செயற்கைக்கோள்களும் சுற்றுப்பாதையும்

தொலைத்தொடர்பு, GPS, வானிலை முன்னறிவிப்பு ஆகிய அனைத்தும் செயற்கைக்கோள்களை (satellites) நம்பியுள்ளன. ஒரு செயற்கைக்கோள் பூமியைச் சுற்றி வரும்போது அதற்குத் தேவையான மைய நோக்கு விசையை ஈர்ப்பு விசையே வழங்குகின்றது. எனவே இவ்விரு விசைகளையும் சமப்படுத்துவதே சுற்றுப்பாதைக் கணக்குகள் அனைத்தினதும் திறவுகோலாகும்.

இந்தச் சிமுலேட்டரால் சோதி

சுற்றுப்பாதை ஆரையை (r) மாற்றி, சுற்றுவேகம் (v) மற்றும் சுற்றுக்காலம் (T) எவ்வாறு மாறுகின்றன என்பதைக் கவனி. உயரமான சுற்றுப்பாதையில் வேகம் குறைவாகவும் சுற்றுக்காலம் அதிகமாகவும் இருக்கும் (T² ∝ r³).

🔬 Satellite Orbit Simulator

Orbit radius r medium

orbital speed v ∝ 1.00 · period T ∝ 1.00 (T² ∝ r³)

1. சுற்றுப்பாதைச் சமன்பாடுகள்

செயற்கைக்கோளைச் சுற்றுப்பாதையில் வைத்திருக்கும் மைய நோக்கு விசையை ஈர்ப்பு விசையே வழங்குவதால், இவ்விரண்டையும் சமப்படுத்தும்போது பின்வரும் தொடர்புகள் கிடைக்கின்றன:

Orbit

GMm/r² = mv²/r → v = √(GM/r) · T² = (4π²/GM) r³

சுற்றுப்பாதை உயர்ந்து r பெரிதாகும்போது சுற்றுவேகம் குறைகின்றது; சுற்றுக்காலம் அதிகரிக்கின்றது (கெப்லரின் T²∝r³).
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் செயற்கைக்கோளின் திணிவு m நீங்கிவிடுவதால், சுற்றுவேகம் செயற்கைக்கோளின் திணிவைச் சாராது.
சுற்றும் கோளினுள் எடையின்மை (weightlessness) உணரப்படுகின்றது. இதற்குக் காரணம், கோளும் அதனுள் இருக்கும் பொருளும் ஒரே ஆர்முடுக்கத்துடன் பூமியை நோக்கி "விழுந்து" கொண்டிருப்பதேயாகும்.

2. நிலைபேறு கோள் (Geostationary)

நிலைபேறு செயற்கைக்கோள் பூமத்திய ரேகைக்கு மேலே, மேற்கிலிருந்து கிழக்கு நோக்கிச் சுற்றுகின்றது. இதன் சுற்றுக்காலம் பூமியின் சுழற்சிக் காலத்திற்குச் சமமானது (T = 24 மணி). ஆதலால் பூமியிலிருந்து பார்க்கும்போது இது வானில் ஒரே இடத்தில் நிலையாகத் தெரிகின்றது. இதன் காரணமாகத் தொலைத்தொடர்பு அலைவாங்கிகளை (antennas) ஒரே திசையில் அசையாமல் பொருத்தி வைக்க முடிகின்றது. இதன் உயரம் ≈ 36,000 km ஆகும்.

3. தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு

எ.கா. ஒரு செயற்கைக்கோளின் சுற்றுப்பாதை ஆரை இரட்டிப்பானால் சுற்றுக்காலத்துக்கு என்ன நடக்கும்?

படி 1: கெப்லரின் மூன்றாம் விதிப்படி T² ∝ r³.

படி 2: r இரட்டிப்பாகி 2r ஆகும்போது r³ ஆனது 8 மடங்காகும். எனவே T² உம் 8 மடங்காகின்றது.

இறுதி முடிவு: T → √8 = 2√2 ≈ 2.83 மடங்கு.

4. தேர்வுப் பாணி வினா

வினா

செயற்கைக்கோளின் சுற்றுவேகம் எதைச் சாராது?

விடையைக் காண்க

v = √(GM/r) — செயற்கைக்கோளின் திணிவைச் சாராது (m இரு பக்கமும் அழிகிறது).

🎯 MCQ பயிற்சி — 20 கேள்விகள்

விடையைத் தெரிவுசெய்யவும் — பின்னர் ஒவ்வொரு விருப்பத்துக்கும் ஏன் சரி / தவறு எனும் விளக்கமும் ஆழமான விளக்கமும் (deep explanation) தோன்றும்.

Q1 / 20 ★★★★★

ஒரு செயற்கைக்கோளின் வட்ட சுற்றில் மையநோக்கு விசையை வழங்குவது?

(1) ராக்கெட் இயக்கி / its rocket engine

இல்லை.

(2) புவி ஈர்ப்பு / Earth's gravity

சரி.

(3) காற்றழுத்தம் / air pressure

விண்வெளியில் இல்லை.

(4) மின்காந்த விசை / magnetic force

இல்லை.

(5) மையவிலக்கு விசை / centrifugal force

போலி விசை.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): ஈர்ப்பு விசையே மையநோக்கு விசையாகச் செயற்பட்டு செயற்கைக்கோளை வட்டப் பாதையில் வைத்திருக்கிறது: GMm/r² = mv²/r.

Q2 / 20 ★★★★★

வட்ட சுற்று வேகம் (orbital speed) v?

(1) √(GM/r)

சரி — v = √(GM/r).

(2) √(2GM/r)

அது விடுபடு வேகம்.

(3) GM/r

தவறு.

(4) √(GMr)

தவறு.

(5) GM/r²

தவறு.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): GMm/r² = mv²/r → v² = GM/r → v = √(GM/r). r பெரிய சுற்றில் வேகம் குறைவு.

Q3 / 20 ★★★★★

புவிநிலைச் செயற்கைக்கோளின் (geostationary) சுற்றுக்காலம்?

(1) 1 மணி நேரம் / 1 hour

இல்லை.

(2) 24 மணி நேரம் / 24 hours

சரி — பூமி சுழற்சிக்கு சமம்.

(3) 1 மாதம் / 1 month

அது நிலவு.

(4) 12 மணி நேரம் / 12 hours

இல்லை.

(5) 90 நிமிடம் / 90 minutes

அது தாழ் சுற்று.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): புவிநிலைச் செயற்கைக்கோள் பூமி சுழற்சிக்காலத்துடன் (24 h) நடுக்கோட்டுத் தளத்தில் சுற்றுவதால் வானில் நிலையாகத் தோன்றுகிறது.

Q4 / 20 ★★★★★

கெப்லரின் மூன்றாம் விதி (Kepler's third law)?

(1) T ∝ r

தவறு.

(2) T² ∝ r³

சரி — T² ∝ r³.

(3) T ∝ r²

தவறு.

(4) T³ ∝ r²

தலைகீழ்.

(5) T ∝ 1/r

தவறு.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): T² ∝ r³ (காலத்தின் வர்க்கம் ∝ ஆரையின் கனம்). T² = (4π²/GM)r³.

Q5 / 20 ★★★★☆

சுற்றுக்காலம் T சூத்திரம்?

(1) T = 2πr/v

சரி — T = சுற்றளவு/வேகம்.

(2) T = 2πv/r

தலைகீழ்.

(3) T = πr/v

தவறு.

(4) T = r/v

π விடுபட்டது.

(5) T = 2π/v

தவறு.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): T = 2πr/v; v = √(GM/r) ஐ இடச் T = 2π√(r³/GM) → T² ∝ r³.

Q6 / 20 ★★★★☆

விண்வெளி வீரர் சுற்றிலுள்ள செயற்கைக்கோளில் "எடையற்று" உணர்வது ஏன்?

(1) ஈர்ப்பு இல்லை / no gravity there

இல்லை — ஈர்ப்பு உண்டு.

(2) வீரரும் கோளமும் ஒரே ஆர்முடுக்கத்தில் (g) தடையற்று விழுகின்றனர் → நேரியல் விசை 0 / both fall freely at the same g → normal force 0

சரி.

(3) காற்று இல்லை / no air

தொடர்பில்லை.

(4) மிக வேகம் / too fast

இல்லை.

(5) மையவிலக்கு விசை / centrifugal force

போலி.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): சுற்றில் ஈர்ப்பு உண்டு (அதுவே மையநோக்கு விசை). வீரரும் கோளமும் ஒரே g-இல் தொடர்ந்து விழுவதால் (free fall) வீரர் மீது நேரியல் விசை N=0 → "எடையின்மை" உணர்வு.

Q7 / 20 ★★★★☆

உயரமான சுற்றில் (large r) செயற்கைக்கோளின் வேகம்?

(1) வேகமாக / faster

இல்லை.

(2) மெதுவாக / slower

சரி — v = √(GM/r) ∝ 1/√r.

(3) அதே வேகம் / the same speed

இல்லை.

(4) பூஜ்ஜிய வேகம் / zero speed

இல்லை.

(5) மாறிக்கொண்டே / continually varying

வட்ட சுற்றில் மாறா.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): v = √(GM/r); r பெரிது → v குறைவு. உயர் சுற்றில் வேகம் குறைவு, காலம் T அதிகம் (T² ∝ r³).

Q8 / 20 ★★★★☆

புவிநிலைச் செயற்கைக்கோள் எந்தத் தளத்தில் சுற்ற வேண்டும்?

(1) துருவத் தளம் / polar plane

அது துருவச் சுற்று.

(2) நடுக்கோட்டுத் தளம் (equatorial) / equatorial plane

சரி.

(3) எந்தத் தளமும் / any plane

இல்லை.

(4) சாய்ந்த தளம் / an inclined plane

இல்லை.

(5) நிலையான இல்லை / none

இல்லை.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): புவிநிலையாக இருக்க: (1) காலம் 24 h, (2) நடுக்கோட்டுத் தளத்தில், (3) பூமி சுழற்சித் திசையில் — அப்போதே வானில் நிலையாகத் தோன்றும்.

Q9 / 20 ★★★★☆

மேற்பரப்புக்கு அருகிலான சுற்றில் (r≈R) வேகம் v = √(gR). g=10, R=6.4×10⁶ எனில்?

(1) ~8 km s⁻¹

சரி — √(10×6.4×10⁶)≈8000 m/s.

(2) ~11 km s⁻¹

அது விடுபடு வேகம்.

(3) ~3 km s⁻¹

தவறு.

(4) ~30 km s⁻¹

அது பூமி சுற்றுவேகம்.

(5) ~1.6 km s⁻¹

அது நிலவு.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): v = √(gR) = √(10×6.4×10⁶) = √(6.4×10⁷) ≈ 8000 m s⁻¹ ≈ 8 km s⁻¹ (தாழ் பூமிச் சுற்று).

Q10 / 20 ★★★★☆

கெப்லரின் இரண்டாம் விதி (சம பரப்பு விதி) எதைக் காப்பாற்றுகிறது?

(1) ஆற்றல் / energy

இல்லை.

(2) கோண உந்தம் / angular momentum

சரி — கோண உந்தக் காப்பு.

(3) நேர் உந்தம் / linear momentum

இல்லை.

(4) திணிவு / mass

இல்லை.

(5) மின்னேற்றம் / charge

இல்லை.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): கெப்லர் 2: ஆரை-வெக்டர் சம காலத்தில் சம பரப்பு வருடும் → கோண உந்தம் காக்கப்படுகிறது (அருகே வேகம் கூடும், தொலைவில் குறையும்).

Q11 / 20 ★★★★☆

சுற்றும் செயற்கைக்கோளின் மொத்த ஆற்றல் (KE+PE)?

(1) நேர்மறை / positive

இல்லை.

(2) எதிர்மறை (கட்டுண்ட நிலை) / negative (a bound state)

சரி — E = −GMm/2r.

(3) பூஜ்ஜியம் / zero

இல்லை — அது விடுபடும் எல்லை.

(4) மிக அதிகம் / very large positive

இல்லை.

(5) மாறிக்கொண்டே / continually changing

மாறா (வட்ட சுற்று).

ஆழமான விளக்கம் (Deep): வட்ட சுற்றில் KE = +GMm/2r, PE = −GMm/r → மொத்தம் E = −GMm/2r (எதிர்மறை = கட்டுண்ட நிலை). E≥0 எனில் விடுபடும்.

Q12 / 20 ★★★☆☆

புவிநிலைச் செயற்கைக்கோளின் முக்கியப் பயன்பாடு?

(1) வானிலை துருவப் படம் / polar weather imaging

அது துருவச் சுற்று.

(2) தொலைத்தொடர்பு & ஒளிபரப்பு (நிலையான திசை) / communications & broadcasting (fixed direction)

சரி.

(3) GPS மட்டும் / GPS only

GPS வேறு சுற்று.

(4) விண்வெளி ஆய்வு மட்டும் / deep-space only

இல்லை.

(5) எதுவும் இல்லை / none

இல்லை.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): புவிநிலைக் கோள் வானில் நிலையாகத் தோன்றுவதால் தட்டு ஆண்டெனா ஒரே திசையில் நிலையாக இருக்கலாம் → தொலைத்தொடர்பு, தொலைக்காட்சி ஒளிபரப்பு, வானிலை கண்காணிப்பு.

Q13 / 20 ★★★★☆

T² = (4π²/GM)r³ எதை அளக்கப் பயன்படும்?

(1) செயற்கைக்கோள் திணிவு / satellite mass

சாராது.

(2) மைய கோளத்தின் திணிவு M / the mass M of the central body

சரி — T, r-இலிருந்து M.

(3) ஒளி வேகம் / speed of light

இல்லை.

(4) மின்னூட்டம் / charge

இல்லை.

(5) வெப்பநிலை / temperature

இல்லை.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): T, r அளந்து M = 4π²r³/(GT²) → கோள/நட்சத்திரத்தின் திணிவைக் கணிக்கலாம் (செயற்கைக்கோள் திணிவைச் சாராது).

Q14 / 20 ★★★☆☆

ஒரு செயற்கைக்கோளின் சுற்று வேகம் அதன் சொந்தத் திணிவைச் சார்ந்ததா?

(1) ஆம், நேர் / yes, directly

இல்லை.

(2) இல்லை, சாராது / no, independent

சரி — m அழிகிறது.

(3) ஆம், தலைகீழ் / yes, inversely

இல்லை.

(4) திணிவின் வர்க்கம் / on mass²

இல்லை.

(5) தீர்மானிக்க முடியாது / undetermined

முடியும்.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): GMm/r² = mv²/r-இல் m அழிகிறது → v = √(GM/r), செயற்கைக்கோளின் திணிவைச் சாராது (மைய M, r-ஐ மட்டும்).

Q15 / 20 ★★★☆☆

துருவச் சுற்று (polar orbit) செயற்கைக்கோளின் பயன்?

(1) நிலையான தொலைத்தொடர்பு / fixed communications

அது புவிநிலை.

(2) முழுப் பூமியையும் வருடி (கண்காணிப்பு, வானிலை, படம்) / scanning the whole Earth (surveillance, weather, imaging)

சரி.

(3) வானில் நிலைத்தல் / staying fixed in the sky

அது புவிநிலை.

(4) 24 h காலம் / a 24 h period

அது புவிநிலை.

(5) எதுவும் இல்லை / none

இல்லை.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): துருவச் சுற்றுக் கோள் தாழ் உயரத்தில் துருவங்கள் வழியே சுற்ற, பூமி கீழே சுழல்வதால் காலப்போக்கில் முழுப் பரப்பையும் வருடுகிறது → வானிலை, படமெடுப்பு, கண்காணிப்பு.

Q16 / 20 ★★★★☆

r=4R-இல் சுற்றும் கோளத்தின் வேகம், மேற்பரப்பு அருகே வேகம் v₀-உடன் ஒப்பிட்டால்?

(1) v₀

இல்லை.

(2) v₀/2

சரி — v ∝ 1/√r; 1/√4 = ½.

(3) v₀/4

r அல்ல.

(4) 2v₀

இல்லை.

(5) v₀/16

தவறு.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): v = √(GM/r) ∝ 1/√r. r: R→4R → v → v₀/√4 = v₀/2.

Q17 / 20 ★★★☆☆

கெப்லரின் முதல் விதி கோள் சுற்றுப் பாதையின் வடிவம்?

(1) வட்டம் / a circle

சிறப்பு வழக்கு மட்டும்.

(2) நீள்வட்டம் (சூரியன் ஒரு குவியத்தில்) / an ellipse (Sun at one focus)

சரி.

(3) பரவளையம் / a parabola

இல்லை.

(4) நேர்கோடு / a straight line

இல்லை.

(5) மீச்செவ்வகம் / a hyperbola

இல்லை.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): கெப்லர் 1: ஒவ்வொரு கோளும் சூரியனை ஒரு குவியமாகக் கொண்ட நீள்வட்டப் பாதையில் சுற்றுகிறது (வட்டம் ஒரு சிறப்பு வழக்கு).

Q18 / 20 ★★★★☆

நிலவின் சுற்றுக்காலம் ~27 நாட்கள், ஆரை r. அதே r-இல் வேறொரு கோளை சுற்றும் பொருளின் காலம் (கோள திணிவு பூமியின் 4 மடங்கு)?

(1) 54 நாட்கள் / 54 days

இல்லை.

(2) 13.5 நாட்கள் / 13.5 days

சரி — T ∝ 1/√M; 1/√4=½ → 13.5.

(3) 27 நாட்கள் / 27 days

மாறும்.

(4) 108 நாட்கள் / 108 days

இல்லை.

(5) 6.75 நாட்கள் / 6.75 days

தவறு.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): T = 2π√(r³/GM) ∝ 1/√M (r மாறா). M 4 மடங்கு → T → 27/√4 = 27/2 = 13.5 நாட்கள்.

Q19 / 20 ★★★☆☆

செயற்கைக்கோள் சுற்றில் தொடர்ந்து "விழுகிறது" என்பதன் பொருள்?

(1) அது கீழே மோதும் / it will crash

இல்லை.

(2) ஈர்ப்பால் வளைந்து விழுந்தாலும், கிடைவேகம் போதுமானதால் பூமியைச் சுற்றிக் கடந்து செல்கிறது / it falls under gravity but its horizontal speed carries it around the curved Earth

சரி.

(3) ஈர்ப்பு இல்லை / there is no gravity

இல்லை.

(4) அது நிலையாக உள்ளது / it is stationary

இல்லை.

(5) எரிபொருளால் தாங்கப்படுகிறது / it is held by fuel

இல்லை.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): செயற்கைக்கோள் ஈர்ப்பால் தொடர்ந்து பூமியை நோக்கி விழுகிறது; ஆனால் அதன் போதிய கிடைவேகம் அதை வளைந்த பூமியைச் சுற்றி "தவறவிட்டு" செல்லச் செய்கிறது → வட்டப் பாதை.

Q20 / 20 ★★★☆☆

புவிநிலைச் செயற்கைக்கோளின் உயரம் ~36000 km. தாழ்-பூமிச் சுற்றை (LEO ~400 km) விட காலம்?

(1) குறைவு / shorter

இல்லை.

(2) அதிகம் (24 h vs ~90 min) / longer (24 h vs ~90 min)

சரி — T² ∝ r³.

(3) சமம் / equal

இல்லை.

(4) பூஜ்ஜியம் / zero

இல்லை.

(5) தீர்மானிக்க முடியாது / undetermined

முடியும்.

ஆழமான விளக்கம் (Deep): T² ∝ r³; r பெரிது (36000 km) → காலம் மிக அதிகம் (24 h). LEO ~400 km → ~90 நிமிடம்.

📝 கட்டமைக்கப்பட்ட வினாக்கள் — 3

கட்டமைப்பு வினா 1 8 புள்ளி

பூமி: M=6.0×10²⁴ kg, R=6.4×10⁶ m, G=6.67×10⁻¹¹. ஒரு செயற்கைக்கோள் மேற்பரப்புக்கு மேலே 600 km-இல் சுற்றுகிறது.

(a) சுற்று ஆரை r-ஐக் கூறி, சுற்று வேகத்தைக் கணக்கிடுக.

விடை

r = R + h = 6.4×10⁶ + 0.6×10⁶ = 7.0×10⁶ m

v = √(GM/r) = √(4.0×10¹⁴/7.0×10⁶) = √(5.71×10⁷) ≈ 7560 m s⁻¹

(b) சுற்றுக்காலம் T-ஐக் கணக்கிடுக.

விடை

T = 2πr/v = 2π×7.0×10⁶/7560 ≈ 5818 s ≈ 97 நிமிடம்

(c) இக்கணக்கு செயற்கைக்கோளின் திணிவைச் சார்ந்ததா? காரணம்.

விடை

இல்லை — GMm/r² = mv²/r-இல் m அழிகிறது → v = √(GM/r), திணிவைச் சாராது.

கட்டமைப்பு வினா 2 6 புள்ளி

புவிநிலைச் செயற்கைக்கோள் (geostationary).

(a) புவிநிலையாக இருக்க தேவையான மூன்று நிபந்தனைகளைக் கூறுக.

விடை

(1) சுற்றுக்காலம் = பூமி சுழற்சிக்காலம் (24 h); (2) நடுக்கோட்டுத் தளத்தில்; (3) பூமி சுழற்சித் திசையில் (மேற்கு→கிழக்கு).

(b) புவிநிலைச் செயற்கைக்கோளின் முக்கியப் பயன்பாட்டைக் கூறுக.

விடை

வானில் நிலையாகத் தோன்றுவதால் தட்டு ஆண்டெனா நிலையாக இருக்கலாம் → தொலைத்தொடர்பு, தொலைக்காட்சி ஒளிபரப்பு, வானிலை கண்காணிப்பு.

கட்டமைப்பு வினா 3 5 புள்ளி

சுற்று இயங்கியல்.

(a) வட்ட சுற்றில் ஈர்ப்பு விசை = மையநோக்கு விசை எனக் கொண்டு v = √(GM/r) எனத் தருவிக்க.

விடை

GMm/r² = mv²/r

m அழிய: GM/r² = v²/r → v² = GM/r → v = √(GM/r)

(b) இதிலிருந்து கெப்லர் 3ஆம் விதி T² ∝ r³ எனக் காட்டுக.

விடை

T = 2πr/v = 2πr/√(GM/r) = 2π√(r³/GM)

T² = (4π²/GM)r³ → T² ∝ r³

✍️ கட்டுரை வினாக்கள் — 4

கட்டுரை வினா 1 10 புள்ளி

(a) ஒரு செயற்கைக்கோளின் வட்டச் சுற்றில் ஈர்ப்பு விசை மையநோக்கு விசையாகச் செயற்படுவதை விளக்கி, v = √(GM/r) எனத் தருவிக்க. (b) கெப்லர் 3ஆம் விதி T² ∝ r³ எனக் காட்டுக. (c) நிலவு r=3.8×10⁸ m, T=2.36×10⁶ s எனில் பூமியின் திணிவைக் கணக்கிடுக (G=6.67×10⁻¹¹).

மாதிரி விடையைக் காண்க

(a) செயற்கைக்கோள் மீது ஈர்ப்பு விசை GMm/r² மையத்தை நோக்கிச் செயற்பட்டு வட்டப் பாதையைப் பேணுகிறது = மையநோக்கு விசை mv²/r.

GMm/r² = mv²/r → v² = GM/r → v = √(GM/r)

(b) T = 2πr/v = 2π√(r³/GM) → T² = (4π²/GM)r³ → T² ∝ r³.
(c) M = 4π²r³/(GT²) = 4π²(3.8×10⁸)³/(6.67×10⁻¹¹×(2.36×10⁶)²)

= (4π²×5.49×10²⁵)/(6.67×10⁻¹¹×5.57×10¹²)

≈ 2.17×10²⁷/3.71×10² ≈ 5.8×10²⁴ kg (≈ பூமியின் திணிவு)

கட்டுரை வினா 2 10 புள்ளி

(a) புவிநிலைச் செயற்கைக்கோள் (geostationary) என்றால் என்ன, அதற்கான நிபந்தனைகளைக் கூறுக. (b) அதன் பயன்பாடுகளைக் கூறுக. (c) புவிநிலைச் சுற்று ஆரையைக் கணக்கிடுக (T=24 h=86400 s, GM=4.0×10¹⁴).

மாதிரி விடையைக் காண்க

(a) புவிநிலைச் செயற்கைக்கோள் = பூமி சுழற்சியுடன் சேர்ந்து சுற்றி, தரையிலிருந்து பார்க்கையில் வானில் நிலையாகத் தோன்றும் கோள். நிபந்தனை: காலம் 24 h, நடுக்கோட்டுத் தளம், பூமி சுழற்சித் திசை.
(b) தொலைத்தொடர்பு, தொலைக்காட்சி ஒளிபரப்பு, வானிலை கண்காணிப்பு, தட்டு ஆண்டெனா நிலையாக வைக்க.
(c) T² = (4π²/GM)r³ → r³ = GM·T²/4π² = (4.0×10¹⁴ × (86400)²)/(4π²)

= (4.0×10¹⁴ × 7.46×10⁹)/39.5 ≈ 7.56×10²² m³

r = (7.56×10²²)^{1/3} ≈ 4.23×10⁷ m (≈ மேற்பரப்புக்கு மேலே 36000 km)

கட்டுரை வினா 3 10 புள்ளி

(a) சுற்றிலுள்ள விண்வெளி வீரர் "எடையற்று" உணர்வதை விளக்குக (ஈர்ப்பு இருந்தும்). (b) தடையற்ற வீழ்ச்சியில் N=0 எனக் காட்டுக. (c) சுற்றும் செயற்கைக்கோளின் KE, PE, மொத்த ஆற்றலை r-இன் சார்பாகத் தந்து, மொத்தம் ஏன் எதிர்மறை எனக் கூறுக.

மாதிரி விடையைக் காண்க

(a) சுற்றில் ஈர்ப்பு உண்டு (அதுவே மையநோக்கு விசை); வீரரும் கோளமும் ஒரே ஆர்முடுக்கம் g-இல் தொடர்ந்து விழுகின்றனர். வீரருக்கும் தளத்துக்கும் இடையே நேரியல் விசை இல்லை (N=0) என்பதால் "எடையின்மை" உணர்வு.
(b) கீழ்நோக்கி N = m(g−a); தடையற்ற வீழ்ச்சியில் a=g → N = 0.
(c) KE = ½mv² = GMm/2r; PE = −GMm/r; மொத்தம் E = KE+PE = GMm/2r − GMm/r = −GMm/2r. எதிர்மறை → கோள் கட்டுண்ட நிலையில் (bound); விடுபட E≥0 ஆக்க ஆற்றல் சேர்க்க வேண்டும்.

கட்டுரை வினா 4 10 புள்ளி

(a) கெப்லரின் மூன்று விதிகளையும் கூறுக. (b) ஒரு செயற்கைக்கோள் உயர் சுற்றுக்கு (larger r) நகர்த்தப்பட்டால் வேகம், காலம், ஆற்றல் எவ்வாறு மாறும் எனக் கூறுக. (c) ஒரு கோள் r-இல் T=8 h. அதே கோளத்தைச் சுற்றும் மற்றொன்று 4r-இல். அதன் காலம்.

மாதிரி விடையைக் காண்க

(a) 1: ஒவ்வொரு கோளும் சூரியனை ஒரு குவியமாகக் கொண்ட நீள்வட்டப் பாதையில். 2: ஆரை-வெக்டர் சம காலத்தில் சம பரப்பு வருடும் (கோண உந்தக் காப்பு). 3: T² ∝ r³.
(b) v = √(GM/r) → r↑ → வேகம் குறையும். T² ∝ r³ → காலம் அதிகரிக்கும். E = −GMm/2r → r↑ → E குறை எதிர்மறை (அதிகரிக்கும்/கூடும்); உயர் சுற்றுக்குச் செல்ல ஆற்றல் சேர்க்க வேண்டும்.
(c) T² ∝ r³; r→4r → T² ×64 → T ×8.

T = 8 × 8 = 64 h