தொலைத்தொடர்பு, GPS, வானிலை முன்னறிவிப்பு — இவை அனைத்தும் செயற்கைக்கோள்களை (satellites) நம்பியுள்ளன. ஒரு செயற்கைக்கோள் பூமியைச் சுற்றி வரும்போது, அதன் மைய நோக்கு விசையை ஈர்ப்பு விசையே வழங்குகிறது — இவ்விரண்டையும் சமப்படுத்துவதே எல்லாக் கணக்குகளின் திறவுகோல்.
இந்தச் சிமுலேட்டரால் சோதி
சுற்றுப்பாதை ஆரையை (r) மாற்றி, சுற்றுவேகம் (v) மற்றும் சுற்றுக்காலம் (T) எவ்வாறு மாறுகின்றன என்பதைப் பார். உயரமான சுற்றுப்பாதையில் வேகம் குறைவு, காலம் அதிகம் (T² ∝ r³).
🔬 Satellite Orbit Simulator
Orbit radius r medium
orbital speed v ∝ 1.00 · period T ∝ 1.00 (T² ∝ r³)
1. சுற்றுப்பாதைச் சமன்பாடுகள்
ஈர்ப்பு விசை = மைய நோக்கு விசை:
Orbit
GMm/r² = mv²/r → v = √(GM/r) · T² = (4π²/GM) r³- உயர் சுற்றுப்பாதை (பெரிய r) → வேகம் குறைவு, காலம் அதிகம் (கெப்லர் T²∝r³).
- சுற்றுவேகம் செயற்கைக்கோளின் திணிவைச் சாராது.
- சுற்றும் கோளில் எடையின்மை (weightlessness) — கோளும் பொருளும் ஒரே ஆர்முடுக்கத்தில் "விழுகின்றன".
2. நிலைபேறு கோள் (Geostationary)
பூமியின் சுழற்சியுடன் ஒத்த சுற்றுக்காலம் (T = 24 மணி), பூமத்திய ரேகைக்கு மேலே, மேற்கிலிருந்து கிழக்காகச் சுற்றும் கோள். வானில் நிலையாகத் தெரிவதால் தொலைத்தொடர்பு antenna-க்கள் அசையாமல் இருக்கலாம். உயரம் ≈ 36,000 km.
3. தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு
எ.கா. ஒரு செயற்கைக்கோளின் சுற்றுப்பாதை ஆரை இரட்டிப்பானால் சுற்றுக்காலத்துக்கு என்ன நடக்கும்?
படி 1: T² ∝ r³.
படி 2: r → 2r எனில் T² → 8 மடங்கு.
இறுதி முடிவு: T → √8 = 2√2 ≈ 2.83 மடங்கு.
4. தேர்வுப் பாணி வினா
வினா
செயற்கைக்கோளின் சுற்றுவேகம் எதைச் சாராது?
விடையைக் காண்க
v = √(GM/r) — செயற்கைக்கோளின் திணிவைச் சாராது (m இரு பக்கமும் அழிகிறது).
🎯 MCQ பயிற்சி — 20 கேள்விகள்
விடையைத் தெரிவுசெய்யவும் — பின்னர் ஒவ்வொரு விருப்பத்துக்கும் ஏன் சரி / தவறு எனும் விளக்கமும் ஆழமான விளக்கமும் (deep explanation) தோன்றும்.
Q1 / 20
★★★★★
ஒரு செயற்கைக்கோளின் வட்ட சுற்றில் மையநோக்கு விசையை வழங்குவது?
(1) ராக்கெட் இயக்கி / its rocket engine
இல்லை.
(2) புவி ஈர்ப்பு / Earth's gravity
சரி.
(3) காற்றழுத்தம் / air pressure
விண்வெளியில் இல்லை.
(4) மின்காந்த விசை / magnetic force
இல்லை.
(5) மையவிலக்கு விசை / centrifugal force
போலி விசை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): ஈர்ப்பு விசையே மையநோக்கு விசையாகச் செயற்பட்டு செயற்கைக்கோளை வட்டப் பாதையில் வைத்திருக்கிறது: GMm/r² = mv²/r.
Q2 / 20
★★★★★
வட்ட சுற்று வேகம் (orbital speed) v?
(1) √(GM/r)
சரி — v = √(GM/r).
(2) √(2GM/r)
அது விடுபடு வேகம்.
(3) GM/r
தவறு.
(4) √(GMr)
தவறு.
(5) GM/r²
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): GMm/r² = mv²/r → v² = GM/r → v = √(GM/r). r பெரிய சுற்றில் வேகம் குறைவு.
Q3 / 20
★★★★★
புவிநிலைச் செயற்கைக்கோளின் (geostationary) சுற்றுக்காலம்?
(1) 1 மணி நேரம் / 1 hour
இல்லை.
(2) 24 மணி நேரம் / 24 hours
சரி — பூமி சுழற்சிக்கு சமம்.
(3) 1 மாதம் / 1 month
அது நிலவு.
(4) 12 மணி நேரம் / 12 hours
இல்லை.
(5) 90 நிமிடம் / 90 minutes
அது தாழ் சுற்று.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): புவிநிலைச் செயற்கைக்கோள் பூமி சுழற்சிக்காலத்துடன் (24 h) நடுக்கோட்டுத் தளத்தில் சுற்றுவதால் வானில் நிலையாகத் தோன்றுகிறது.
Q4 / 20
★★★★★
கெப்லரின் மூன்றாம் விதி (Kepler's third law)?
(1) T ∝ r
தவறு.
(2) T² ∝ r³
சரி — T² ∝ r³.
(3) T ∝ r²
தவறு.
(4) T³ ∝ r²
தலைகீழ்.
(5) T ∝ 1/r
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): T² ∝ r³ (காலத்தின் வர்க்கம் ∝ ஆரையின் கனம்). T² = (4π²/GM)r³.
Q5 / 20
★★★★☆
சுற்றுக்காலம் T சூத்திரம்?
(1) T = 2πr/v
சரி — T = சுற்றளவு/வேகம்.
(2) T = 2πv/r
தலைகீழ்.
(3) T = πr/v
தவறு.
(4) T = r/v
π விடுபட்டது.
(5) T = 2π/v
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): T = 2πr/v; v = √(GM/r) ஐ இடச் T = 2π√(r³/GM) → T² ∝ r³.
Q6 / 20
★★★★☆
விண்வெளி வீரர் சுற்றிலுள்ள செயற்கைக்கோளில் "எடையற்று" உணர்வது ஏன்?
(1) ஈர்ப்பு இல்லை / no gravity there
இல்லை — ஈர்ப்பு உண்டு.
(2) வீரரும் கோளமும் ஒரே ஆர்முடுக்கத்தில் (g) தடையற்று விழுகின்றனர் → நேரியல் விசை 0 / both fall freely at the same g → normal force 0
சரி.
(3) காற்று இல்லை / no air
தொடர்பில்லை.
(4) மிக வேகம் / too fast
இல்லை.
(5) மையவிலக்கு விசை / centrifugal force
போலி.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): சுற்றில் ஈர்ப்பு உண்டு (அதுவே மையநோக்கு விசை). வீரரும் கோளமும் ஒரே g-இல் தொடர்ந்து விழுவதால் (free fall) வீரர் மீது நேரியல் விசை N=0 → "எடையின்மை" உணர்வு.
Q7 / 20
★★★★☆
உயரமான சுற்றில் (large r) செயற்கைக்கோளின் வேகம்?
(1) வேகமாக / faster
இல்லை.
(2) மெதுவாக / slower
சரி — v = √(GM/r) ∝ 1/√r.
(3) அதே வேகம் / the same speed
இல்லை.
(4) பூஜ்ஜிய வேகம் / zero speed
இல்லை.
(5) மாறிக்கொண்டே / continually varying
வட்ட சுற்றில் மாறா.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): v = √(GM/r); r பெரிது → v குறைவு. உயர் சுற்றில் வேகம் குறைவு, காலம் T அதிகம் (T² ∝ r³).
Q8 / 20
★★★★☆
புவிநிலைச் செயற்கைக்கோள் எந்தத் தளத்தில் சுற்ற வேண்டும்?
(1) துருவத் தளம் / polar plane
அது துருவச் சுற்று.
(2) நடுக்கோட்டுத் தளம் (equatorial) / equatorial plane
சரி.
(3) எந்தத் தளமும் / any plane
இல்லை.
(4) சாய்ந்த தளம் / an inclined plane
இல்லை.
(5) நிலையான இல்லை / none
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): புவிநிலையாக இருக்க: (1) காலம் 24 h, (2) நடுக்கோட்டுத் தளத்தில், (3) பூமி சுழற்சித் திசையில் — அப்போதே வானில் நிலையாகத் தோன்றும்.
Q9 / 20
★★★★☆
மேற்பரப்புக்கு அருகிலான சுற்றில் (r≈R) வேகம் v = √(gR). g=10, R=6.4×10⁶ எனில்?
(1) ~8 km s⁻¹
சரி — √(10×6.4×10⁶)≈8000 m/s.
(2) ~11 km s⁻¹
அது விடுபடு வேகம்.
(3) ~3 km s⁻¹
தவறு.
(4) ~30 km s⁻¹
அது பூமி சுற்றுவேகம்.
(5) ~1.6 km s⁻¹
அது நிலவு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): v = √(gR) = √(10×6.4×10⁶) = √(6.4×10⁷) ≈ 8000 m s⁻¹ ≈ 8 km s⁻¹ (தாழ் பூமிச் சுற்று).
Q10 / 20
★★★★☆
கெப்லரின் இரண்டாம் விதி (சம பரப்பு விதி) எதைக் காப்பாற்றுகிறது?
(1) ஆற்றல் / energy
இல்லை.
(2) கோண உந்தம் / angular momentum
சரி — கோண உந்தக் காப்பு.
(3) நேர் உந்தம் / linear momentum
இல்லை.
(4) திணிவு / mass
இல்லை.
(5) மின்னேற்றம் / charge
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): கெப்லர் 2: ஆரை-வெக்டர் சம காலத்தில் சம பரப்பு வருடும் → கோண உந்தம் காக்கப்படுகிறது (அருகே வேகம் கூடும், தொலைவில் குறையும்).
Q11 / 20
★★★★☆
சுற்றும் செயற்கைக்கோளின் மொத்த ஆற்றல் (KE+PE)?
(1) நேர்மறை / positive
இல்லை.
(2) எதிர்மறை (கட்டுண்ட நிலை) / negative (a bound state)
சரி — E = −GMm/2r.
(3) பூஜ்ஜியம் / zero
இல்லை — அது விடுபடும் எல்லை.
(4) மிக அதிகம் / very large positive
இல்லை.
(5) மாறிக்கொண்டே / continually changing
மாறா (வட்ட சுற்று).
ஆழமான விளக்கம் (Deep): வட்ட சுற்றில் KE = +GMm/2r, PE = −GMm/r → மொத்தம் E = −GMm/2r (எதிர்மறை = கட்டுண்ட நிலை). E≥0 எனில் விடுபடும்.
Q12 / 20
★★★☆☆
புவிநிலைச் செயற்கைக்கோளின் முக்கியப் பயன்பாடு?
(1) வானிலை துருவப் படம் / polar weather imaging
அது துருவச் சுற்று.
(2) தொலைத்தொடர்பு & ஒளிபரப்பு (நிலையான திசை) / communications & broadcasting (fixed direction)
சரி.
(3) GPS மட்டும் / GPS only
GPS வேறு சுற்று.
(4) விண்வெளி ஆய்வு மட்டும் / deep-space only
இல்லை.
(5) எதுவும் இல்லை / none
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): புவிநிலைக் கோள் வானில் நிலையாகத் தோன்றுவதால் தட்டு ஆண்டெனா ஒரே திசையில் நிலையாக இருக்கலாம் → தொலைத்தொடர்பு, தொலைக்காட்சி ஒளிபரப்பு, வானிலை கண்காணிப்பு.
Q13 / 20
★★★★☆
T² = (4π²/GM)r³ எதை அளக்கப் பயன்படும்?
(1) செயற்கைக்கோள் திணிவு / satellite mass
சாராது.
(2) மைய கோளத்தின் திணிவு M / the mass M of the central body
சரி — T, r-இலிருந்து M.
(3) ஒளி வேகம் / speed of light
இல்லை.
(4) மின்னூட்டம் / charge
இல்லை.
(5) வெப்பநிலை / temperature
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): T, r அளந்து M = 4π²r³/(GT²) → கோள/நட்சத்திரத்தின் திணிவைக் கணிக்கலாம் (செயற்கைக்கோள் திணிவைச் சாராது).
Q14 / 20
★★★☆☆
ஒரு செயற்கைக்கோளின் சுற்று வேகம் அதன் சொந்தத் திணிவைச் சார்ந்ததா?
(1) ஆம், நேர் / yes, directly
இல்லை.
(2) இல்லை, சாராது / no, independent
சரி — m அழிகிறது.
(3) ஆம், தலைகீழ் / yes, inversely
இல்லை.
(4) திணிவின் வர்க்கம் / on mass²
இல்லை.
(5) தீர்மானிக்க முடியாது / undetermined
முடியும்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): GMm/r² = mv²/r-இல் m அழிகிறது → v = √(GM/r), செயற்கைக்கோளின் திணிவைச் சாராது (மைய M, r-ஐ மட்டும்).
Q15 / 20
★★★☆☆
துருவச் சுற்று (polar orbit) செயற்கைக்கோளின் பயன்?
(1) நிலையான தொலைத்தொடர்பு / fixed communications
அது புவிநிலை.
(2) முழுப் பூமியையும் வருடி (கண்காணிப்பு, வானிலை, படம்) / scanning the whole Earth (surveillance, weather, imaging)
சரி.
(3) வானில் நிலைத்தல் / staying fixed in the sky
அது புவிநிலை.
(4) 24 h காலம் / a 24 h period
அது புவிநிலை.
(5) எதுவும் இல்லை / none
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): துருவச் சுற்றுக் கோள் தாழ் உயரத்தில் துருவங்கள் வழியே சுற்ற, பூமி கீழே சுழல்வதால் காலப்போக்கில் முழுப் பரப்பையும் வருடுகிறது → வானிலை, படமெடுப்பு, கண்காணிப்பு.
Q16 / 20
★★★★☆
r=4R-இல் சுற்றும் கோளத்தின் வேகம், மேற்பரப்பு அருகே வேகம் v₀-உடன் ஒப்பிட்டால்?
(1) v₀
இல்லை.
(2) v₀/2
சரி — v ∝ 1/√r; 1/√4 = ½.
(3) v₀/4
r அல்ல.
(4) 2v₀
இல்லை.
(5) v₀/16
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): v = √(GM/r) ∝ 1/√r. r: R→4R → v → v₀/√4 = v₀/2.
Q17 / 20
★★★☆☆
கெப்லரின் முதல் விதி கோள் சுற்றுப் பாதையின் வடிவம்?
(1) வட்டம் / a circle
சிறப்பு வழக்கு மட்டும்.
(2) நீள்வட்டம் (சூரியன் ஒரு குவியத்தில்) / an ellipse (Sun at one focus)
சரி.
(3) பரவளையம் / a parabola
இல்லை.
(4) நேர்கோடு / a straight line
இல்லை.
(5) மீச்செவ்வகம் / a hyperbola
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): கெப்லர் 1: ஒவ்வொரு கோளும் சூரியனை ஒரு குவியமாகக் கொண்ட நீள்வட்டப் பாதையில் சுற்றுகிறது (வட்டம் ஒரு சிறப்பு வழக்கு).
Q18 / 20
★★★★☆
நிலவின் சுற்றுக்காலம் ~27 நாட்கள், ஆரை r. அதே r-இல் வேறொரு கோளை சுற்றும் பொருளின் காலம் (கோள திணிவு பூமியின் 4 மடங்கு)?
(1) 54 நாட்கள் / 54 days
இல்லை.
(2) 13.5 நாட்கள் / 13.5 days
சரி — T ∝ 1/√M; 1/√4=½ → 13.5.
(3) 27 நாட்கள் / 27 days
மாறும்.
(4) 108 நாட்கள் / 108 days
இல்லை.
(5) 6.75 நாட்கள் / 6.75 days
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): T = 2π√(r³/GM) ∝ 1/√M (r மாறா). M 4 மடங்கு → T → 27/√4 = 27/2 = 13.5 நாட்கள்.
Q19 / 20
★★★☆☆
செயற்கைக்கோள் சுற்றில் தொடர்ந்து "விழுகிறது" என்பதன் பொருள்?
(1) அது கீழே மோதும் / it will crash
இல்லை.
(2) ஈர்ப்பால் வளைந்து விழுந்தாலும், கிடைவேகம் போதுமானதால் பூமியைச் சுற்றிக் கடந்து செல்கிறது / it falls under gravity but its horizontal speed carries it around the curved Earth
சரி.
(3) ஈர்ப்பு இல்லை / there is no gravity
இல்லை.
(4) அது நிலையாக உள்ளது / it is stationary
இல்லை.
(5) எரிபொருளால் தாங்கப்படுகிறது / it is held by fuel
இல்லை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): செயற்கைக்கோள் ஈர்ப்பால் தொடர்ந்து பூமியை நோக்கி விழுகிறது; ஆனால் அதன் போதிய கிடைவேகம் அதை வளைந்த பூமியைச் சுற்றி "தவறவிட்டு" செல்லச் செய்கிறது → வட்டப் பாதை.
Q20 / 20
★★★☆☆
புவிநிலைச் செயற்கைக்கோளின் உயரம் ~36000 km. தாழ்-பூமிச் சுற்றை (LEO ~400 km) விட காலம்?
(1) குறைவு / shorter
இல்லை.
(2) அதிகம் (24 h vs ~90 min) / longer (24 h vs ~90 min)
சரி — T² ∝ r³.
(3) சமம் / equal
இல்லை.
(4) பூஜ்ஜியம் / zero
இல்லை.
(5) தீர்மானிக்க முடியாது / undetermined
முடியும்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): T² ∝ r³; r பெரிது (36000 km) → காலம் மிக அதிகம் (24 h). LEO ~400 km → ~90 நிமிடம்.
📝 கட்டமைக்கப்பட்ட வினாக்கள் — 3
கட்டமைப்பு வினா 1
8 புள்ளி
பூமி: M=6.0×10²⁴ kg, R=6.4×10⁶ m, G=6.67×10⁻¹¹. ஒரு செயற்கைக்கோள் மேற்பரப்புக்கு மேலே 600 km-இல் சுற்றுகிறது.
(a) சுற்று ஆரை r-ஐக் கூறி, சுற்று வேகத்தைக் கணக்கிடுக.
விடை
r = R + h = 6.4×10⁶ + 0.6×10⁶ = 7.0×10⁶ m
v = √(GM/r) = √(4.0×10¹⁴/7.0×10⁶) = √(5.71×10⁷) ≈ 7560 m s⁻¹
(b) சுற்றுக்காலம் T-ஐக் கணக்கிடுக.
விடை
T = 2πr/v = 2π×7.0×10⁶/7560 ≈ 5818 s ≈ 97 நிமிடம்
(c) இக்கணக்கு செயற்கைக்கோளின் திணிவைச் சார்ந்ததா? காரணம்.
விடை
இல்லை — GMm/r² = mv²/r-இல் m அழிகிறது → v = √(GM/r), திணிவைச் சாராது.
கட்டமைப்பு வினா 2
6 புள்ளி
புவிநிலைச் செயற்கைக்கோள் (geostationary).
(a) புவிநிலையாக இருக்க தேவையான மூன்று நிபந்தனைகளைக் கூறுக.
விடை
(1) சுற்றுக்காலம் = பூமி சுழற்சிக்காலம் (24 h); (2) நடுக்கோட்டுத் தளத்தில்; (3) பூமி சுழற்சித் திசையில் (மேற்கு→கிழக்கு).
(b) புவிநிலைச் செயற்கைக்கோளின் முக்கியப் பயன்பாட்டைக் கூறுக.
விடை
வானில் நிலையாகத் தோன்றுவதால் தட்டு ஆண்டெனா நிலையாக இருக்கலாம் → தொலைத்தொடர்பு, தொலைக்காட்சி ஒளிபரப்பு, வானிலை கண்காணிப்பு.
கட்டமைப்பு வினா 3
5 புள்ளி
சுற்று இயங்கியல்.
(a) வட்ட சுற்றில் ஈர்ப்பு விசை = மையநோக்கு விசை எனக் கொண்டு v = √(GM/r) எனத் தருவிக்க.
விடை
GMm/r² = mv²/r
m அழிய: GM/r² = v²/r → v² = GM/r → v = √(GM/r)
(b) இதிலிருந்து கெப்லர் 3ஆம் விதி T² ∝ r³ எனக் காட்டுக.
விடை
T = 2πr/v = 2πr/√(GM/r) = 2π√(r³/GM)
T² = (4π²/GM)r³ → T² ∝ r³
✍️ கட்டுரை வினாக்கள் — 4
கட்டுரை வினா 1
10 புள்ளி
(a) ஒரு செயற்கைக்கோளின் வட்டச் சுற்றில் ஈர்ப்பு விசை மையநோக்கு விசையாகச் செயற்படுவதை விளக்கி, v = √(GM/r) எனத் தருவிக்க. (b) கெப்லர் 3ஆம் விதி T² ∝ r³ எனக் காட்டுக. (c) நிலவு r=3.8×10⁸ m, T=2.36×10⁶ s எனில் பூமியின் திணிவைக் கணக்கிடுக (G=6.67×10⁻¹¹).
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) செயற்கைக்கோள் மீது ஈர்ப்பு விசை GMm/r² மையத்தை நோக்கிச் செயற்பட்டு வட்டப் பாதையைப் பேணுகிறது = மையநோக்கு விசை mv²/r.
(b) T = 2πr/v = 2π√(r³/GM) → T² = (4π²/GM)r³ → T² ∝ r³.
(c) M = 4π²r³/(GT²) = 4π²(3.8×10⁸)³/(6.67×10⁻¹¹×(2.36×10⁶)²)
GMm/r² = mv²/r → v² = GM/r → v = √(GM/r)
(b) T = 2πr/v = 2π√(r³/GM) → T² = (4π²/GM)r³ → T² ∝ r³.
(c) M = 4π²r³/(GT²) = 4π²(3.8×10⁸)³/(6.67×10⁻¹¹×(2.36×10⁶)²)
= (4π²×5.49×10²⁵)/(6.67×10⁻¹¹×5.57×10¹²)
≈ 2.17×10²⁷/3.71×10² ≈ 5.8×10²⁴ kg (≈ பூமியின் திணிவு)
கட்டுரை வினா 2
10 புள்ளி
(a) புவிநிலைச் செயற்கைக்கோள் (geostationary) என்றால் என்ன, அதற்கான நிபந்தனைகளைக் கூறுக. (b) அதன் பயன்பாடுகளைக் கூறுக. (c) புவிநிலைச் சுற்று ஆரையைக் கணக்கிடுக (T=24 h=86400 s, GM=4.0×10¹⁴).
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) புவிநிலைச் செயற்கைக்கோள் = பூமி சுழற்சியுடன் சேர்ந்து சுற்றி, தரையிலிருந்து பார்க்கையில் வானில் நிலையாகத் தோன்றும் கோள். நிபந்தனை: காலம் 24 h, நடுக்கோட்டுத் தளம், பூமி சுழற்சித் திசை.
(b) தொலைத்தொடர்பு, தொலைக்காட்சி ஒளிபரப்பு, வானிலை கண்காணிப்பு, தட்டு ஆண்டெனா நிலையாக வைக்க.
(c) T² = (4π²/GM)r³ → r³ = GM·T²/4π² = (4.0×10¹⁴ × (86400)²)/(4π²)
(b) தொலைத்தொடர்பு, தொலைக்காட்சி ஒளிபரப்பு, வானிலை கண்காணிப்பு, தட்டு ஆண்டெனா நிலையாக வைக்க.
(c) T² = (4π²/GM)r³ → r³ = GM·T²/4π² = (4.0×10¹⁴ × (86400)²)/(4π²)
= (4.0×10¹⁴ × 7.46×10⁹)/39.5 ≈ 7.56×10²² m³
r = (7.56×10²²)^{1/3} ≈ 4.23×10⁷ m (≈ மேற்பரப்புக்கு மேலே 36000 km)
கட்டுரை வினா 3
10 புள்ளி
(a) சுற்றிலுள்ள விண்வெளி வீரர் "எடையற்று" உணர்வதை விளக்குக (ஈர்ப்பு இருந்தும்). (b) தடையற்ற வீழ்ச்சியில் N=0 எனக் காட்டுக. (c) சுற்றும் செயற்கைக்கோளின் KE, PE, மொத்த ஆற்றலை r-இன் சார்பாகத் தந்து, மொத்தம் ஏன் எதிர்மறை எனக் கூறுக.
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) சுற்றில் ஈர்ப்பு உண்டு (அதுவே மையநோக்கு விசை); வீரரும் கோளமும் ஒரே ஆர்முடுக்கம் g-இல் தொடர்ந்து விழுகின்றனர். வீரருக்கும் தளத்துக்கும் இடையே நேரியல் விசை இல்லை (N=0) என்பதால் "எடையின்மை" உணர்வு.
(b) கீழ்நோக்கி N = m(g−a); தடையற்ற வீழ்ச்சியில் a=g → N = 0.
(c) KE = ½mv² = GMm/2r; PE = −GMm/r; மொத்தம் E = KE+PE = GMm/2r − GMm/r = −GMm/2r. எதிர்மறை → கோள் கட்டுண்ட நிலையில் (bound); விடுபட E≥0 ஆக்க ஆற்றல் சேர்க்க வேண்டும்.
(b) கீழ்நோக்கி N = m(g−a); தடையற்ற வீழ்ச்சியில் a=g → N = 0.
(c) KE = ½mv² = GMm/2r; PE = −GMm/r; மொத்தம் E = KE+PE = GMm/2r − GMm/r = −GMm/2r. எதிர்மறை → கோள் கட்டுண்ட நிலையில் (bound); விடுபட E≥0 ஆக்க ஆற்றல் சேர்க்க வேண்டும்.
கட்டுரை வினா 4
10 புள்ளி
(a) கெப்லரின் மூன்று விதிகளையும் கூறுக. (b) ஒரு செயற்கைக்கோள் உயர் சுற்றுக்கு (larger r) நகர்த்தப்பட்டால் வேகம், காலம், ஆற்றல் எவ்வாறு மாறும் எனக் கூறுக. (c) ஒரு கோள் r-இல் T=8 h. அதே கோளத்தைச் சுற்றும் மற்றொன்று 4r-இல். அதன் காலம்.
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) 1: ஒவ்வொரு கோளும் சூரியனை ஒரு குவியமாகக் கொண்ட நீள்வட்டப் பாதையில். 2: ஆரை-வெக்டர் சம காலத்தில் சம பரப்பு வருடும் (கோண உந்தக் காப்பு). 3: T² ∝ r³.
(b) v = √(GM/r) → r↑ → வேகம் குறையும். T² ∝ r³ → காலம் அதிகரிக்கும். E = −GMm/2r → r↑ → E குறை எதிர்மறை (அதிகரிக்கும்/கூடும்); உயர் சுற்றுக்குச் செல்ல ஆற்றல் சேர்க்க வேண்டும்.
(c) T² ∝ r³; r→4r → T² ×64 → T ×8.
(b) v = √(GM/r) → r↑ → வேகம் குறையும். T² ∝ r³ → காலம் அதிகரிக்கும். E = −GMm/2r → r↑ → E குறை எதிர்மறை (அதிகரிக்கும்/கூடும்); உயர் சுற்றுக்குச் செல்ல ஆற்றல் சேர்க்க வேண்டும்.
(c) T² ∝ r³; r→4r → T² ×64 → T ×8.
T = 8 × 8 = 64 h