு (momentum).
இவ்வேறுபாட்டால்தான் '5 m s⁻¹' என்பது கதி (scalar), '5 m s⁻¹ வடக்கு' என்பது வேகம் (vector).
(ஆ) கட்டம் 1 (0 → 2 s): u = 0, v = 6, t = 2.
ஆர்முடுகல் = (6−0)/2 = 3 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 2 × 6 = 6 m.
கட்டம் 2 (2 → 6 s): சீரான வேகம் 6 m s⁻¹, t = 4.
ஆர்முடுகல் = 0.
இடப்பெயர்ச்சி = 6 × 4 = 24 m.
கட்டம் 3 (6 → 8 s): u = 6, v = 0, t = 2.
ஆர்முடுகல் = (0−6)/2 = −3 m s⁻²; அமர்முடுகல் = 3 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 2 × 6 = 6 m.
மொத்த இடப்பெயர்ச்சி = 6 + 24 + 6 = 36 m.
Vector (காவிக் கணியம்) என்பது அளவு + திசை இரண்டையும் கொண்டது. கூட்டல்/கழித்தலுக்கு திசை சேர்த்துப் பார்க்க வேண்டும். உதாரணம்: இடப்பெயர்ச்சி, வேகம், ஆர்முடுகல், விசை, கணத்தாக்கு (momentum).
இவ்வேறுபாட்டால்தான் '5 m s⁻¹' என்பது கதி (scalar), '5 m s⁻¹ வடக்கு' என்பது வேகம் (vector).
(ஆ) கட்டம் 1 (0 → 2 s): u = 0, v = 6, t = 2.
ஆர்முடுகல் = (6−0)/2 = 3 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 2 × 6 = 6 m.
கட்டம் 2 (2 → 6 s): சீரான வேகம் 6 m s⁻¹, t = 4.
ஆர்முடுகல் = 0.
இடப்பெயர்ச்சி = 6 × 4 = 24 m.
கட்டம் 3 (6 → 8 s): u = 6, v = 0, t = 2.
ஆர்முடுகல் = (0−6)/2 = −3 m s⁻²; அமர்முடுகல் = 3 m s⁻².
இடப்பெயர்ச்சி = ½ × 2 × 6 = 6 m.
மொத்த இடப்பெயர்ச்சி = 6 + 24 + 6 = 36 m.
6. (அ) 30 m s⁻¹ வேகத்துடன் நிலைக்குத்தாக மேல்நோக்கி எறியப்பட்ட ஒரு பந்து உள்ளது. காற்று எதிர்ப்பை புறக்கணிக்க. g = 10 m s⁻². (i) உச்ச உயரத்தை அடைய எடுத்த நேரம், (ii) அடைந்த உச்ச உயரம், (iii) தரைக்கு மீண்டும் வர மொத்த நேரம், (iv) தரை வேகம் — கணக்கிடுக. (8 புள்.)
(ஆ) இம்மொத்த இயக்கத்தின் v–t வரைபை வரைய சொற்களில் விவரிக்க. (2 புள்.) (10 புள்ளி)
(ஆ) இம்மொத்த இயக்கத்தின் v–t வரைபை வரைய சொற்களில் விவரிக்க. (2 புள்.) (10 புள்ளி)
விடைத் திட்டம்:
- t_up = u/g = 30/10 = 3 s.
- h = ½ut = ½ × 30 × 3 = 45 m.
- மொத்த நேரம் = 2 × t_up = 6 s (symmetric).
- தரை வேகம் = u = 30 m s⁻¹ (கீழ்நோக்கி).
- v–t: (0,30) → (3,0) நேர் வீழ்ச்சி; (3,0) → (6,−30) தொடர் வீழ்ச்சி.
(அ) ஆரம்ப வேகம் u = 30 m s⁻¹ (மேல்நோக்கி); g = 10 m s⁻² (கீழ்நோக்கி, எதிராக).
(i) உச்ச உயரத்துக்கான நேரம்: உச்சத்தில் வேகம் v = 0. v = u − gt → 0 = 30 − 10 t → t = 3 s.
(ii) உச்ச உயரம்: h = u·t − ½g·t² = 30·3 − ½·10·9 = 90 − 45 = 45 m. (அல்லது h = u²/2g = 900/20 = 45 m.)
(iii) மொத்த நேரம் (சுற்றுப் பயணம்): ஆற்றல் பாதுகாப்பு + symmetry-ஆல் மேல்செல்ல எடுத்த நேரம் = கீழ் வர எடுக்கும் நேரம். ஆகவே மொத்த நேரம் = 2 × 3 = 6 s.
(iv) தரை வேகம்: மீண்டும் symmetry-ஆல், தரையில் வேகம் = ஆரம்ப வேகம் = 30 m s⁻¹ (இம்முறை கீழ்நோக்கி). சரிபார்ப்பு: கீழ்நோக்கி 3 s வீழ்ச்சியில் v = 0 + 10 × 3 = 30 m s⁻¹ ✓.
(ஆ) v–t வரைபு (சொற்களில்): y-அச்சு வேகம் (m s⁻¹), x-அச்சு நேரம் (s).
• (0, +30)-இல் தொடங்கி, சீராக கீழே சாய்ந்து (3, 0) புள்ளியில் t-அச்சைத் தொடுகிறது — மேல் நோக்கி இயங்கி உச்சத்தில் நிற்கின்றது.
• அப்புள்ளியிலிருந்து தொடர்ந்து கீழே சாய்ந்து (6, −30)-ஐ அடைகிறது — மீண்டும் கீழ்நோக்கி வேகமாக ஓடி தரையில் 30 m s⁻¹ வேகத்தை எட்டுகின்றது.
• கோட்டின் சாய்வு எப்போதும் −10 m s⁻² (= −g); ஒரு நேர்க் கோடு.
• நேர்க்குறிப் பகுதி (0–3 s) கீழ்ப் பரப்பு = +45 m (மேல்நோக்கிய இடப்பெயர்ச்சி). எதிர்க்குறி (3–6 s) = −45 m. மொத்தம் 0 — தரைக்கே திரும்பியுள்ளது.
(i) உச்ச உயரத்துக்கான நேரம்: உச்சத்தில் வேகம் v = 0. v = u − gt → 0 = 30 − 10 t → t = 3 s.
(ii) உச்ச உயரம்: h = u·t − ½g·t² = 30·3 − ½·10·9 = 90 − 45 = 45 m. (அல்லது h = u²/2g = 900/20 = 45 m.)
(iii) மொத்த நேரம் (சுற்றுப் பயணம்): ஆற்றல் பாதுகாப்பு + symmetry-ஆல் மேல்செல்ல எடுத்த நேரம் = கீழ் வர எடுக்கும் நேரம். ஆகவே மொத்த நேரம் = 2 × 3 = 6 s.
(iv) தரை வேகம்: மீண்டும் symmetry-ஆல், தரையில் வேகம் = ஆரம்ப வேகம் = 30 m s⁻¹ (இம்முறை கீழ்நோக்கி). சரிபார்ப்பு: கீழ்நோக்கி 3 s வீழ்ச்சியில் v = 0 + 10 × 3 = 30 m s⁻¹ ✓.
(ஆ) v–t வரைபு (சொற்களில்): y-அச்சு வேகம் (m s⁻¹), x-அச்சு நேரம் (s).
• (0, +30)-இல் தொடங்கி, சீராக கீழே சாய்ந்து (3, 0) புள்ளியில் t-அச்சைத் தொடுகிறது — மேல் நோக்கி இயங்கி உச்சத்தில் நிற்கின்றது.
• அப்புள்ளியிலிருந்து தொடர்ந்து கீழே சாய்ந்து (6, −30)-ஐ அடைகிறது — மீண்டும் கீழ்நோக்கி வேகமாக ஓடி தரையில் 30 m s⁻¹ வேகத்தை எட்டுகின்றது.
• கோட்டின் சாய்வு எப்போதும் −10 m s⁻² (= −g); ஒரு நேர்க் கோடு.
• நேர்க்குறிப் பகுதி (0–3 s) கீழ்ப் பரப்பு = +45 m (மேல்நோக்கிய இடப்பெயர்ச்சி). எதிர்க்குறி (3–6 s) = −45 m. மொத்தம் 0 — தரைக்கே திரும்பியுள்ளது.
7. (அ) 'காற்றை புறக்கணித்தால், ஒரே உயரத்திலிருந்து கீழே விழும் கல், இறகு இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் தரையை அடையும்' — இக்கூற்றை விளக்கி நிறுவுக. (4 புள்.)
(ஆ) ஒரு பொருள் 40 m s⁻¹ ஆரம்ப வேகத்தில் கீழ்நோக்கி ஒரு கட்டிடத்தின் உச்சியிலிருந்து எறியப்பட்டது. கட்டிடத்தின் உயரம் 80 m. (i) தரையை அடைய எடுத்த நேரம், (ii) தரை வேகம் — கணக்கிடுக. (g = 10) (6 புள்.) (10 புள்ளி)
(ஆ) ஒரு பொருள் 40 m s⁻¹ ஆரம்ப வேகத்தில் கீழ்நோக்கி ஒரு கட்டிடத்தின் உச்சியிலிருந்து எறியப்பட்டது. கட்டிடத்தின் உயரம் 80 m. (i) தரையை அடைய எடுத்த நேரம், (ii) தரை வேகம் — கணக்கிடுக. (g = 10) (6 புள்.) (10 புள்ளி)
விடைத் திட்டம்:
- g எல்லாப் பொருளுக்கும் ஒரே (காற்றை விட்டால்).
- காற்று இருந்தபோது drag விசை கனம்-சார்ந்தது போலாகிறது; இறகு பின்தங்குகிறது.
- Galileo, Apollo சந்திர சோதனை — verification.
- நிலை 1: s = ut + ½gt² → 80 = 40t + 5t² → t² + 8t − 16 = 0.
- t = (−8 + √(64 + 64))/2 = (−8 + 11.31)/2 ≈ 1.66 s.
- v = u + gt = 40 + 10 × 1.66 ≈ 56.6 m s⁻¹.
(அ) கல், இறகு இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் தரையை அடைதல்.
நியூட்டனின் இரண்டாம் இயக்க விதி: F = ma → a = F/m.
• கல்லில் செயற்படும் புவியீர்ப்பு விசை Fk = mk·g.
• இறகில் செயற்படும் புவியீர்ப்பு விசை Fi = mi·g.
• கல்லின் ஆர்முடுகல் = Fk/mk = mkg/mk = g.
• இறகின் ஆர்முடுகல் = Fi/mi = mig/mi = g.
இரண்டுக்கும் ஆர்முடுகல் g — ஒரே! திணிவு சுருங்கி வெளிவருகின்றது. ஆகவே ஒரே உயரத்திலிருந்து ஓய்விலிருந்து விழுந்தால் ஒரே நேரத்தில் தரையை அடையும்.
நடைமுறையில் ஏன் இறகு பின்தங்குகின்றது? காற்றில் drag எனப்படும் எதிர்ப்பு விசை இறகின் பெரிய பரப்பளவில் அதிகமாக செயற்படுகிறது; ஆகவே இறகின் நிகர விசை குறைகிறது. வெற்றிடத்தில் — Apollo 15 விண்வெளி வீரர் சந்திரனில் சுத்தியலையும் தூவலையும் ஒரே நேரத்தில் கீழே விட்டபோது இரண்டும் சேர்ந்தே தரையை அடைந்தன — ஒரே ஆர்முடுகல் கொள்கையை நிரூபிக்கின்றது.
(ஆ) கட்டிடம் 80 m; u = 40 m s⁻¹ (கீழ்நோக்கி); g = 10.
(i) நேரம்: s = u·t + ½·g·t² → 80 = 40t + 5t² → 5t² + 40t − 80 = 0 → t² + 8t − 16 = 0.
t = [−8 + √(64 + 64)] / 2 = [−8 + √128] / 2 = [−8 + 11.31] / 2 ≈ 1.66 s.
(ii) தரை வேகம்: v = u + g·t = 40 + 10 × 1.66 = 56.6 m s⁻¹.
(மாற்று சரிபார்ப்பு: v² = u² + 2g·s = 1600 + 1600 = 3200 → v = 56.6 m s⁻¹ ✓.)
நியூட்டனின் இரண்டாம் இயக்க விதி: F = ma → a = F/m.
• கல்லில் செயற்படும் புவியீர்ப்பு விசை Fk = mk·g.
• இறகில் செயற்படும் புவியீர்ப்பு விசை Fi = mi·g.
• கல்லின் ஆர்முடுகல் = Fk/mk = mkg/mk = g.
• இறகின் ஆர்முடுகல் = Fi/mi = mig/mi = g.
இரண்டுக்கும் ஆர்முடுகல் g — ஒரே! திணிவு சுருங்கி வெளிவருகின்றது. ஆகவே ஒரே உயரத்திலிருந்து ஓய்விலிருந்து விழுந்தால் ஒரே நேரத்தில் தரையை அடையும்.
நடைமுறையில் ஏன் இறகு பின்தங்குகின்றது? காற்றில் drag எனப்படும் எதிர்ப்பு விசை இறகின் பெரிய பரப்பளவில் அதிகமாக செயற்படுகிறது; ஆகவே இறகின் நிகர விசை குறைகிறது. வெற்றிடத்தில் — Apollo 15 விண்வெளி வீரர் சந்திரனில் சுத்தியலையும் தூவலையும் ஒரே நேரத்தில் கீழே விட்டபோது இரண்டும் சேர்ந்தே தரையை அடைந்தன — ஒரே ஆர்முடுகல் கொள்கையை நிரூபிக்கின்றது.
(ஆ) கட்டிடம் 80 m; u = 40 m s⁻¹ (கீழ்நோக்கி); g = 10.
(i) நேரம்: s = u·t + ½·g·t² → 80 = 40t + 5t² → 5t² + 40t − 80 = 0 → t² + 8t − 16 = 0.
t = [−8 + √(64 + 64)] / 2 = [−8 + √128] / 2 = [−8 + 11.31] / 2 ≈ 1.66 s.
(ii) தரை வேகம்: v = u + g·t = 40 + 10 × 1.66 = 56.6 m s⁻¹.
(மாற்று சரிபார்ப்பு: v² = u² + 2g·s = 1600 + 1600 = 3200 → v = 56.6 m s⁻¹ ✓.)