🔢
சதுரப்புக் கோவைகள்
Binomial (Square) Expressions · Grade 10, Unit 4
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 சதுரப்புக் கோவை என்றால் என்ன?
$(3x+2)$ போன்று இரண்டு உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கோவை சதுரப்புக் கோவை (binomial) எனப்படும். ஒரு செவ்வகத்தின் நீளம் $(3x+2)$, அகலம் $(2x+3)$ எனில், அதன் பரப்பளவு காண $(3x+2)(2x+3)$ ஐ விரிக்க வேண்டும் — இதுவே இந்த அலகின் முதல் திறன். இரண்டாவது திறன், ஒரு சதுரப்புக் கோவையைத் தானே வர்க்கித்தல் $(a\pm b)^2$. இவ்விரண்டும் அடுத்து வரும் காரணிப்படுத்தல், சமன்பாடு போன்ற பல அலகுகளுக்கு அடித்தளமாகின்றன.
2 இரு சதுரப்புக் கோவைகளைப் பெருக்குதல்
விதி எளிது: முதல் கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும், இரண்டாம் கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பெருக்க வேண்டும் — ஒன்றையும் விட்டுவிடக் கூடாது, நான்கு பெருக்கல்கள் வர வேண்டும். பின் ஒத்த உறுப்புகளை ஒன்றிணைக்க வேண்டும்.
படிப்படியாக$(3x+2)(2x+3)$ ஐ விரிக்க: முதலில் $3x(2x+3) + 2(2x+3)$ என்று பங்கீடு செய்யவும் — $3x$ உம் $2$ உம் தனித்தனியே $(2x+3)$ முழுவதையும் பெருக்க வேண்டும். இதை விரித்தால் $6x^2 + 9x + 4x + 6$ (நான்கு உறுப்புகள்: $3x\times2x=6x^2$, $3x\times3=9x$, $2\times2x=4x$, $2\times3=6$). நடு உறுப்புகள் $9x$ உம் $4x$ உம் ஒத்தவை — அவற்றை ஒன்றிணைத்தால் $$6x^2 + 13x + 6$$
இதை ஒரு பரப்பளவுப் படத்தாலும் சரிபார்க்கலாம்: செவ்வகத்தை நான்கு சிறு செவ்வகங்களாகப் பிரித்தால், அவற்றின் பரப்புகள் சேர்ந்தே மொத்தப் பரப்பாகும் — $6x^2+4x+9x+6 = 6x^2+13x+6$.
$(a+b)(a-b)$ வடிவமும் இதே முறையில் விரியும், ஆனால் நடு உறுப்புகள் ஒன்றை ஒன்று நீக்கிவிடும்: $(3x+2y)(3x-2y) = 9x^2 - 6xy + 6xy - 4y^2 = 9x^2 - 4y^2$. இதுவே $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ என்ற வித்தியாச வர்க்க வடிவம் — தேர்வில் அடிக்கடி வரும்; கவனிக்க வேண்டும்.
3 சதுரப்புக் கோவையை வர்க்கித்தல்
$(x+2)^2$ என்பது $(x+2)(x+2)$ தான் — மேலே கற்ற முறையாலேயே விரிக்கலாம். ஆனால் ஒரு சூத்திரத்தை மனப்பாடம் செய்தால் நேரம் மிச்சம். $(a+b)^2$ ஐ விரித்துப் பார்த்தால்: $$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $ab$ உம் $ba$ உம் ஒன்றே என்பதால் $2ab$ — இதுவே நடு உறுப்பு.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
சொற்களில் சொன்னால்: முதல் உறுப்பின் வர்க்கம் $+$ (முதல்$\times$இரண்டாம் உறுப்பின் இருமடங்கு) $+$ இரண்டாம் உறுப்பின் வர்க்கம். கழித்தல் வடிவில் நடு உறுப்பு மட்டும் எதிர்க்குறியாக மாறும்.
எடுத்துக்காட்டு 1$(3x+5y)^2$: இங்கு $a=3x$, $b=5y$. $$= (3x)^2 + 2(3x)(5y) + (5y)^2 = 9x^2 + 30xy + 25y^2$$ குணகத்தையும் மாறியையும் இரண்டையும் வர்க்கிக்க வேண்டும் என்பதை மறவாதீர் — $(3x)^2 = 9x^2$, $3x^2$ அல்ல.
எடுத்துக்காட்டு 2$(3a-2b)^2$: கழித்தல் வடிவம் என்பதால் நடு உறுப்பு எதிர்க்குறி. $$= (3a)^2 - 2(3a)(2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2$$
4 எண்களை வேகமாகக் கணித்தல்
இந்தச் சூத்திரம் பெரிய எண்களின் வர்க்கத்தை மனதிலேயே காண உதவும். எண்ணை அருகிலுள்ள ஒரு வட்ட எண் $\pm$ சிறிய எண்ணாக எழுதினால் போதும்.
எடுத்துக்காட்டு$105^2 = (100+5)^2 = 100^2 + 2(100)(5) + 5^2 = 10000 + 1000 + 25 = 11025$.
எடுத்துக்காட்டு$99^2 = (100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$. $99$ ஐ $(100-1)$ ஆக்கினால் கழித்தல் வடிவம் கிடைக்கிறது — மனக்கணக்கில் இது எளிது.
5 பயனுள்ள விளைவுகள் — பின்னோக்கு வினா
சூத்திரங்களிலிருந்து இரு கைக்குறிப்புகள் பிறக்கின்றன — இவை தேர்வில் அடிக்கடி வரும் "பின்னோக்கு" வகை வினாக்கள்:
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \qquad x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy$
எடுத்துக்காட்டு$x+y = 5$, $xy = 6$ எனில், $x, y$ ஐத் தனித்தனியே காணாமலேயே $x^2+y^2$ காணலாம்: $$x^2+y^2 = 5^2 - 2(6) = 25-12 = 13$$
⚠ பொதுவான தவறு$(a+b)^2$ ஆனது $a^2+b^2$ அல்ல! நடு உறுப்பு $2ab$ ஐ மறவாதீர். சோதனை: $(3+4)^2 = 49$, ஆனால் $3^2+4^2 = 25$ — வித்தியாசம் $2\times3\times4 = 24$, அதுவே விட்டுப்போன $2ab$.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Binomial = சதுரப்புக் கோவை (இரு உறுப்புக் கோவை)
Expand = விரித்தல்
(a+b)² = a²+2ab+b² = கூட்டல் வர்க்க அடையாளம்
(a−b)² = a²−2ab+b² = கழித்தல் வர்க்க அடையாளம்
Difference of squares = வர்க்க வித்தியாசம் — $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Middle term = நடு உறுப்பு ($2ab$)