📊
தரவுகளை வகைகுறித்தல்
Measures of Dispersion · Grade 11, Unit 15
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 வீச்சும் குவிமீட்டளனும்
உங்கள் வகுப்பில் $30$ மாணவர்கள் தேர்வு எழுதினார்கள் என வைத்துக்கொள்வோம். ஒருவன் $98$ மதிப்பெண் பெற்றான்; மற்றொருவன் $12$. இந்த இரு "தீவிர" மதிப்புகளும் சராசரியை பெரிதும் பாதிக்கும் — ஆனால் இடையத்தை (median) அவை பாதிக்காது, ஏனெனில் இடையம் நடு மதிப்பை மட்டுமே சார்ந்தது. ஆசிரியருக்கு வகுப்பு மாணவர்களின் பரம்பலை புரிந்துகொள்ள காற்பகுதிகள் (quartiles) மிகவும் பயனுள்ளவை — அவை நடு $50\%$ மாணவர்களின் மதிப்பெண் வீச்சைக் காட்டுகின்றன.
வீச்சு (range) என்பது மிக எளிய அளவீடு: அதிக மதிப்பு கழித்தல் குறைந்த மதிப்பு — முழு பரம்பலின் மொத்த நீட்டு. குவிமீட்டளன் (cumulative frequency) என்பது "இந்த வகுப்பு வரை மொத்தம் எத்தனை பேர்?" என்ற கேள்விக்கான பதில் — ஒவ்வொரு வகுப்பின் மீட்டளனையும் அதற்கு முந்தைய குவிமீட்டளனுடன் தொடர்ந்து சேர்த்துக்கொண்டே போவதே இதன் கணக்கு.
| புள்ளி | மீட்டளன் $f$ | குவிமீட்டளன் $F$ |
|---|
| 1–10 | 2 | 2 |
| 11–20 | 5 | 7 |
| 21–30 | 8 | 15 |
| 31–40 | 10 | 25 |
| 41–50 | 5 | 30 |
ஒவ்வொரு வரிசையிலும் $F$ ஐ எப்படிக் கணக்கிட்டோம் எனப் பாருங்கள்: $2$, பின் $2{+}5{=}7$, பின் $7{+}8{=}15$, பின் $15{+}10{=}25$, இறுதியில் $25{+}5{=}30$ — மொத்த மாணவர் எண்ணிக்கை $30$ உடன் பொருந்துகிறது.
வளையடி (ogive) வரைவதுகுவிமீட்டளனை ($F$) ஒவ்வொரு வகுப்பின் மேல் எல்லைக்கு எதிரே ($10, 20, 30, 40, 50$) புள்ளியிட்டு, அவற்றை மென்மையான வளைவாக இணைத்தால் $S$-வடிவ வளைவு கிடைக்கும் — இதுவே வளையடி. நடு எல்லைக்கு அல்ல, மேல் எல்லைக்கே எதிராக வரைய வேண்டும் என்பதை மறவாதீர்கள்.
2 இடையமும் காற்பகுதிகளும் (வரிசைப்படுத்திய தரவு)
$n$ தரவுகளை ஏறுவரிசையில் அடுக்கிய பின்னர், இடையம் ($Q_2$) என்பது நடு நிலையில் உள்ள மதிப்பு — அதன் நிலை $\dfrac{n}{2}$ ஆவது. நடு நிலையிலிருந்து கீழ்ப் பாதியின் இடையமே $Q_1$ (முதல் காற்பகுதி); மேல் பாதியின் இடையமே $Q_3$ (மூன்றாம் காற்பகுதி). மொத்தத் தரவை நான்கு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கும் மூன்று "வெட்டுப் புள்ளிகள்" இவை.
உதாரணம் 1 — ஒற்றைப்படை $n$$3, 5, 7, 9, 11$ ($n=5$): நடு நிலை $=3$ ஆம் மதிப்பு $=7$. ஆகவே இடையம் $=\mathbf{7}$.
உதாரணம் 2 — இரட்டைப்படை $n$$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ ($n=8$): நடு இரு மதிப்புகளின் ($4$ஆம் $=4$, $5$ஆம் $=5$) சராசரி $Q_2 = \dfrac{4+5}{2} = 4.5$. கீழ்ப் பாதி $1,2,3,4$ இன் நடு $=Q_1 = \dfrac{2+3}{2} = 2.5$. மேல் பாதி $5,6,7,8$ இன் நடு $=Q_3 = \dfrac{6+7}{2} = 6.5$. IQR $= Q_3 - Q_1 = 6.5 - 2.5 = \mathbf{4}$.
இந்த $4$ என்பது நடு $50\%$ தரவின் "பரம்பல் அகலம்". வீச்சு $8-1=7$ ஆக இருந்தாலும், IQR தீவிர மதிப்புகளால் பாதிக்கப்படாத நம்பகமான அளவீடு.
3 வளையடியிலிருந்து காற்பகுதிகள் காணல்
தொகுக்கப்பட்ட தரவில் ($n$ பெரிதாக இருக்கும்போது) ஒவ்வொரு தனித் தரவையும் வரிசைப்படுத்த முடியாது — அதற்குப் பதிலாக வளையடியிலிருந்தே காற்பகுதிகளைப் படித்துவிடலாம். இதற்கு நிலை எண்களை மட்டும் கணக்கிட்டால் போதும்.
$Q_2$ (இடையம்) $\to \dfrac{n}{2}$ ஆம் நிலை • $Q_1 \to \dfrac{n}{4}$ ஆம் நிலை • $Q_3 \to \dfrac{3n}{4}$ ஆம் நிலை
இந்த நிலை எண்ணை $y$-அச்சில் (குவிமீட்டளன் அச்சு) குறித்து, அங்கிருந்து வளைவை நோக்கி கிடைமட்டமாகச் சென்று, வளைவைத் தொட்ட பின் கீழே $x$-அச்சுக்குச் சென்று அந்தப் புள்ளியின் $x$ மதிப்பைப் படித்தால் அதுவே காற்பகுதியின் மதிப்பு.
உதாரணம் — $n = 30$$Q_1 \to \dfrac{30}{4} = 7.5$ ஆம் நிலை; $Q_2 \to \dfrac{30}{2} = 15$ ஆம் நிலை; $Q_3 \to \dfrac{3{\times}30}{4} = 22.5$ ஆம் நிலை. வளையடியில் $y$-அச்சில் $7.5,\ 15,\ 22.5$ ஐ முறையே குறித்து $x$-அச்சிற்குச் சென்று மூன்று காற்பகுதி மதிப்புகளையும் படிக்கவும்.
4 ஏன் IQR சிறந்த அளவீடு?
$Q_1$ க்கும் $Q_3$ க்கும் இடையே உள்ள நடு $50\%$ தரவு "வழக்கமான" மாணவர்களைக் குறிக்கிறது — அதனால் இது தீவிர மதிப்புகளால் பாதிக்கப்படாது. ஒரு மாணவன் $0$ பெற்றாலும் இன்னொருவன் $100$ பெற்றாலும், $Q_1$ மற்றும் $Q_3$ இன் இடையிலான தூரம் பெரும்பாலும் மாறாமலே இருக்கும் (ஆனால் வீச்சு உடனடியாக மாறிவிடும்). அதனால்தான் IQR ஒரு பரம்பலின் "வழக்கமான அகலத்தை" வீச்சை விட நம்பகமாகக் காட்டுகிறது.
⚠ பொதுவான தவறுகள்(1) குவிமீட்டளன் $=$ சேர்த்து வரும் மொத்தம் — அந்தந்த வகுப்பின் தனி மீட்டளன் அல்ல, குழப்பாதீர்கள். (2) வளையடி வரையும்போது குவிமீட்டளனை மேல் எல்லைக்கு எதிராகவே வரையவும் — நடு எல்லைக்கு அல்ல. (3) $Q_2 = $ இடையம் $= \dfrac{n}{2}$ ஆம் நிலை; $Q_1 = \dfrac{n}{4}$ ஆம் நிலை; $Q_3 = \dfrac{3n}{4}$ ஆம் நிலை — இவற்றை மாற்றி எழுதாதீர்கள். (4) IQR $= Q_3 - Q_1$ — இது வீச்சு (அதிகபட்சம் கழித்தல் குறைந்தபட்சம்) அல்ல.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Range = வீச்சு
Cumulative frequency = குவிமீட்டளன்
Ogive = வளையடி
Median ($Q_2$) = இடையம்
Quartiles ($Q_1, Q_3$) = காற்பகுதிகள்
Interquartile range (IQR) = காற்பகுதி வீச்சு
$Q_2 \to n/2$ = இடைய நிலை
$Q_1 \to n/4,\ Q_3 \to 3n/4$ = காற்பகுதி நிலைகள்