$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}$ என்பதை நீங்கள் எளிதாகச் செய்வீர்கள். இப்போது $\dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{x+3}$ எனக் கேட்டால் பயப்படத் தேவையில்லை — அதே விதிகள்தான் பொருந்தும்: பொது வகுத்தி $(x+2)(x+3)$ ஐக் கண்டு, தொகுதிகளை அதற்கேற்ப மாற்றி எழுதி, கூட்டவேண்டும். எண் பின்னமும் அட்சரகணிதப் பின்னமும் ஒரே விதிகளின்படியே செயல்படுகின்றன.
ஒரே ஒரு முக்கியமான வித்தியாசம் மட்டும் புதிதாக வருகிறது: பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தலில் காரணியாக்கம் முதலில் செய்ய வேண்டும் — பொது காரணிகள் தெரிந்தவுடன் அவற்றை நீக்கிவிடலாம்.
சாதாரண பின்னங்களைப் போலவே: தொகுதியைத் தொகுதியாலும், பகுதியைப் பகுதியாலும் பெருக்குகிறோம் — $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$. ஆனால் பெருக்குவதற்கு முன்பே, ஒவ்வொரு தொகுதியையும் பகுதியையும் காரணியாக்கி, பொது காரணிகளை நீக்கிவிட வேண்டும் — இது ஒரு பெரிய எண்ணைச் சுருக்குவது போலவே.
"ஒரு பின்னத்தை மற்றொரு பின்னத்தால் வகுத்தல்" என்பது எண் பின்னங்களில் செய்வது போலவே "வகுப்பானைத் தலைகீழாக்கிப் பெருக்கு" என்பதாகும்: $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$.
பொது வகுத்தி (LCM) கண்டுபிடித்து, ஒவ்வொரு தொகுதியையும் அதற்கேற்ப மாற்றி எழுதிக் கூட்டுவது அல்லது கழிப்பதே முறை — எண் பின்னங்களில் செய்வது போலவே. பகுதியில் இருபடிக் கோவை இருந்தால் முதலில் அதைக் காரணியாக்குங்கள்; அப்போதுதான் பொது வகுத்தி தெளிவாகத் தெரியும். கழித்தலில் ஒரு முக்கியமான எச்சரிக்கை: இரண்டாம் தொகுதி முழுவதையும் கழிக்க வேண்டும் — அதன் ஒரு பகுதியை மட்டுமல்ல.
பெருக்கல் (காரணியாக்கம் தேவை): $\dfrac{x^2-4}{x+3} \times \dfrac{x+3}{x-2}$ ஐக் காணுங்கள். முதலில் காரணியாக்கு: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. இப்போது $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+3} \times \dfrac{x+3}{x-2}$ — $(x+3)$ மேலும் கீழும் நீங்குகிறது, $(x-2)$ மேலும் கீழும் நீங்குகிறது; மிச்சம் $(x+2)$ மட்டுமே.
வகுத்தல்: $\dfrac{x^2-4}{x} \div \dfrac{x+2}{x^2}$. தலைகீழாக்கிப் பெருக்கினால்: $= \dfrac{x^2-4}{x} \times \dfrac{x^2}{x+2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x} \times \dfrac{x^2}{x+2}$. $(x+2)$ நீங்கும், $x^2$ இலிருந்து ஒரு $x$ கீழுள்ள $x$ உடன் நீங்கும்; மிச்சம் $(x-2) \cdot x = x^2-2x$.
கழித்தல்: $\dfrac{1}{m+2} - \dfrac{2}{m+3}$ ஐக் காணுங்கள். பொது வகுத்தி $(m+2)(m+3)$. தொகுதிகளை மாற்றி எழுதினால்: $\dfrac{(m+3) - 2(m+2)}{(m+2)(m+3)}$. அடைப்புக் குறியைத் திறந்தால் $2(m+2) = 2m+4$ என்பதால், $\dfrac{m+3-2m-4}{(m+2)(m+3)} = \dfrac{-m-1}{(m+2)(m+3)}$.
கூட்டல் (இருபடிக் காரணியாக்கம் தேவை): $\dfrac{a+3}{a^2-4} + \dfrac{1}{a+2}$. $a^2-4=(a-2)(a+2)$ என்பதால், இரு பின்னங்களுக்கும் பொது வகுத்தி $(a-2)(a+2)$; இரண்டாம் பின்னத்தின் தொகுதியையும் பகுதியையும் $(a-2)$ ஆல் பெருக்கினால்: $\dfrac{a+3}{(a-2)(a+2)} + \dfrac{a-2}{(a-2)(a+2)} = \dfrac{(a+3)+(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \dfrac{2a+1}{(a-2)(a+2)}$.
இருபடிப் பகுதிகளை எப்போதும் முதலில் காரணியாக்குங்கள். தேர்வில் அடிக்கடி வரும் வகைகள்: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, $x^2-1=(x-1)(x+1)$. காரணியாக்கியவுடன் எது நீக்க முடியும் எது வேண்டும் என்பதும், பொது வகுத்தி எது என்பதும் தானாகவே தெளிவாகிவிடும்.
(1) $\dfrac{x+2}{x} \neq \dfrac{2}{1}$ — கூட்டலில் இருக்கும் $x$ ஐ நீக்க முடியாது; நீக்கம் பெருக்கலில் மட்டுமே.
(2) வகுத்தலில் வகுப்பானை (denominator) மட்டும் தலைகீழாக்குங்கள் — மீண்டும் வகுக்காதீர்கள்.
(3) கழித்தலில் இரண்டாம் தொகுதி முழுவதையும் கழிக்க வேண்டும்: $-(2m+4) = -2m-4$ என எழுதுங்கள், $m$ மட்டுமல்ல.
(4) நீக்கக்கூடிய காரணிகள் பெருக்கப்பட்ட பகுதிகளாக இருக்க வேண்டும் — கூட்டப்பட்ட காரணிகளை நீக்க முடியாது.
learn.gtdigital.tech/ol/maths · Goperamanan Thirusenthivel, MSc