1️⃣1️⃣ தரம் 11 · அலகு 8 · P1

சமாந்தரக் கோடுகளுக்கிடையே உள்ள தளவுருவங்களின் பரப்பளவு

Area of plane figures between parallel lines

★★★★★ பரப்பளவுசமாந்தரம்இணைகரம்முக்கோணி

இரு சமாந்தரக் கோடுகளைக் கற்பனை செய்யுங்கள் — தண்டவாளங்கள் போல. அதில் ஒரு செவ்வகம் அமைக்கிறீர்கள். பின் அதே அடியின் மீது ஒரு சாய்ந்த இணைகரமும் அமைக்கிறீர்கள். வடிவம் வேறு, ஆனால் பரப்பளவு சமம்! ஏன்? இரண்டும் ஒரே உயரத்திற்கிடையே (தண்டவாளங்களுக்கிடையே) இருப்பதால், உயரம் (h) மாறவில்லை; அடி (b) மாறவில்லை; ஆகவே பரப்பு ($b \times h$) மாறவில்லை. இதுவே இந்த அலகின் கருத்து — சமாந்தரத்திற்கிடையேயான சம பரப்பு தேற்றங்கள்.

படி 1 — பரப்பளவுச் சூத்திரங்கள் (மீட்டல்)

அடிப்படை சூத்திரங்கள் முக்கோணி $= \dfrac{1}{2} \times$ அடி $\times$ உயரம$ • இணைகரம் $=$ அடி $\times$ உயரம்
செவ்வகம் $=$ நீளம் $\times$ அகலம் • சரிவகம் $= \dfrac{1}{2}(a+b) \times h$

முக்கோணி: அடி $10$ cm, உயரம் $8$ cm → $\dfrac{1}{2}(10)(8) = 40\ \text{cm}^2$.

உயரம் = அடிக்குச் செங்குத்தான தூரம் — சாய்பக்கம் அல்ல.

சரிவகம்: $a = 6$, $b = 10$ cm, $h = 4$ cm → $\dfrac{1}{2}(6+10)(4) = 32\ \text{cm}^2$.

படி 2 — தேற்றம் 1: இணைகரங்கள் சம பரப்பு

ஒரே அடியின் மீதும் ஒரே இரு சமாந்தரக் கோடுகளுக்கு இடையேயும் அமையும் எல்லா இணைகரங்களும் சம பரப்பு உடையன. காரணம்: அடி $b$ மாறவில்லை; உயரம் $h$ (இரு கோடுகளுக்கிடையே உள்ள செங்குத்துத் தூரம்) மாறவில்லை. எனவே $b \times h$ மாறாது — வடிவம் எவ்வாறு சாய்ந்தாலும்.

ஒரே அடி $AB$, ஒரே உயரம் $h$ → இரண்டு இணைகரங்களும் சம பரப்பு

தேற்றம் 1 ஒரே அடி, ஒரே இரு சமாந்தரங்கள் → இணைகரங்கள் சம பரப்பு

செவ்வகம் $KLMN$: $NM = 10$ cm, $KN = 8$ cm → பரப்பு $= 80\ \text{cm}^2$. அதே அடி $NM$, அதே சமாந்தரத்தில் உள்ள இணைகரம் $PQMN$ → பரப்பு $= 80\ \text{cm}^2$.

வடிவம் சாய்ந்தாலும் $h$ மாறாது — செங்குத்துத் தூரம் மட்டுமே உயரம்.

படி 3 — தேற்றம் 2: முக்கோணி = இணைகரத்தின் பாதி

ஒரு இணைகரத்தை மூலைவிட்டமாக இரு சம முக்கோணிகளாகப் பிரிக்கலாம் என்பது நினைவிருக்கிறதா? அதனால்: அதே அடி+சமாந்தரத்தில் உள்ள முக்கோணியின் பரப்பு = அந்த இணைகரத்தின் பாதி.

தேற்றம் 2 ஒரே அடி, ஒரே சமாந்தரங்கள் → முக்கோணி $= \dfrac{1}{2} \times$ இணைகர பரப்பு

இணைகரம் பரப்பு $80\ \text{cm}^2$ → அதே அடி+சமாந்தரத்தில் முக்கோணி $= 40\ \text{cm}^2$.

தேர்வு கேள்வி வடிவம்: $\triangle ABC$ உம் இணைகரம் $ABCD$ உம் ஒரே அடி $AB$, ஒரே சமாந்தரத்தில். இணைகரம் $= 48\ \text{cm}^2$ → $\triangle ABC = 24\ \text{cm}^2$.

படி 4 — தேற்றம் 3: முக்கோணிகள் சம பரப்பு

ஒரே அடி, ஒரே சமாந்தரங்களில் உள்ள எல்லா முக்கோணிகளும் சம பரப்பு. காரணம்: $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ — $b$ மாறாது, $h$ மாறாது; வடிவம் மட்டும் வேறு.

தேற்றம் 3 ஒரே அடி, ஒரே சமாந்தரங்கள் → முக்கோணிகள் சம பரப்பு

$\triangle ABC$ உம் $\triangle ABD$ உம் ஒரே அடி $AB$, $D$ மற்றும் $C$ ஒரே சமாந்தரத்தில் → $\text{ar}(\triangle ABC) = \text{ar}(\triangle ABD)$.

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) தேற்றங்கள் பொருந்த இரண்டு நிபந்தனை தேவை: ஒரே அடி மற்றும் ஒரே சமாந்தரங்கள்.
(2) உயரம் = செங்குத்தான தூரம் — சாய்பக்கம் இல்லை.
(3) முக்கோணி $= \tfrac{1}{2} bh$ — $\tfrac{1}{2}$ ஐ மறக்காதீர்கள்.
(4) "முக்கோணி = இணைகரத்தின் பாதி" — அதே அடி+சமாந்தரத்தில் இருக்கவேண்டும்.

✏️ பகுதி I — குறுவினாக்கள்

ஒரு கருத்தை மட்டும் சோதிக்கும் விரைவு வினாக்கள். நீங்களே செய்து முடித்தபின் தீர்வைத் திறந்து சுயமதிப்பீடு செய்யுங்கள்.

🖊 பகுதி II — கட்டமைப்பு வினாக்கள்

பல படிகள் கொண்ட பரீட்சை வடிவ வினாக்கள். முதலில் நீங்களே முழுமையாக எழுதுங்கள்; பின்னர் மாதிரித் தீர்வைத் திறந்து ஒவ்வொரு படியையும் சரிபாருங்கள்.

🔥 மீட்டல் மையம்

பரீட்சைக்கு முன் இறுதி ஒரு நிமிடம் — சூத்திரங்களும் மறக்கக்கூடாதவையும்.

முக்கோணி $= \dfrac{1}{2}bh$; இணைகரம் $= bh$; சரிவகம் $= \dfrac{1}{2}(a+b)h$.
தேற்றம் 1: ஒரே அடி+சமாந்தர இணைகரங்கள் சம பரப்பு.
தேற்றம் 2: ஒரே அடி+சமாந்தர முக்கோணி $= \dfrac{1}{2}$ இணைகரம்.
தேற்றம் 3: ஒரே அடி+சமாந்தர முக்கோணிகள் சம பரப்பு.
நிபந்தனை: ஒரே அடி மற்றும் ஒரே சமாந்தரங்கள்.

அலகின் முதுகெலும்பு — முறைகளும் வகை வினாக்களும்.

செவ்வகம் $10\times8=80$; அதே அடி+சமாந்தர இணைகரம் $= 80$ (சமம்).
இணைகரம் $80 \Rightarrow$ முக்கோணி $= 40$.
முக்கோணி $30 \Rightarrow$ இணைகரம் $= 60$.
மூலைவிட்டம் இணைகரத்தை சம பரப்பு $2$ முக்கோணிகளாக.
உயரம் = அடிக்குச் செங்குத்து (சாய்பக்கம் அல்ல).

பரீட்சைக்கு முந்தின இரவு முழு அலகையும் ஓட்டிப் பார்.

நிரூபணம் (தேற்றம் 1): $ABCD = $ செவ்வகம் $+ \triangle AFD$; $ABEF = $ செவ்வகம் $+ \triangle BEC$; $\triangle$கள் சமம்.
இணைகரம் சாய்பக்கம் $13$, செங்குத்து $12$, அடி $10$ → பரப்பு $= 10\times12 = 120$ ($13$ அல்ல).
எச்சரிக்கை: முக்கோணியில் $\tfrac12$; இரு நிபந்தனையும் தேவை.
சம பரப்பு = வடிவம் வேறுபட்டாலும் உயரம்/அடி ஒன்றே என்பதால்.

📝 மேலும் பயிற்சி