இயல்பொத்த முக்கோணிகள் Tamil revision study sheet in plain-language paragraphs for O/L Mathematics Grade 11: the Basic Proportionality Theorem (Thales' theorem) that a line parallel to one side of a triangle divides the other two sides in the same ratio, its converse, the AA condition for similar triangles and why equal angles force proportional sides, correctly matching corresponding sides by vertex order, worked ratio examples, and practical applications like finding a tree's height from a stick's shadow — grounded in the Grade 11 Unit 14 O/L Mathematics lesson.

🏠 O/L கணிதம்அனைத்து மனப்படங்களும்

தரம் 11 · அலகு 14 · குறு குறிப்பு

📖 பாடம் 🧠 மனப்படம்
🔺
இயல்பொத்த முக்கோணிகள்
Similar Triangles · Grade 11, Unit 14
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.

1 அடிப்படை விகித தேற்றம் (BPT / தாலஸ்)

உங்கள் கிராமத்தில் ஒரு பெரிய மரம் இருக்கிறது. அதன் உயரத்தை அளவிட ஏணி ஏறப் போகிறீர்களா? தேவையில்லை. $2$ மீ நீளம் கொண்ட ஒரு கம்பை நட்டு அதன் நிழலை அளவிடுங்கள்; அதே நேரத்தில் மரத்தின் நிழலையும் அளவிடுங்கள். கம்பும் மரமும் இயல்பொத்த (similar) முக்கோணிகளை உருவாக்குகின்றன — விகிதம் ஒன்றே என்பதால் மரத்தின் உயரம் கிடைக்கிறது. இயல்பொத்த உருவங்கள் என்பவை ஒரே கோணங்களைக் கொண்ட, ஆனால் வேறு அளவுள்ள வடிவங்கள்; ஒத்த பக்கங்கள் எப்போதும் ஒரே விகிதத்தில் இருக்கும் — அதுவே இந்தச் சக்தி.

ஒரு முக்கோணியில் ஒரு பக்கத்திற்கு சமாந்தரமான கோடு வரைந்தால், மற்ற இரு பக்கங்களும் ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகின்றன. ஏன்? சமாந்தர கோடு AA (கோ.கோ.) நிலை மூலம் இரு இயல்பொத்த முக்கோணிகளை உருவாக்குகிறது — அவற்றின் பக்க விகிதம் சமம் என்பதிலிருந்தே அடிப்படை விகித தேற்றம் (BPT) வருகிறது.

D E A B C
$DE \parallel BC \Rightarrow \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ (BPT)
$DE \parallel BC \;\Rightarrow\; \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$    மறுதலை: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} \;\Rightarrow\; DE \parallel BC$
உதாரணம்$AD = 3$, $DB = 6$, $AE = 4$, $DE \parallel BC$: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{EC} \Rightarrow EC = 8$.
விகிதம் $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$; எனவே $EC = 2 \times AE = 2 \times 4 = 8$.

முழுப்பக்க விகிதமாகவும் எழுதலாம்: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$ — இதுவே இயல்பொத்தல் விகிதம்.

2 இயல்பொத்த முக்கோணிகள் — AA நிபந்தனை

இரு முக்கோணிகளின் மூன்று கோணங்களும் சமம் என்றால் அவை இயல்பொத்தவை ($\sim$). ஆனால் மூன்று கோணமும் அளக்க வேண்டிய அவசியமில்லை — இரண்டு கோணங்கள் சமம் என நிரூபித்தால் போதும், ஏனெனில் மூன்றாவது கோணம் $180°$ விதியால் தானாகவே சமமாகிவிடும். இதையே AA (இரு கோணம்) நிபந்தனை என்கிறோம். இயல்பொத்த முக்கோணிகளில் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் எப்போதும் சமம் — இதுவே கணக்கிட பயன்படுகிறது.

$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ (AA) எனில்: $\hat{A}=\hat{P}$, $\hat{B}=\hat{Q}$, $\hat{C}=\hat{R}$
$\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{AC}{PR}$ (ஒரே விகிதம்)
உதாரணம்$\triangle ABC \sim \triangle PQR$, $AB = 4$, $PQ = 6$, $BC = 5$: $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{QR} \Rightarrow QR = \dfrac{5 \times 6}{4} = 7.5$.
பெயரிடும் வரிசை முக்கியம்: $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ என்று எழுதும்போது வரிசை ஒத்திசைவைக் காட்டுகிறது — $A \leftrightarrow P$, $B \leftrightarrow Q$, $C \leftrightarrow R$. $\dfrac{AB}{PQ}$ என்று எழுதுவதே சரி; $\dfrac{AB}{QP}$ தலைகீழாகிவிடும்.

3 நடைமுறை பயன்பாடுகள்

இயல்பொத்த முக்கோணிகளின் மிகப் பயனுள்ள பயன்பாடு — நேரடியாக அளக்க முடியாத உயரங்களையும் தூரங்களையும் கண்டறிதல்.

உதாரணம் 1 — மரத்தின் உயரம்$2$ m குச்சி $3$ m நிழல் போடுகிறது; அதே நேரத்தில் மரத்தின் நிழல் $12$ m. குச்சி $\triangle$ ∼ மர $\triangle$ (இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் ஒரே சூரிய கோணத்தால் உருவாகின்றன): $\dfrac{2}{3} = \dfrac{h}{12} \Rightarrow h = 8$ m.
உதாரணம் 2 — உள் முக்கோணி ($DE \parallel BC$)$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (AA — ஏகான்ம கோணங்கள்). $AD = 4$, $AB = 6$, $BC = 9$: $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{6} \Rightarrow DE = 6$.
அன்றாட உதாரணம்ஒரு மரத்தின் உயரத்தை நேரடியாக அளக்க முடியாதபோது, அதன் நிழலையும் ஒரு குச்சியின் நிழலையும் ஒப்பிட்டு இயல்பொத்த முக்கோணங்கள் மூலம் கணக்கிடலாம் — நிலம் அளவை (surveying) இதை இன்றும் பயன்படுத்துகிறது.

4 பொதுவான தவறுகள்

⚠ பொதுவான தவறுகள் (1) BPT இல் $\dfrac{AD}{DB}$ — இது முழுப் பக்கம் $AB$ அல்ல; பகுதிகளின் விகிதம் என்பதை மறவாதீர்கள்.
(2) ஒத்த பக்கங்களை பெயர் வரிசைப்படி (vertex order) சரியாக இணையுங்கள் — வரிசை மாறினால் விகிதம் தவறாகிவிடும்.
(3) இயல்பொத்தல் (similar) $\neq$ ஒருங்கிசைவு (congruent) — வடிவம் ஒன்றுதான், ஆனால் அளவு வேறு.
(4) AA (இரு கோணம்) போதும் — மூன்று கோணமும் தரவாக வேண்டிய அவசியமில்லை.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Similar triangles = இயல்பொத்த முக்கோணிகள்
BPT / Thales' theorem = அடிப்படை விகித தேற்றம்
AA condition = இரு-கோண நிபந்தனை
Corresponding sides = ஒத்த பக்கங்கள்
Congruent = ஒருங்கிசைவு
Ratio = விகிதம்
Parallel line = சமாந்தரக் கோடு
Vertex order = உச்சி வரிசை
learn.gtdigital.tech/ol/maths/ Goperamanan Thirusenthivel, MSc · GT Digital