அமைப்புகளில் பயன்படுத்தக்கூடிய கருவிகள் அளவுகோலும் கவராயமும் மட்டுமே — கோணமானி பயன்படுத்தக் கூடாது. கவராயம் ஒரு சிறப்பான கருவி: அதை ஒரே ஆரத்தில் திறந்து இரு புள்ளிகளிலிருந்து வளைவுகள் வரைந்தால், அந்த வளைவுகள் வெட்டும் இடம் அந்த இரு புள்ளிகளிலிருந்தும் சம தூரத்தில் இருக்கும் — இதுவே எல்லா அமைப்புகளுக்கும் அடிப்படை. அமைக்கும்போது வரையப்படும் வளைவுகளை (construction arcs) ஒருபோதும் அழிக்கக்கூடாது — அவையே அமைப்பு சரியாகச் செய்யப்பட்டதற்கான ஆதாரம்.
ஏன் இது வேலை செய்கிறது என்று பார்ப்போம். செங்குத்து இருசமக் கோட்டின் மீதுள்ள எல்லாப் புள்ளியும் $A$ மற்றும் $B$ இலிருந்து சம தூரத்தில் இருக்கும். கவராயத்தை $AB$ இன் பாதிக்கு மேற்பட்ட ஆரத்தில் திறந்து, $A$ மையமாகவும் $B$ மையமாகவும் வளைவுகள் வரைந்தால், அவை இரு புள்ளிகளில் வெட்டும் — அந்த இரு புள்ளிகளும் $A$, $B$ இரண்டிற்கும் சம தூரத்தில் உள்ளன. அவற்றை இணைக்கும் கோடு துல்லியமான செங்குத்து இருசமக் கோடு.
$\angle AOB$ இன் உச்சி $O$ இலிருந்து ஒரு வளைவு வரைந்தால், அது இரு புயங்களையும் $P$, $Q$ எனும் இரு புள்ளிகளில் வெட்டும். இப்போது $P$, $Q$ ஆகிய இரு புள்ளிகளிலிருந்தும் சம ஆரத்தில் வளைவுகள் வரைந்தால், அவை வெட்டும் புள்ளியை $O$ உடன் இணைத்தால் கிடைக்கும் கோடு $\angle AOB$ ஐ சரியாக இரு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கும்.
கவராயத்தால் நேரடியாக $60°$ அமைக்கலாம்: ஒரு கோட்டுத் துண்டு $AB$ வரைந்து, $A$ மையமாக $AB$ ஐ ஆரமாகக் கொண்டு ஒரு வளைவும், $B$ மையமாக அதே ஆரத்தில் மற்றொரு வளைவும் வரைந்தால், அவை வெட்டும் புள்ளி $C$ உடன் $\triangle ABC$ ஒரு சமபக்க முக்கோணி ஆகிவிடும் (மூன்று பக்கமும் ஒரே ஆரம்) — எனவே $\angle A = 60°$. இதிலிருந்து மற்ற பல கோணங்களைப் பெறலாம்: $60°$ ஐ இருசமக்கூறிட்டால் $30°$; செங்குத்து இருசமக் கோட்டால் $90°$; $90°$ ஐ இருசமக்கூறிட்டால் $45°$; இரண்டு $60°$ ஐ அடுத்தடுத்து அமைத்தால் $120°$.
| கோணம் | எப்படி அமைப்பது |
|---|---|
| $60°$ | சம ஆர வளைவு (சமபக்க முக்கோணி) |
| $30°$ | $60°$ ஐ இருசமக் கூறிடல் |
| $90°$ | செங்குத்து இருசமக் கோடு |
| $45°$ | $90°$ ஐ இருசமக் கூறிடல் |
| $120°$ | $60°+60°$ அடுத்தடுத்து |
ஒரு முக்கோணிக்கு இரு முக்கியமான வட்டங்களை அமைக்க முடியும், ஒவ்வொன்றும் வேறு வேறு அமைப்பு முறையால். சுற்றுவட்டம் (circumcircle): மூன்று பக்கங்களுக்கும் செங்குத்து இருசமக் கோடுகள் வரைந்தால், அவை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் — அதுவே சுற்றுமையம்; அந்தப் புள்ளியிலிருந்து மூன்று உச்சிகளுக்கும் தூரம் சமமாக இருப்பதால், அந்தப் புள்ளி மையமாகக் கொண்டு வரையும் வட்டம் மூன்று உச்சிகள் வழியேயும் செல்லும். உள்வட்டம் (incircle): மூன்று கோணங்களுக்கும் கோண இருசமக் கோடுகள் வரைந்தால், அவை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் — அதுவே உள்மையம்; அந்தப் புள்ளியிலிருந்து மூன்று பக்கங்களுக்கும் செங்குத்துத் தூரம் சமமாக இருப்பதால், அந்தப் புள்ளி மையமாகக் கொண்டு வரையும் வட்டம் மூன்று பக்கங்களையும் தொடும்.
ஒரு முக்கோணியின் சுற்றுவட்டத்தை அமைக்க: முதலில் முக்கோணி $ABC$ ஐ வரையவும். $AB$ பக்கத்தின் செங்குத்து இருசமக் கோட்டை (படி 2 இன் முறையால்) அமைக்கவும். $BC$ பக்கத்தின் செங்குத்து இருசமக் கோட்டையும் அமைக்கவும். இந்த இரு கோடுகளும் சந்திக்கும் புள்ளியே சுற்றுமையம் $O$. கவராயத்தை $O$ இலிருந்து $A$ (அல்லது $B$, அல்லது $C$) வரையிலான தூரத்தில் திறந்து, $O$ மையமாக ஒரு வட்டம் வரைந்தால் அது மூன்று உச்சிகள் வழியேயும் செல்லும். (மூன்றாம் பக்கத்தின் செங்குத்து இருசமக் கோடும் அதே புள்ளியில் சந்திக்கும் என்பதைச் சரிபார்க்கலாம்.)
(1) அமைப்பு வளைவுகளை அழிக்காதீர்கள் — அவை மதிப்பெண் தரும் ஆதாரங்கள்.
(2) கோணமானியால் அளக்காதீர்கள் — கவராயத்தால் மட்டுமே அமைக்க வேண்டும்.
(3) சுற்றுவட்டம் → செங்குத்து இருசமக் கோடுகள்; உள்வட்டம் → கோண இருசமக் கோடுகள் — இவற்றைக் குழப்பாதீர்கள்.
(4) செங்குத்து இருசமக் கோட்டை அமைக்கும்போது கவராய ஆரம் $AB$ இன் பாதிக்கு மேல் இருக்க வேண்டும் — இல்லாவிட்டால் வளைவுகள் ஒருபோதும் வெட்டாது.
learn.gtdigital.tech/ol/maths · Goperamanan Thirusenthivel, MSc