ஒரு வில் $AB$ ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அந்த வில் மையம் $O$ இல் ஏற்படுத்தும் கோணமும் ($A\hat{O}B$), அதே வில் வட்டத்தின் மற்ற பகுதியில் உள்ள எந்தப் புள்ளி $C$ இல் ஏற்படுத்தும் கோணமும் ($A\hat{C}B$) ஒரு நிலையான தொடர்பில் இருக்கின்றன — மையக் கோணம் எப்போதும் பரிதிக் கோணத்தின் இரு மடங்கு: $A\hat{O}B = 2\,A\hat{C}B$.
இதன் காரணம் எளிது: $OA$, $OB$, $OC$ எல்லாம் ஆரைகள் (radii) என்பதால் சமம். எனவே $\triangle OAC$ மற்றும் $\triangle OBC$ ஆகிய இரண்டும் இருசமபக்க முக்கோணிகள் — ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு புற கோணத்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மையக் கோணத்தைப் பரிதிக் கோணத்தின் இரு மடங்காக நிரூபிக்க முடியும். இந்தத் தேற்றமே இந்த அலகின் மற்ற மூன்று விதிகளுக்கும் அடிப்படை.
ஒரு நாண் $AB$ ஆனது வட்டத்தை இரு துண்டுகளாகப் (segments) பிரிக்கிறது. அந்த நாணின் ஒரே பக்கத்தில் இருக்கும் எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் (எ.கா. $P$, $Q$) அந்த நாணைப் பார்க்கும் கோணம் ஒரே மதிப்பாக இருக்கும்: $A\hat{P}B = A\hat{Q}B$.
ஏன்? இரண்டு கோணங்களும் ஒரே வில்லின் (சிறுவில் அல்லது பேர்வில்) மையக் கோணத்தில் பாதி என்பதால், அவை ஒன்றுக்கொன்று சமமாகவே இருக்க வேண்டும் — இது படி 1 இன் நேரடி விளைவு. இதைப் பயன்படுத்தும்போது கவனிக்க வேண்டியது: இரு கோணங்களும் நாணின் ஒரே பக்கத்தில் இருக்க வேண்டும்.
$AB$ ஆனது வட்டத்தின் விட்டமாக (diameter) இருந்தால், விட்டத்தினால் பரிதியில் எந்தப் புள்ளியிலும் ஏற்படும் கோணம் எப்போதும் $90°$ ஆக இருக்கும். இது படி 1 இன் ஒரு சிறப்புச் சந்தர்ப்பம்தான் — விட்டத்தின் மையக் கோணம் $180°$ (நேர்கோடு) என்பதால், பரிதிக் கோணம் அதன் பாதியாகிய $90°$ ஆக வர வேண்டும்.
வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட நாற்பக்கம் $PQRS$ ஐ சுழற்சி நாற்பக்கம் (cyclic quadrilateral) என்கிறோம். இதில் எதிரெதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் $180°$: $P\hat{Q}R + P\hat{S}R = 180°$. இதுவும் ஒரே நாணுக்கு (இங்கு $PR$) இரு பக்கங்களிலும் இருக்கும் இரு பரிதிக் கோணங்கள் — ஒன்று சிறுவில் மீது, மற்றொன்று பேர்வில் மீது — என்பதிலிருந்து வருகிறது; இவை இரண்டும் சேர்ந்து மொத்த மையக் கோணமாகிய $360°$ இன் பாதியைத் தருகின்றன.
ஒரு வட்டத்தில் $O$ மையம், $A$, $B$, $C$ பரிதியில். $O\hat{A}B = 20°$ எனத் தரப்பட்டால் $A\hat{C}B$ ஐக் காண வேண்டும். $OA$ மற்றும் $OB$ இரண்டும் ஆரைகள் என்பதால் $\triangle OAB$ இருசமபக்கம் — எனவே $O\hat{B}A = O\hat{A}B = 20°$. முக்கோணத்தின் கோணக் கூட்டுத்தொகை $180°$ என்பதால், $A\hat{O}B = 180° - 20° - 20° = 140°$. இப்போது படி 1 ஐப் பயன்படுத்தி, மையக் கோணம் பரிதிக் கோணத்தின் இரு மடங்கு என்பதால் $A\hat{C}B = \dfrac{140°}{2} = 70°$.
அதே வட்டத்தில் $AB$ விட்டமாக இருந்து, $\hat{ABC} = 3\hat{BAC}$ எனத் தரப்பட்டால்: விட்டத்தின் பரிதிக் கோணம் $90°$ என்பதால் $\hat{ACB} = 90°$. முக்கோணி $ABC$ இல் மீதமுள்ள இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $90°$ ஆக இருக்க வேண்டும் — அதாவது $\hat{BAC} + \hat{ABC} = 90°$. $\hat{ABC} = 3\hat{BAC}$ எனப் பிரதியிட்டால் $\hat{BAC} + 3\hat{BAC} = 90°$, அதாவது $4\hat{BAC} = 90°$, எனவே $\hat{BAC} = 22.5°$ மற்றும் $\hat{ABC} = 67.5°$.
(1) மையக் கோணம் $= 2 \times$ பரிதிக் கோணம் — இதைத் தலைகீழாகக் குழப்பாதீர்கள்.
(2) "ஒரே துண்டம்" சமம் என்பதற்கு இரு கோணங்களும் நாணின் ஒரே பக்கத்தில் இருக்க வேண்டும் — வேறு பக்கமாக இருந்தால் அது வேறு (துணைக்) கோணமாகிவிடும்.
(3) விட்டத்தைக் கண்ட உடனேயே $90°$ எனக் குறிக்கலாம் — இது மிக அடிக்கடி பயன்படும் குறுக்குவழி.
(4) ஒரே நாணுக்கு இரு பக்கங்களிலும் பரிதிக் கோணம் கேட்கப்பட்டால், சிறுவில் மற்றும் பேர்வில் என இரு சாத்திய மதிப்புகள் இருக்கும் என்பதை மறவாதீர்கள்.
learn.gtdigital.tech/ol/maths · Goperamanan Thirusenthivel, MSc