ஈறுறுப்புக் கோவைகள் Tamil revision study sheet in plain-language paragraphs for O/L Mathematics Grade 11: recapping the Grade 10 square identities, deriving the cube expansion (a+b)³ by multiplying (a+b) by (a+b)², why the binomial coefficients 1, 3, 3, 1 come from Pascal's triangle, the alternating plus-minus sign pattern in (a-b)³, applying these identities as fast mental-math shortcuts for numbers like 32² and 101³, and common mistakes such as forgetting the middle terms or the sign pattern — grounded in the Grade 11 Unit 6 O/L Mathematics lesson.

🏠 O/L கணிதம் › அனைத்து மனப்படங்களும்

தரம் 11 · அலகு 6 · குறு குறிப்பு

📖 பாடம் 🧠 மனப்படம்
➿
ஈறுறுப்புக் கோவைகள்
Binomial Expressions · Grade 11, Unit 6
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.

1 வர்க்க அடையாளங்கள் — ஒரு மீட்டல்

$99^2$ ஐ கணிப்பான் இல்லாமல் $5$ வினாடியில் கணக்கிட முடியுமா? $(100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$ — அவ்வளவே. இதுதான் ஈறுறுப்பு விரிவின் அழகு. தரம் 10 இல் $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$ ஆகியவற்றைக் கற்றீர்கள். இப்போது அடுத்த படி: $(a+b)^3$ இன் விரிவும், $101^3$ போன்ற கன கணக்குகளும். குணகங்கள் $1, 3, 3, 1$ ஆக வருவது தற்செயலானதல்ல — ஒரு அழகான முக்கோண வடிவத்தின் விளைவு, அதை இப்பக்கத்தில் காண்போம்.

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$  •  $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$  •  $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
உதாரணம் 1$103^2 = (100+3)^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$.
$100$ என்பது "அடிப்படை" — அதன் அருகில் உள்ள எண்ணை $a+b$ அல்லது $a-b$ ஆக எழுதுங்கள்.
உதாரணம் 2$99^2 = (100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.

2 $(a+b)^3$ ஐ எவ்வாறு வருவிப்பது?

இதை மனப்பாடம் செய்யாமலேயே வருவிக்கலாம். $(a+b)^3 = (a+b) \times (a+b)^2$ என்று எழுதலாம் — $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ என்பது ஏற்கெனவே தெரியும். இப்போது இதை $(a+b)$ ஆல் பெருக்கினால் போதும்:

படிமுறை வருவிப்பு $(a+b)(a^2+2ab+b^2)$
$= a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2)$
$= a^3+2a^2b+ab^2 + a^2b+2ab^2+b^3$
$= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஏன் இப்படி: $a^2b$ இரண்டு இடங்களிலிருந்து கிடைக்கிறது ($2a^2b + a^2b$); $ab^2$ ம் இரண்டிலிருந்து கிடைக்கிறது ($ab^2 + 2ab^2$). அதனால்தான் நடு உறுப்புகளின் குணகங்கள் $3$ ஆக வருகின்றன.
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

3 குணகங்கள் $1,3,3,1$ — பாஸ்கல் முக்கோணம்

வர்க்கத்தில் குணகங்கள் $1, 2, 1$; கனத்தில் $1, 3, 3, 1$. இவை தற்செயலானவை அல்ல — ஒவ்வொரு குணகமும் அதற்கு மேலே உள்ள இரு குணகங்களின் கூட்டல்: $1+2=3$, $2+1=3$. இதுவே பாஸ்கல் முக்கோணம் (Pascal's Triangle) என அழைக்கப்படும் அமைப்பு. விரிவில் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் $a$ இன் வலு $3$ இலிருந்து $0$ வரை குறைந்துகொண்டே செல்ல, $b$ இன் வலு $0$ இலிருந்து $3$ வரை உயர்கிறது — ஆனால் இரண்டின் மொத்த வலு எப்போதும் $3$ ஆகவே இருக்கும்.

$(a-b)^3$ இல் $b$ இடத்தில் $(-b)$ வைத்தால் கிடைக்கும். அடையாளங்கள் மாறி மாறி வருகின்றன: $+, -, +, -$ — $b$ இன் ஒற்றை வலுக்கள் (odd powers) மறையாகும்.

உதாரணம் 1$(x+2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(4) + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.
உதாரணம் 2$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$.
$(2x)^3 = 2^3x^3 = 8x^3$ — குணகத்தையும் கனப்படுத்த மறவாதீர்கள்.
உதாரணம் 3$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
$(a-b)^3$ இல்: $3a^2b$ மறை, $b^3$ மறை; $3ab^2$ நேர் (ஏனெனில் $(-b)^2 = b^2$ நேர்).

4 எண் கணக்கில் சக்தி

தேர்வில் கணிப்பான் இல்லாத நேரத்தில் இந்த அடையாளங்கள் வேகத்தை கொடுக்கின்றன. $100, 10, 1$ போன்ற எளிய எண்களை அடிப்படையாக எடுத்து, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை அதற்கு அருகிலுள்ள $+/-$ கோவையாக எழுதிக்கொள்ளுங்கள்.

உதாரணம் 1$32^2 = (30+2)^2 = 900 + 120 + 4 = 1024$.
உதாரணம் 2$101^3 = (100+1)^3 = 1000000 + 3(10000)(1) + 3(100)(1) + 1 = 1030301$.
$100^3 = 10^6$; $3 \times 100^2 \times 1 = 30000$; $3 \times 100 \times 1 = 300$; $1^3 = 1$ — இவற்றைக் கூட்டினால் $1030301$.
தொடர்புடைய கருத்து — நிகழ்தகவுநாணயத்தை பலமுறை சுண்டும்போது எத்தனை தலை/வால் விழும் என்ற நிகழ்தகவு கணக்கீட்டிலும் ஈறுறுப்புக் கோவைகளின் குணகங்களே (பாஸ்கல் முக்கோணம்) பயன்படுகின்றன — உயர் வகுப்புகளில் இதை "ஈறுறுப்புத் தேற்றம் (Binomial Theorem)" என விரிவாகக் காண்பீர்கள்.

5 பொதுவான தவறுகள்

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) $(a+b)^3 \neq a^3+b^3$ — நடு உறுப்புகள் $3a^2b$, $3ab^2$ அவசியம் சேர்க்கப்பட வேண்டும்.
(2) $(a-b)^3$ இல் அடையாளங்கள் $+, -, +, -$ என மாறிமாறி வரும் — நான்காம் உறுப்பு $-b^3$.
(3) $(2x)^3 = 8x^3$ — குணகத்தையும் மறக்காமல் கனப்படுத்த வேண்டும், $2x^3$ அல்ல.
(4) எண் கணக்கில்: முதலில் $a, b$ ஐ சரியாக அடையாளப்படுத்திய பின்னரே சூத்திரத்தில் நிரப்புங்கள்.
$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$  =  $a^3+b^3+3ab(a+b)$ (மறுசீரமைப்பு)
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Binomial expression = ஈறுறுப்புக் கோவை
Cube expansion = கன விரிவு
Coefficient = குணகம்
Pascal's Triangle = பாஸ்கல் முக்கோணம்
Base number = அடிப்படை எண்
Alternating sign = மாறிமாறும் அடையாளம்
$(a+b)^3$ = $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3$ = $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
learn.gtdigital.tech/ol/maths/ Goperamanan Thirusenthivel, MSc · GT Digital