நமது அன்றாட வாழ்வில் கடிகாரக் குண்டின் சீரான இயக்கம், காற்றில் அசையும் மரக்கிளைகள், அல்லது சுருள்வில்லில் தொங்கவிடப்பட்ட பாரத்தின் மேல்நோக்கியும் கீழ்நோக்கியுமான அசைவு எனப் பல இடங்களில் ஒரு நிலையான மையப்புள்ளியைச் சுற்றி மீண்டும் மீண்டும் சீராக நிகழும் ஆவர்த்தன இயக்கங்களை நாம் அவதானிக்கின்றோம். இவ்வாறாக, ஒரு குறித்த சமநிலைத் தானத்தை (equilibrium position) மையமாகக் கொண்டு, அதன் இருபுறமும் சீராகவும் ஒழுங்காகவும் நடைபெறும் இத்தகைய சிறப்பான இயக்கம் அலைவு (oscillation) எனப் பௌதிகவியலில் வரையறுக்கப்படுகின்றது.
இந்த அலைவு இயக்கங்களில், இயங்கும் துணிக்கையின் ஆர்முடுக்கமானது (acceleration) எப்போதும் அதன் சமநிலைத் தானத்தை நோக்கியிருக்குமாறும், அதன் பருமன் அத்தானத்திலிருந்தான இடப்பெயர்ச்சிக்கு (displacement) நேர்விகிதசமனாகவும் அமையுமாயின், அவ்வியக்கம் எளிய இசை இயக்கம் (simple harmonic motion) என அழைக்கப்படும். இத்தகைய இயக்கத்தைத் தொடர்ச்சியாகப் பேணுவதற்கு, பொருளை எப்போதும் சமநிலைத் தானத்திற்குத் திருப்பி அனுப்ப முயலும் ஒரு மீட்டும் விசை (restoring force) இன்றியமையாததாகும். புறவிசைகளின் தாக்கங்கள் அற்ற ஓர் இலட்சிய அமைப்பில், ஓர் அலைவு முழுமையடைவதற்கு எடுக்கும் நேரமான ஆட்டக்காலம் (period) எப்போதும் மாறிலியாக அமைகின்றது. இப்பண்புகளைக் கற்பது, பிற்காலத்தில் ஒலியியல், நில அதிர்வு அலைகள், மற்றும் இலத்திரனியல் சுற்றுகளின் மின்காந்த அலைவுகள் போன்ற சிக்கலான எண்ணக்கருக்களை ஆழமாகப் புரிந்துகொள்வதற்கு வலிமையான அடித்தளத்தை இடுகிறது.
இந்தச் சிமுலேட்டரால் சோதித்துப் பார்
இக்கருத்தினை வெறும் தத்துவமாகக் கற்பதைவிட, வீச்சம் (amplitude), திணிவு (mass), வில் மாறிலி (spring constant) ஆகியன மாறும்போது ஆட்டக்காலம் எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைச் சோதித்துப் பார்ப்பதன் மூலம் ஆழமாக விளங்கிக்கொள்ளலாம். கீழே வழுக்களை மாற்றி, அலைவின் இடப்பெயர்ச்சி–நேர வரைபை (x–t graph) நேரலையில் அவதானி.
🔬 SHM Spring–Mass Simulator
ω = 4.47 rad/s
T = 2π√(m/k) = 1.40 s
f = 0.71 Hz
1. வரையறுக்கும் சமன்பாடு (Defining equation)
எளிய இசை இயக்கத்தின் அடிப்படை விதி, ஆர்முடுக்கம் இடப்பெயர்ச்சிக்கு நேர்விகிதசமமாகவும், எதிர்த் திசையிலும் (சமநிலையை நோக்கி) இருப்பதே:
Defining equation
a = −ω²x · ω = கோண அதிர்வெண் (angular frequency)எதிர்க்குறி (−) மிக முக்கியம் — அது ஆர்முடுக்கம் எப்போதும் இடப்பெயர்ச்சிக்கு எதிராக, அதாவது சமநிலையை நோக்கி இருக்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. இதுவே மீட்டும் விசையை (restoring force) உருவாக்குகிறது.
2. ஆட்டக்காலமும் அதிர்வெண்ணும்
| அமைப்பு | ஆட்டக்காலம் (period) | குறிப்பு |
|---|---|---|
| பொது | T = 2π/ω, f = 1/T | ω = √(k/m) நெகிழிக்கு |
| எளிய ஊசல் (simple pendulum) | T = 2π√(l/g) | திணிவைச் சாராது |
| நெகிழியில் திணிவு (mass on spring) | T = 2π√(m/k) | மேலே சிமுலேட்டரில் சோதி |
சிமுலேட்டரிலிருந்து கற்க
மேலே m-ஐ அதிகரித்தால் T அதிகரிக்கும் (மெது அலைவு); k-ஐ அதிகரித்தால் T குறையும் (விரைவு அலைவு). ஆனால் வீச்சம் A-ஐ மாற்றினால் T மாறாது — இது SHM-இன் தனிச்சிறப்பு (isochronous).
3. திசைவேகமும் ஆர்முடுக்கமும்
Velocity
v = ω√(A² − x²)சமநிலையில் (x = 0) திசைவேகம் அதிகபட்சம் (v = ωA); எல்லையில் (x = A) திசைவேகம் பூச்சியம், ஆனால் ஆர்முடுக்கம் அதிகபட்சம். சிமுலேட்டரின் வரைபில் இதை அவதானி — வளைவின் சாய்வு (gradient) மையத்தில் செங்குத்தாகவும், உச்சியில் தட்டையாகவும் இருக்கும்.
4. சக்தி மாற்றம் (Energy in SHM)
Total energy
E = ½mω²A² = மாறிலிமொத்த சக்தி எப்போதும் மாறிலி. சமநிலையில் அது முழுவதும் இயக்கசக்தி (KE); எல்லையில் முழுவதும் நிலையாற்றல் (PE). அலைவு முழுவதும் KE ↔ PE தொடர்ந்து இடம்மாறிக்கொண்டே இருக்கிறது — ஆனால் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை மாறுவதில்லை.
5. தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்
எ.கா 1 — ஊசலின் காலம். 1 m நீள ஊசலின் ஆட்டக்காலம்? (g = 9.8)
T = 2π√(l/g) = 2π√(1/9.8) = 2π × 0.319
T ≈ 2.0 s (திணிவைச் சாராது)
எ.கா 2 — நெகிழி. 0.5 kg திணிவு k = 200 N/m நெகிழியில். ஆட்டக்காலம்?
T = 2π√(m/k) = 2π√(0.5/200) = 2π√(0.0025)
T = 2π × 0.05 ≈ 0.31 s
எ.கா 3 — அதிகபட்ச வேகம். A = 0.1 m, ω = 5 rad/s எனில் அதிகபட்ச வேகம்?
v_max = ωA = 5 × 0.1 = 0.5 m s⁻¹ (சமநிலையில்)
பொதுவான தவறுகள்
- ஊசலின் காலம் திணிவைச் சாராது — அதிகத் திணிவைப் போட்டாலும் காலம் அதே (கணக்கில் m தேடாதீர்கள்).
- வீச்சம் A-ஐ மாற்றினாலும் காலம் T மாறாது (சிறிய கோணங்களுக்கு).
- எதிர்க்குறி (−) a = −ω²x-இல் கட்டாயம் எழுதுங்கள் — அதுவே "சமநிலையை நோக்கி" எனப் பொருள்.
6. தேர்வுப் பாணி வினா
வினா
ஓர் எளிய ஊசலின் நீளம் 4 மடங்காக்கப்படுகிறது. அதன் ஆட்டக்காலம் எத்தனை மடங்காகும்?
விடையைக் காண்க
T ∝ √l ஆதலால், l → 4l எனில் T → √4 · T = 2 மடங்கு. (16 மடங்கு அல்ல — அது வர்க்கமூலம்.)
🎯 MCQ பயிற்சி — 20 கேள்விகள்
விடையைத் தெரிவுசெய்யவும் — பின்னர் ஒவ்வொரு விருப்பத்துக்கும் ஏன் சரி / தவறு எனும் விளக்கமும் ஆழமான விளக்கமும் (deep explanation) தோன்றும்.
Q1 / 20
★★★★★
எளிய இசை இயக்கத்தின் (SHM) வரையறை?
(1) ஆர்முடுக்கம் மாறிலி / acceleration is constant
இல்லை.
(2) ஆர்முடுக்கம் இடப்பெயர்ச்சிக்கு விகிதசமம், சமநிலையை நோக்கி / acceleration ∝ displacement, directed toward equilibrium
சரி — a = −ω²x.
(3) வேகம் மாறிலி / speed is constant
இல்லை.
(4) ஆர்முடுக்கம் பூஜ்ஜியம் / acceleration is zero
இல்லை.
(5) இடப்பெயர்ச்சி மாறிலி / displacement is constant
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): SHM: ஆர்முடுக்கம் இடப்பெயர்ச்சிக்கு நேர் விகிதசமம், எப்போதும் சமநிலையை நோக்கி: a = −ω²x. (−) குறி மீட்டும் தன்மையைக் காட்டுகிறது.
Q2 / 20
★★★★★
SHM-இல் ஆர்முடுக்கம் அதிகபட்சமாகும் இடம்?
(1) சமநிலை (x=0) / equilibrium (x=0)
அங்கு a=0.
(2) எல்லை (x=A) / the extreme (x=A)
சரி — a=−ω²x; x=A-இல் அதிகபட்சம்.
(3) பாதி வழியில் / halfway
தவறு.
(4) எங்கும் சமம் / everywhere equal
இல்லை.
(5) ஒருபோதும் / never
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): a = −ω²x; x அதிகபட்சம் (=A) ஆகும் எல்லையில் ஆர்முடுக்கம் அதிகபட்சம், வேகம் பூஜ்ஜியம்.
Q3 / 20
★★★★★
SHM-இல் வேகம் அதிகபட்சமாகும் இடம்?
(1) எல்லை (x=A) / the extreme (x=A)
அங்கு v=0.
(2) சமநிலை (x=0) / equilibrium (x=0)
சரி — x=0-இல் v அதிகபட்சம் = ωA.
(3) கால் வழியில் / a quarter
தவறு.
(4) எங்கும் / everywhere
இல்லை.
(5) ஒருபோதும் / never
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): v = ω√(A²−x²); x=0-இல் v_max = ωA. எல்லையில் (x=A) v=0.
Q4 / 20
★★★★★
ஓர் எளிய ஊசலின் நீளம் 4 மடங்காக்கப்பட்டால் ஆட்டக்காலம்?
(1) 2 மடங்கு / 2×
சரி — T∝√l; √4=2.
(2) 4 மடங்கு / 4×
வர்க்கமூலம்.
(3) ½ மடங்கு / half
தவறு.
(4) 16 மடங்கு / 16×
தவறு.
(5) மாறாது / unchanged
l மாறுகிறது.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): T = 2π√(l/g) → T∝√l. l→4l எனில் T→√4·T = 2T. திணிவைச் சாராது.
Q5 / 20
★★★★★
திணிவு–வில் (mass–spring) அமைப்பின் ஆட்டக்கால சூத்திரம்?
(1) 2π√(l/g)
அது ஊசல்.
(2) 2π√(m/k)
சரி — T = 2π√(m/k).
(3) 2π√(k/m)
தலைகீழ்.
(4) 2π√(g/l)
தலைகீழ்.
(5) 2πmk
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): T = 2π√(m/k); m = திணிவு, k = வில் மாறிலி. திணிவு கூட → காலம் கூடும்; விறைப்பான வில் (k↑) → காலம் குறையும்.
Q6 / 20
★★★★☆
SHM-இல் கோண அதிர்வெண் ω-வுக்கும் காலம் T-வுக்கும் தொடர்பு?
(1) ω = T
தவறு.
(2) ω = 2π/T
சரி — ω = 2π/T = 2πf.
(3) ω = T/2π
தலைகீழ்.
(4) ω = 2πT
தவறு.
(5) ω = 1/T
அது அதிர்வெண்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): ω = 2π/T = 2πf (rad s⁻¹).
Q7 / 20
★★★★☆
ஒரு SHM-இன் வீச்சம் (amplitude) 0.1 m, ω = 10 rad s⁻¹. அதிகபட்ச வேகம்?
(1) 1 m s⁻¹
சரி — v_max = ωA = 10×0.1 = 1.
(2) 0.01 m s⁻¹
தலைகீழ்.
(3) 10 m s⁻¹
தவறு.
(4) 100 m s⁻¹
தவறு.
(5) 0.1 m s⁻¹
அது A.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): v_max = ωA = 10 × 0.1 = 1 m s⁻¹ (சமநிலையில்).
Q8 / 20
★★★★☆
மேற்படி SHM-இன் அதிகபட்ச ஆர்முடுக்கம்?
(1) 1 m s⁻²
அது v_max.
(2) 10 m s⁻²
சரி — a_max = ω²A = 100×0.1 = 10.
(3) 100 m s⁻²
தவறு.
(4) 0.1 m s⁻²
தவறு.
(5) 1000 m s⁻²
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): a_max = ω²A = 10² × 0.1 = 100×0.1 = 10 m s⁻² (எல்லையில்).
Q9 / 20
★★★★☆
SHM-இல் இயக்கச் சக்தி அதிகபட்சமாகும் இடம்?
(1) எல்லை (x=A) / extreme (x=A)
அங்கு KE=0.
(2) சமநிலை (x=0) / equilibrium (x=0)
சரி — x=0-இல் v அதிகபட்சம் → KE அதிகபட்சம்.
(3) கால் வழி / a quarter
தவறு.
(4) எங்கும் சமம் / everywhere
இல்லை.
(5) ஒருபோதும் / never
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): சமநிலையில் v அதிகபட்சம் → KE அதிகபட்சம், PE பூஜ்ஜியம். எல்லையில் நேர்மாறு. மொத்த ஆற்றல் = ½mω²A² மாறிலி.
Q10 / 20
★★★★☆
SHM-இல் இடப்பெயர்ச்சிக்கும் (x = A sin ωt) வேகத்திற்கும் இடையே கட்ட வேறுபாடு (phase difference)?
(1) 0
இல்லை.
(2) π/2
சரி — வேகம் இடப்பெயர்ச்சியை π/2 முந்தும்.
(3) π
அது ஆர்முடுக்கம்.
(4) 2π
தவறு.
(5) π/4
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): x = A sin ωt → v = Aω cos ωt (π/2 முந்தும்); a = −Aω² sin ωt (இடப்பெயர்ச்சிக்கு π எதிர்).
Q11 / 20
★★★★☆
ஓர் எளிய ஊசலின் ஆட்டக்காலம் எதைச் சாராது?
(1) நீளம் l / length l
சார்ந்தது.
(2) ஈர்ப்பு g / gravity g
சார்ந்தது.
(3) ஊசல் குண்டின் திணிவு / mass of the bob
சரி — திணிவைச் சாராது.
(4) இவை எதுவும் / none of these
இல்லை.
(5) l மற்றும் g
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): T = 2π√(l/g) — m இல்லை. ஆட்டக்காலம் நீளத்தையும் g-ஐயும் மட்டுமே சார்ந்தது, திணிவைச் சாராது.
Q12 / 20
★★★★☆
SHM-இன் மொத்த ஆற்றலின் (total energy) சூத்திரம்?
(1) ½mω²A²
சரி — E = ½mω²A² = ½kA².
(2) ½mωA
தவறு.
(3) mω²A
தவறு.
(4) ½kA
தவறு.
(5) mgA
அது PE போல.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): மொத்த ஆற்றல் E = ½mω²A² = ½kA² (மாறிலி). வீச்சம் இரட்டிப்பானால் ஆற்றல் 4 மடங்கு.
Q13 / 20
★★★★☆
ஒரு வில்லின் மீது தொங்கும் திணிவை 4 மடங்காக்கினால் ஆட்டக்காலம்?
(1) 2 மடங்கு / 2×
சரி — T∝√m; √4=2.
(2) 4 மடங்கு / 4×
வர்க்கமூலம்.
(3) ½ மடங்கு / half
தவறு.
(4) 16 மடங்கு / 16×
தவறு.
(5) மாறாது / unchanged
m மாறுகிறது.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): T = 2π√(m/k) → T∝√m. m→4m எனில் T→2T.
Q14 / 20
★★★☆☆
SHM-இல் ஆர்முடுக்கம்–இடப்பெயர்ச்சி (a–x) வரைபடம்?
(1) நேர்மறை சாய்வுள்ள நேர்கோடு / a line with positive slope
இல்லை — சாய்வு எதிர்.
(2) மூலம் வழியே எதிர்மறை சாய்வுள்ள நேர்கோடு / a straight line through the origin with negative slope
சரி — a = −ω²x, சாய்வு = −ω².
(3) வளைகோடு / a curve
இல்லை.
(4) கிடைக் கோடு / a horizontal line
இல்லை.
(5) வட்டம் / a circle
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): a = −ω²x → மூலம் வழியே நேர்கோடு, சாய்வு = −ω² (எதிர்மறை). இது SHM-இன் கையொப்பம்.
Q15 / 20
★★★★☆
ஒரு ஊசலின் ஆட்டக்காலம் 2 s (g=10). அதன் நீளம்? (π²≈10)
(1) 1 m
சரி — l = gT²/4π² = 10×4/40 = 1.
(2) 2 m
தவறு.
(3) 0.5 m
தவறு.
(4) 4 m
தவறு.
(5) 10 m
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): T = 2π√(l/g) → l = gT²/4π² = 10×4/(4×10) = 40/40 = 1 m.
Q16 / 20
★★★☆☆
SHM-இல் மீட்டும் விசை (restoring force) எப்போதும்?
(1) இடப்பெயர்ச்சித் திசையில் / in the direction of displacement
இல்லை — எதிர்.
(2) சமநிலையை நோக்கி (இடப்பெயர்ச்சிக்கு எதிர்) / toward equilibrium (opposite to displacement)
சரி — F = −kx.
(3) பூஜ்ஜியம் / zero
இல்லை.
(4) மாறிலி / constant
இல்லை.
(5) மேல்நோக்கி / upward
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): F = −kx; எப்போதும் சமநிலையை நோக்கி (இடப்பெயர்ச்சிக்கு எதிர்த் திசை) → இயக்கம் மீளும் (oscillatory).
Q17 / 20
★★★☆☆
அதிர்வெண் f = 2 Hz எனில் கோண அதிர்வெண் ω?
(1) 2 rad s⁻¹
அது f.
(2) 4π rad s⁻¹
சரி — ω = 2πf = 4π.
(3) π rad s⁻¹
தவறு.
(4) 2π rad s⁻¹
அது f=1-க்கு.
(5) 0.5 rad s⁻¹
தலைகீழ்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): ω = 2πf = 2π×2 = 4π rad s⁻¹.
Q18 / 20
★★★☆☆
வீச்சம் இரட்டிப்பானால் SHM-இன் மொத்த ஆற்றல்?
(1) இரட்டிப்பு / double
A² கவனம்.
(2) நான்கு மடங்கு / four times
சரி — E ∝ A²; 2²=4.
(3) பாதி / half
தவறு.
(4) மாறாது / unchanged
தவறு.
(5) எட்டு மடங்கு / eight times
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): E = ½mω²A² ∝ A². A→2A எனில் E→4E. (காலம்/அதிர்வெண் மாறாது.)
Q19 / 20
★★★☆☆
SHM-இன் ஆட்டக்காலம் வீச்சத்தைச் (amplitude) சார்ந்ததா?
(1) ஆம், நேர்விகிதம் / yes, directly
இல்லை.
(2) ஆம், தலைகீழ் / yes, inversely
இல்லை.
(3) இல்லை, சாராது / no, independent
சரி — T வீச்சத்தைச் சாராது (isochronous).
(4) வீச்சம் பெரிதானால் மட்டும் / only for large amplitude
இல்லை (சிறு கோணத்தில்).
(5) தீர்மானிக்க முடியாது / undetermined
முடியும்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): இலட்சிய SHM-இல் ஆட்டக்காலம் வீச்சத்தைச் சாராது (isochronous) — இதுவே கடிகாரங்களின் அடிப்படை.
Q20 / 20
★★★★☆
x = 0.05 sin(4t) (SI) எனும் SHM-இன் வீச்சம், கோண அதிர்வெண், காலம்?
(1) 0.05 m, 4, π/2 s
சரி — A=0.05, ω=4, T=2π/4=π/2.
(2) 0.05 m, 4, 4 s
T தவறு.
(3) 4 m, 0.05, 2π s
குழம்பியது.
(4) 0.05 m, 2, π s
ω தவறு.
(5) 0.5 m, 4, 1 s
A தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): x = A sin ωt ஒப்பிட: A=0.05 m, ω=4 rad s⁻¹, T = 2π/ω = 2π/4 = π/2 s.
📝 கட்டமைக்கப்பட்ட வினாக்கள் — 3
கட்டமைப்பு வினா 1
8 புள்ளி
ஒரு வில்லில் 0.2 kg திணிவு தொங்கி, வில் மாறிலி k = 50 N m⁻¹. திணிவு 0.1 m இழுத்து விடப்படுகிறது.
(a) கோண அதிர்வெண் ω மற்றும் ஆட்டக்காலம் T?
விடை
ω = √(k/m) = √(50/0.2) = √250 = 15.8 rad s⁻¹
T = 2π/ω = 2π/15.8 = 0.40 s
(b) அதிகபட்ச வேகம் மற்றும் அதிகபட்ச ஆர்முடுக்கம்?
விடை
v_max = ωA = 15.8×0.1 = 1.58 m s⁻¹
a_max = ω²A = 250×0.1 = 25 m s⁻²
(c) அமைப்பின் மொத்த ஆற்றல்?
விடை
E = ½kA² = ½×50×0.1² = ½×50×0.01 = 0.25 J
கட்டமைப்பு வினா 2
6 புள்ளி
ஓர் எளிய ஊசல். (g = 10 m s⁻², π²≈10)
(a) ஆட்டக்காலம் 2 s ஆக இருக்க நீளம் எவ்வளவாக இருக்க வேண்டும்?
விடை
T = 2π√(l/g) → l = gT²/4π² = 10×4/(4×10) = 1 m
(b) நீளம் 4 மடங்காக்கப்பட்டால் புதிய ஆட்டக்காலம்?
விடை
T ∝ √l; l→4l → T→2T = 4 s
கட்டமைப்பு வினா 3
5 புள்ளி
SHM ஆற்றல்.
(a) SHM-இல் KE மற்றும் PE எல்லை/சமநிலையில் எவ்வாறு மாறுகின்றன எனக் கூறுக.
விடை
சமநிலை (x=0): v அதிகபட்சம் → KE அதிகபட்சம், PE = 0. எல்லை (x=A): v=0 → KE=0, PE அதிகபட்சம். மொத்தம் = ½kA² எங்கும் மாறிலி.
(b) வீச்சம் இரட்டிப்பானால் மொத்த ஆற்றல் எவ்வாறு மாறும்?
விடை
E ∝ A² ஆதலால் A→2A எனில் E→4 மடங்கு.
✍️ கட்டுரை வினாக்கள் — 4
கட்டுரை வினா 1
10 புள்ளி
(a) எளிய இசை இயக்கத்தை (SHM) வரையறுத்து a = −ω²x என்பதை விளக்குக. (b) எல்லை மற்றும் சமநிலையில் இடப்பெயர்ச்சி, வேகம், ஆர்முடுக்கம் ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் கூறுக. (c) ஒரு SHM-இல் A=0.2 m, T=0.5 s. (i) ω, (ii) v_max, (iii) a_max-ஐக் கணக்கிடுக.
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) SHM = ஆர்முடுக்கம் இடப்பெயர்ச்சிக்கு நேர்விகிதசமமாகவும், எப்போதும் சமநிலையை நோக்கியும் இருக்கும் இயக்கம்: a = −ω²x. (−) குறி ஆர்முடுக்கம் எப்போதும் சமநிலையை நோக்கி (மீட்டும்) என்பதைக் காட்டுகிறது.
(b) எல்லை (x=A): இடப்பெயர்ச்சி அதிகபட்சம், v=0, a அதிகபட்சம் (=ω²A). சமநிலை (x=0): இடப்பெயர்ச்சி 0, v அதிகபட்சம் (=ωA), a=0.
(c)
(b) எல்லை (x=A): இடப்பெயர்ச்சி அதிகபட்சம், v=0, a அதிகபட்சம் (=ω²A). சமநிலை (x=0): இடப்பெயர்ச்சி 0, v அதிகபட்சம் (=ωA), a=0.
(c)
(i) ω = 2π/T = 2π/0.5 = 4π ≈ 12.57 rad s⁻¹
(ii) v_max = ωA = 12.57×0.2 = 2.51 m s⁻¹
(iii) a_max = ω²A = (12.57)²×0.2 = 158×0.2 ≈ 31.6 m s⁻²
கட்டுரை வினா 2
10 புள்ளி
(a) ஓர் எளிய ஊசலின் ஆட்டக்காலம் T = 2π√(l/g) என்பதைக் கூறி, அது திணிவைச் சாராது என விளக்குக. (b) ஒரு ஊசல் 1 நிமிடத்தில் 30 முழு அலைவுகளைச் செய்கிறது. அதன் ஆட்டக்காலம், அதிர்வெண், நீளம் ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுக (g=10, π²≈10).
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) T = 2π√(l/g). மீட்டும் விசை mg sinθ ≈ mgθ; இது ஆர்முடுக்கம் a = gθ-ஐத் தருகிறது — m அழிகிறது. எனவே ஆட்டக்காலம் திணிவைச் சாராது, நீளம் & g-ஐ மட்டுமே சார்ந்தது.
(b)
(b)
T = 60/30 = 2 s
f = 1/T = 0.5 Hz
l = gT²/4π² = 10×4/(4×10) = 1 m
கட்டுரை வினா 3
10 புள்ளி
(a) ஒரு திணிவு–வில் அமைப்பின் ஆட்டக்காலம் T = 2π√(m/k) என்பதைக் கூறுக. (b) SHM-இல் ஆற்றல் மாற்றத்தை (KE↔PE) விவரித்து மொத்த ஆற்றல் E = ½kA² எனக் காட்டுக. (c) k = 200 N m⁻¹, m = 0.5 kg, A = 0.1 m எனில் (i) காலம், (ii) மொத்த ஆற்றல், (iii) x = 0.05 m-இல் KE-ஐக் கணக்கிடுக.
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) T = 2π√(m/k); திணிவு கூட → காலம் கூடும், விறைப்பான வில் (k↑) → காலம் குறையும்.
(b) சமநிலையில் KE அதிகபட்சம் (PE=0); எல்லையை நோக்கிச் செல்ல KE → PE ஆக மாறி, எல்லையில் PE அதிகபட்சம் (KE=0). மொத்தம் மாறிலி: எல்லையில் முழுவதும் PE = ½kA² → E = ½kA².
(c)
(b) சமநிலையில் KE அதிகபட்சம் (PE=0); எல்லையை நோக்கிச் செல்ல KE → PE ஆக மாறி, எல்லையில் PE அதிகபட்சம் (KE=0). மொத்தம் மாறிலி: எல்லையில் முழுவதும் PE = ½kA² → E = ½kA².
(c)
(i) T = 2π√(0.5/200) = 2π√(0.0025) = 2π×0.05 = 0.31 s
(ii) E = ½kA² = ½×200×0.1² = ½×200×0.01 = 1 J
(iii) PE = ½kx² = ½×200×0.05² = 0.25 J; KE = E − PE = 1 − 0.25 = 0.75 J
கட்டுரை வினா 4
10 புள்ளி
(a) SHM-இல் இடப்பெயர்ச்சி, வேகம், ஆர்முடுக்கம் ஆகியவற்றுக்கான x = A sin ωt, v = Aω cos ωt, a = −Aω² sin ωt சமன்பாடுகளை எழுதி அவற்றின் கட்ட உறவை விளக்குக. (b) v = ω√(A²−x²) என்பதைப் பயன்படுத்தி, A=0.1 m, ω=5 rad s⁻¹ எனில் x=0.06 m-இல் வேகத்தைக் கணக்கிடுக. (c) எந்த x-இல் KE = PE எனக் கணக்கிடுக.
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) x = A sin ωt; v = Aω cos ωt (இடப்பெயர்ச்சியை π/2 முந்தும்); a = −Aω² sin ωt = −ω²x (இடப்பெயர்ச்சிக்கு π எதிர்க்கட்டம்). வேகம் சமநிலையில் அதிகபட்சம்; ஆர்முடுக்கம் எல்லையில் அதிகபட்சம்.
(b)
(c) PE = ½kx², KE = ½k(A²−x²). KE=PE → A²−x² = x² → 2x² = A² →
(b)
v = ω√(A²−x²) = 5√(0.1²−0.06²) = 5√(0.01−0.0036)
= 5√0.0064 = 5×0.08 = 0.4 m s⁻¹
(c) PE = ½kx², KE = ½k(A²−x²). KE=PE → A²−x² = x² → 2x² = A² →
x = A/√2 = 0.1/1.414 = 0.0707 m