🔢
வர்க்கமூலம்
Square Roots · Grade 10, Unit 2
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 வர்க்கமூலம் என்றால் என்ன?
ஒரு சதுர அறையின் பரப்பளவு $441\ \text{cm}^2$ என்று மட்டும் தெரிந்தால், அதன் ஒரு பக்கம் எவ்வளவு நீளம்? பரப்பளவு $=$ பக்கம் $\times$ பக்கம் என்பதால், "எந்த எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்கினால் $441$ வரும்?" எனக் கேட்கிறோம். அந்த எண்ணே $441$ இன் வர்க்கமூலம் ($\sqrt{441}$). வர்க்கம் காண்பதன் நேர்மாறு செயலே வர்க்கமூலம்: $3 \times 3 = 9$ ஐ $3^2 = 9$ என எழுதுகிறோம்; திருப்பிக் கேட்டால் "$9$ எந்த எண்ணின் வர்க்கம்?" — பதில் $3$. எனவே $\sqrt{9} = 3$; அதேபோல் $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{25} = 5$.
$1, 4, 9, 16, 25, \dots$ போன்ற, ஒரு முழுஎண்ணின் வர்க்கமாக வரும் எண்கள் நிறைவாக்கங்கள் (perfect squares) எனப்படும்.
| வர்க்கம் | மதிப்பு | வர்க்கம் | மதிப்பு |
|---|
| $11^2$ | $121$ | $17^2$ | $289$ |
| $12^2$ | $144$ | $18^2$ | $324$ |
| $13^2$ | $169$ | $19^2$ | $361$ |
| $14^2$ | $196$ | $20^2$ | $400$ |
| $15^2$ | $225$ | $21^2$ | $441$ |
| $16^2$ | $256$ | $25^2$ | $625$ |
இவற்றை மனப்பாடம் செய்தால் பல வினாக்கள் ஒரே வரியில் தீர்ந்துவிடும் — குறிப்பாக அண்ணளவாக்கத்திலும் வகுத்தல் முறையிலும்.
2 அண்ணளவாக்க முறை — இரு நிறைவாக்கங்களுக்கு இடையே சிக்கவைத்தல்
ஒவ்வொரு எண்ணும் நிறைவாக்கம் அல்ல. $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$; ஆனால் $4$ க்கும் $9$ க்கும் இடைப்பட்ட $5, 6, 7, 8$ இன் வர்க்கமூலம் முழுஎண் அல்ல — அது ஒரு தசம எண். அதன் கிட்டிய மதிப்பைக் காண்பதே அண்ணளவாக்கம். உத்தி எளிது: எண்ணை அதற்கு அருகிலுள்ள இரு நிறைவாக்கங்களுக்கு இடையே சிக்கவைத்து, எந்தப் பக்கம் கிட்டியதோ அதை நோக்கி நகர வேண்டும்.
செய்துகாட்டல் — $\sqrt{17}$$17$ க்கு அருகிலுள்ள இரு நிறைவாக்கங்கள்: கீழே $16$, மேலே $25$. $$16 < 17 < 25 \;\Rightarrow\; 4 < \sqrt{17} < 5$$ $17$ எந்தப் பக்கம் கிட்டியது? $17-16 = 1$ (சிறிது), $25-17 = 8$ (பெரிது) — எனவே $17$ ஆனது $16$ க்கு, அதாவது $4$ க்குக் கிட்டியது. இப்போது வர்க்கம் செய்து சோதிக்கிறோம்: $4.1^2 = 16.81$, $4.2^2 = 17.64$. $17$ ஆனது $16.81$ க்கும் $17.64$ க்கும் இடையே, கிட்டியது $16.81$. $$\therefore \sqrt{17} \approx 4.1$$
வர்க்கமூலம் வரிசையைக் காப்பாற்றுகிறது — பெரிய எண்ணுக்குப் பெரிய மூலம். "$\approx$" என்பது "கிட்டத்தட்ட சமம்" — $4.3, 4.4$ ஐச் சோதிக்கத் தேவையில்லை, $17$ ஏற்கனவே $4.1$ க்கும் $4.2$ க்கும் இடையே அகப்பட்டுவிட்டது.
3 வகுத்தல் முறை — சரியான, நேரடியான வழி
அண்ணளவாக்கம் கிட்டிய மதிப்பைத் தரும்; பெரிய எண்களுக்கு அது மெதுவானது. வகுத்தல் முறை (long division) எந்த நேர் எண்ணுக்கும் வர்க்கமூலத்தை நேரடியாகத் தரும். இலக்கங்களை இரண்டிரண்டாக பிரித்து வேலை செய்கிறோம். $\sqrt{1764}$ ஐக் காண்போம்.
படி 1ஒன்றாம் இடத்திலிருந்து இடப்பக்கம் இரண்டிரண்டு இலக்கங்களாக கோடிட்டுப் பிரிக்க வேண்டும்: $\overline{17}\ \overline{64}$. ஒவ்வொரு இரட்டை இலக்கமும் விடையில் ஒரு இலக்கத்தைத் தரும் — எனவே இரண்டு ஜோடி $\to$ விடையில் இரண்டு இலக்கங்கள்.
படி 2முதல் ஜோடி $17$. $17$ ஐ விட சிறிய, கிட்டிய நிறைவாக்கம் $16 = 4^2$. எனவே விடையின் முதல் இலக்கம் $4$; $4\times4=16$ ஐக் கழித்தால் மீதி $17-16 = 1$.
படி 3அடுத்த ஜோடி $64$ ஐ இறக்கி மீதி $1$ உடன் சேர்த்தால் $164$. இடப்பக்க எண்ணை $2\times4 = 8$ ஆக இரட்டிப்பாக்கி ஓர் இடம் விடுகிறோம்: $8\square$. $8\square \times \square = 164$ க்குச் சமமாகும்படி $\square$ ஐத் தேர்ந்தால் — $82 \times 2 = 164$, சரியாகப் பொருந்துகிறது. எனவே இரண்டாம் இலக்கம் $2$; மீதி $0$.
$\sqrt{1764} = 42$
மீதி $0$ வந்தால் எண் ஒரு நிறைவாக்கம் — மேலே சேர்ந்த இலக்கங்களே ($4$ பின் $2$) வர்க்கமூலம்.
தசம எண்களுக்கு: தசமப் புள்ளியிலிருந்து இரு பக்கமும் இரண்டிரண்டாகப் பிரிக்க வேண்டும்; தேவைப்பட்டால் வலப்பக்கம் $00$ சேர்த்துத் தொடரலாம்.
$\sqrt{3.61}$$3.\,61$ எனப் பிரிக்க. முதல் பகுதி $3 \to$ கிட்டிய வர்க்கம் $1=1^2$, மேலே $1$, மீதி $3-1=2$. $61$ ஐ இறக்கி $261$; இடப்பக்கம் $2\times1=2$, பின் $29\times9=261$ — சரியாகப் பொருந்துகிறது, அந்த இலக்கம் $9$, மீதி $0$. விடையில் தசமப் புள்ளி முதல் ஜோடிக்குப் பின் வருகிறது: $$\sqrt{3.61} = 1.9 \quad (\text{சோதனை: } 1.9^2 = 3.61 ✓)$$
4 வர்க்கமூலத்தைப் பயன்படுத்தல்
சதுரத்தின் பரப்பளவு தெரிந்தால், பக்கம் $= \sqrt{\text{பரப்பளவு}}$ — இதுவே வர்க்கமூலத்தின் மிகப் பொதுவான பயன்பாடு.
எடுத்துக்காட்டுஅறையின் பரப்பளவு $441\ \text{cm}^2$ எனில், பக்கம் $= \sqrt{441} = 21\ \text{cm}$.
பின்னர் பைதகரஸ் தேற்றத்திலும் ($c = \sqrt{a^2+b^2}$, கர்ணம் காண) வர்க்கமூலம் வரும்.
5 தேர்வுக் குறிப்புகள் — பொதுவான தவறுகள்
⚠ தவறு$\sqrt{a+b}$ ஆனது $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ அல்ல. எடுத்துக்காட்டு: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, ஆனால் $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7$ — வேறுபட்ட விடைகள். எப்போதும் முதலில் கூட்டிப் பின்னரே மூலம் காண வேண்டும். விடையை எப்போதும் வர்க்கம் செய்து சோதிக்கவும்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Square root = வர்க்கமூலம் ($\sqrt{\ }$)
Perfect square = நிறைவாக்கம்
Estimation = அண்ணளவாக்கம்
Long division method = வகுத்தல் முறை
Approximately equal (≈) = கிட்டத்தட்ட சமம்
Side of a square = சதுரப் பக்கம் $=\sqrt{\text{பரப்பு}}$