ஒரு வட்டத்தில் $O$ மையமாகவும், $AB$ ஒரு நாணாகவும் இருக்கட்டும். மையம் $O$ இலிருந்து இந்த நாணுக்கு ஒரு செங்குத்துக் கோடு $OC$ இறக்கினால், அது இரண்டு முக்கியமான உண்மைகளை ஏற்படுத்துகிறது. தேற்றம் 1: மையத்திலிருந்து ஒரு நாணின் நடுப்புள்ளிக்கு வரும் கோடு அந்த நாணுக்குச் செங்குத்தாக இருக்கும். தேற்றம் 2 (இதன் மறுதலை): மையத்திலிருந்து ஒரு நாணுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு அந்த நாணை சரியாக இரு சமன்களாகப் பிரிக்கும் — அதாவது $AC = CB$.
இவை ஒன்றுக்கொன்று மறுதலை (converse) என்பதால், எந்தத் தகவல் தரப்பட்டாலும் (நடுப்புள்ளி அல்லது செங்குத்து) மற்றதை நிரூபிக்க முடியும். இதன் நிரூபணம் $\triangle OCA$ மற்றும் $\triangle OCB$ ஆகிய இரு முக்கோணிகளின் ப.ப.ப. ஒருங்கிசைவை (SSS congruence) அடிப்படையாகக் கொண்டது — $OA = OB$ (ஆரைகள்), $OC$ பொதுப் பக்கம், $AC = CB$ (நடுப்புள்ளி).
மையம் $O$, நடுப்புள்ளி $C$, நாணின் ஒரு முனை $A$ (அல்லது $B$) — இந்த மூன்று புள்ளிகளும் ஒரு செங்கோண முக்கோணியை உருவாக்குகின்றன, ஏனெனில் $\hat{OCA} = 90°$ (தேற்றம் 1). இதில் $OA$ கர்ணம் (ஆரை $r$), $OC$ ஒரு பக்கம் (மையத்திலிருந்து நாணுக்கான தூரம் $d$), மற்றும் $CA$ மற்றொரு பக்கம் (அரைநாண், அதாவது நாண் நீளத்தில் பாதி). எனவே பைதகரஸ் தேற்றத்தால்:
$r^2 = d^2 + \left(\dfrac{\text{நாண்}}{2}\right)^2$
இந்தச் சூத்திரத்தில் $r$, $d$, நாண் ஆகிய மூன்றில் ஏதேனும் இரண்டு தெரிந்தால் மூன்றாவதைக் கணக்கிடலாம் — இதுவே இந்த அலகின் பெரும்பாலான கணக்குகளின் அடிப்படை.
ஒரு நாணின் இரு முனைகளையும் மையத்துடன் இணைத்தால் ($OP$, $OQ$) கிடைக்கும் முக்கோணி $OPQ$ எப்போதும் இருசமபக்கம் ஆகும், ஏனெனில் $OP$, $OQ$ இரண்டும் ஆரைகள் — அவை சமம். இதனால் $OPQ$ இன் அடிக் கோணங்கள் ($\hat{OPQ}$ மற்றும் $\hat{OQP}$) எப்போதும் சமமாக இருக்கும். மையத்திலிருந்து செங்குத்து இறக்கினால் ($OR$, $R$ நடுப்புள்ளி), அந்தக் கோடு முக்கோணியை இரு சமமான செங்கோண முக்கோணிகளாகப் பிரிக்கும்.
தூரம் காணல்: ஆரை $r = 5$ செ.மீ., நாண் $AB = 8$ செ.மீ். $C$ நடுப்புள்ளி என்பதால் $BC = \dfrac{8}{2} = 4$ செ.மீ். $\hat{OCB} = 90°$ (தேற்றம் 1) என்பதால் $\triangle OCB$ ஒரு செங்கோண முக்கோணி. பைதகரஸ்: $OB^2 = OC^2 + CB^2 \Rightarrow 25 = OC^2 + 16 \Rightarrow OC^2 = 9 \Rightarrow OC = 3$ செ.மீ்.
ஆரை காணல்: நாண் $PQ = 12$, மையத்திலிருந்து செங்குத்துத் தூரம் $OR = 8$. தேற்றம் 2 படி செங்குத்து $OR$ ஆனது $PQ$ ஐ இருசமக்கூறிடுவதால் $PR = \dfrac{12}{2} = 6$. பைதகரஸ்: $r^2 = OR^2 + PR^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \Rightarrow r = 10$ செ.மீ்.
கோணம் காணல்: நாண் $PQ$, நடுப்புள்ளி $R$, $\hat{QOR} = 40°$ எனத் தரப்பட்டால். $\hat{ORQ} = 90°$ (தேற்றம் 1). முக்கோணி $OQR$ இல் கோணக் கூட்டுத்தொகை $180°$: $\hat{OQR} = 180° - 90° - 40° = 50°$. $OPQ$ இருசமபக்கம் என்பதால் $\hat{OPR} = \hat{OQR} = 50°$.
தரவு: $AB$ நாண், அதன் நடுப்புள்ளி $X$. நிரூபிக்க வேண்டியது: $OX \perp AB$. அமைப்பு: $OA$, $OB$ ஐ இணைக்கவும். $\triangle OXA$ மற்றும் $\triangle OXB$ ஐ ஒப்பிட்டால்: $OA = OB$ (ஆரைகள்); $AX = XB$ (தரப்பட்ட நடுப்புள்ளி); $OX$ இரண்டு முக்கோணிகளுக்கும் பொதுவானது. எனவே $\triangle OXA \equiv \triangle OXB$ (ப.ப.ப். ஒருங்கிசைவு). இதிலிருந்து $\hat{OXA} = \hat{OXB}$. இவை இரண்டும் ஒரு நேர்கோட்டின் மீது அடுத்தடுத்த கோணங்கள் என்பதால் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை $180°$ — எனவே ஒவ்வொன்றும் $90°$. இதனால் $OX \perp AB$ என நிரூபிக்கப்படுகிறது.
இந்த அதே நிரூபண முறையை, சம நீளமுள்ள இரு நாண்கள் மையத்திலிருந்து சம தூரத்தில் இருக்கும் என்பதை நிரூபிக்கவும் பயன்படுத்தலாம் — அங்கு ச.ப.ப். (RHS) ஒருங்கிசைவு பயன்படுகிறது.
(1) பைதகரஸ் சூத்திரத்தில் அரைநாணை ($\frac{AB}{2}$) பயன்படுத்த வேண்டும், முழு நாணை அல்ல.
(2) ஆரை எப்போதும் கர்ணம் (மிகப் பெரிய பக்கம்) — செங்கோண முக்கோணியில் எந்தப் பக்கம் கர்ணம் என்பதைச் சரியாக அடையாளம் காணுங்கள்.
(3) $OP = OQ$ ஆரைகள் என்பதால் $OPQ$ எப்போதும் இருசமபக்கம் — இதை மறவாதீர்கள்.
(4) ஒருங்கிசைவு நிரூபணத்தில் சரியான நிபந்தனையை (ப.ப.ப். அல்லது ச.ப.ப்.) குறிப்பிடுங்கள்.
learn.gtdigital.tech/ol/maths · Goperamanan Thirusenthivel, MSc