🔢
தாயங்கள்
Matrices · Grade 11, Unit 19
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 தாயம் என்றால் என்ன? — வரிசை (Order)
இரண்டு கடைகளில் மூன்று பொருட்களின் மாத விற்பனையை பதிவு செய்ய வேண்டும் என வைத்துக்கொள்வோம்: கடை $A$-யில் $75, 72, 63$ யூனிட் விற்பனையாகியிருக்கின்றன; கடை $B$-யில் $66, 70, 81$ யூனிட். இந்த $6$ எண்களை தனித்தனியாக எழுதாமல், ஒரு அட்டவணையாக ஒழுங்குபடுத்தி எழுதினால் அதுவே தாயம் (matrix). ஆனால் தாயம் வெறும் அட்டவணை மட்டுமல்ல — அதற்குக் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் போன்ற செயல்முறைகளும் வரையறுக்கப்பட்டிருக்கின்றன, ஆகவே பல தரவுகளை ஒரே கணக்கில் ஒரே நேரத்தில் கையாள முடிகிறது. கணினி விளையாட்டுகளில் ஒரு பொருளின் நிலையையும் சுழற்சியையும் திரையில் காட்டவும், போக்குவரத்து வலைப்பின்னலை விவரிக்கவும் தாயங்கள் பயன்படுகின்றன.
எண்களை கிடைமட்டமாக நிரைகளில் (rows) செங்குத்தாக நிரல்களில் (columns) அடுக்கி ஓர் அடைப்பினுள் வைத்தால் அது தாயம். தாயத்தின் அளவை விவரிக்க வரிசை (order) என்னும் சொல்லைப் பயன்படுத்துகிறோம்: வரிசை $=$ நிரைகளின் எண்ணிக்கை $\times$ நிரல்களின் எண்ணிக்கை, எப்போதும் நிரை முதலில் வரும் என்பதை மனதில் வையுங்கள். மேலே கண்ட கடை உதாரணத்தில் $2$ நிரைகள் (இரு கடைகள்), $3$ நிரல்கள் (மூன்று பொருட்கள்) இருப்பதால் வரிசை $2 \times 3$.
உதாரணங்கள்$\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ இல் $3$ நிரைகள், $2$ நிரல்கள் உள்ளன, ஆகவே வரிசை $3 \times 2$. $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ இன் வரிசை $3 \times 1$ (இது ஒரு நிரல் தாயம்). $\begin{pmatrix} 2 & c \\ a & b \end{pmatrix}$ இன் வரிசை $2 \times 2$ (இது ஒரு சதுரத் தாயம்).
2 தாயங்களின் வகைகள்
தாயங்களின் அமைப்பைப் பொறுத்து அவற்றுக்கு தனிப் பெயர்கள் உண்டு. இவற்றை நன்கு அறிந்திருந்தால், ஒரு கணக்கில் தரப்பட்ட தாயம் என்ன வகையைச் சேர்ந்தது என்று உடனடியாக அடையாளம் காணலாம்.
| வகை | விளக்கம் | எடுத்துக்காட்டு |
|---|
| நிரைத் தாயம் (row) | ஒரே ஒரு நிரை — $1 \times n$ | $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ |
| நிரல் தாயம் (column) | ஒரே ஒரு நிரல் — $m \times 1$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ |
| சதுரத் தாயம் (square) | நிரை $=$ நிரல் — $n \times n$ | $\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ |
| அலகுத் தாயம் $I$ (identity) | மூலைவிட்டத்தில் $1$கள், ஏனைய இடங்களில் $0$ | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ |
| சுழியத் தாயம் (zero) | எல்லா உறுப்பும் $0$ | $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ |
3 சமத்துவம், கூட்டல், கழித்தல், எண்ணால் பெருக்கல்
இரு தாயங்கள் சமம் என்று சொல்ல, முதலில் அவை ஒரே வரிசையாக இருக்கவேண்டும்; அது மட்டுமல்லாமல் ஒத்த இடங்களில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் தனித்தனியாக சமமாக இருக்கவேண்டும். கூட்டல், கழித்தலும் இதே அடிப்படை விதியைப் பின்பற்றுகின்றன: ஒரே வரிசை கொண்ட தாயங்களை மட்டுமே கூட்டவோ கழிக்கவோ முடியும் — ஒத்த இடத்தில் உள்ள உறுப்புகளை ஒன்றுக்கொன்று கூட்டி (அல்லது கழித்து) புதிய தாயம் பெறுகிறோம்.
சமத்துவம்$\begin{pmatrix} a & 3 \\ 10 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & b \\ c & 9 \end{pmatrix}$ எனில் ஒத்த இடங்களை ஒப்பிட்டு $a=2,\ b=3,\ c=10,\ d=9$.
கூட்டல்$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 3 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4{+}1 & 1{+}6 \\ 2{+}3 & 0{+}9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$.
எண்ணால் பெருக்கும்போது (scalar multiplication) அந்த எண்ணை தாயத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் தனித்தனியாகப் பெருக்கவேண்டும் — ஒரு உறுப்பை மட்டும் பெருக்கிவிடக் கூடாது.
எண்ணால் பெருக்கல்$5\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 5 \\ -10 & 40 \end{pmatrix}$.
4 தாயப் பெருக்கல் (Matrix Multiplication)
தாயப் பெருக்கல் கூட்டலைப் போல் இல்லை — ஒத்த இடம்-இடமாக பெருக்குவதில்லை. $A \times B$ கணக்கிட வேண்டுமெனில், $A$ இன் ஒரு நிரையையும் $B$ இன் ஒரு நிரலையும் இணைக்கிறோம்: ஒத்த வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளை பெருக்கி, அந்தப் பெருக்கல்களை எல்லாம் கூட்டுகிறோம். இந்தப் பெருக்கல் சாத்தியமாக ஒரு நிபந்தனை இருக்கிறது.
$A$ ($m \times k$) $\times$ $B$ ($k \times n$) $\Rightarrow$ $AB$ ($m \times n$) — $A$ இன் நிரல் எண்ணிக்கை $=$ $B$ இன் நிரை எண்ணிக்கை என்றால் மட்டுமே சாத்தியம்
உதாரணம் 1 — எளிய சோதனை$\begin{pmatrix} 5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = 5{\times}3 + 2{\times}1 = 15+2 = \mathbf{17}$. இங்கு $1{\times}2$ தாயத்தை $2{\times}1$ தாயத்தால் பெருக்கினோம் — உள் இலக்கங்கள் ($2, 2$) பொருந்துகின்றன, முடிவு $1{\times}1$ (ஒரே ஒரு எண்).
உதாரணம் 2 — $2{\times}2$ தாயங்கள்$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$: ஒவ்வொரு உறுப்பையும் "நிரை $\times$ நிரல்" முறையில் கணக்கிடுகிறோம் — $(1,1) = 2{\cdot}1+4{\cdot}6 = 26$; $(1,2) = 2{\cdot}8+4{\cdot}7 = 44$; $(2,1) = 3{\cdot}1+5{\cdot}6 = 33$; $(2,2) = 3{\cdot}8+5{\cdot}7 = 59$. விடை $= \begin{pmatrix} 26 & 44 \\ 33 & 59 \end{pmatrix}$.
⚠ வரிசை சோதனை முதலில் செய்யுங்கள்$X$ ($2\times2$), $Y$ ($2\times1$) எனில் $XY$ சாத்தியம் ($2\times1$ கிடைக்கும்) — ஏனெனில் $X$ இன் நிரல் ($2$) $= Y$ இன் நிரை ($2$). ஆனால் $YX$ சாத்தியமில்லை — $Y$ இன் நிரல் ($1$) $\ne$ $X$ இன் நிரை ($2$). பெருக்கும் முன் இந்த வரிசைச் சோதனையைச் செய்ய மறவாதீர்கள்.
5 $AB \ne BA$ — ஒரு முக்கியமான வித்தியாசம்
சாதாரண எண்களில் பெருக்கல் வரிசை மாறினாலும் விடை மாறாது: $3 \times 5 = 5 \times 3$. ஆனால் தாயங்களில் இது உண்மையல்ல — பொதுவாக $AB \ne BA$. காரணம் என்ன? "நிரை $\times$ நிரல்" விதி வரிசையைப் பொறுத்தது; $A$ இன் நிரைகளை $B$ இன் நிரல்களுடன் இணைப்பதற்கும், $B$ இன் நிரைகளை $A$ இன் நிரல்களுடன் இணைப்பதற்கும் முற்றிலும் வேறுபட்ட உறுப்புகள் பெருக்கப்படுகின்றன.
உதாரணம் — $AB$ மற்றும் $BA$ ஐ ஒப்பிடுதல்$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ எனில்: $AB = \begin{pmatrix} 1{\cdot}1{+}2{\cdot}1 & 1{\cdot}0{+}2{\cdot}1 \\ 0{\cdot}1{+}1{\cdot}1 & 0{\cdot}0{+}1{\cdot}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. அதே தாயங்களை தலைகீழாகப் பெருக்கினால்: $BA = \begin{pmatrix} 1{\cdot}1{+}0{\cdot}0 & 1{\cdot}2{+}0{\cdot}1 \\ 1{\cdot}1{+}1{\cdot}0 & 1{\cdot}2{+}1{\cdot}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. $AB \ne BA$ என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது — வரிசையை மாற்றியதும் விடையே வேறாகிவிட்டது.
⚠ பொதுவான தவறுகள்(1) வரிசை $=$ நிரை $\times$ நிரல் — இதை மாற்றி எழுதாதீர்கள். (2) கூட்டல்/கழித்தலுக்கு ஒரே வரிசை அவசியம்; வேறு வரிசையாக இருந்தால் செயல் சாத்தியமே இல்லை. (3) பெருக்கலில் $AB$ சாத்தியம் என்றாலும் $BA$ சாத்தியமில்லாமல் போகக்கூடும் — ஒவ்வொரு முறையும் தனித்தனியாகச் சோதியுங்கள். (4) எண்ணால் பெருக்கும்போது ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பெருக்கவும்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Matrix = தாயம்
Order (rows × columns) = வரிசை
Row / Column matrix = நிரை / நிரல் தாயம்
Square matrix = சதுரத் தாயம்
Identity matrix ($I$) = அலகுத் தாயம்
Zero matrix = சுழியத் தாயம்
Equal matrices = சம தாயங்கள்
Scalar multiplication = எண்ணால் பெருக்கல்
Matrix multiplication = தாயப் பெருக்கல்
$AB \ne BA$ = பெருக்கல் பரிமாற்றத் தன்மையற்றது