📐
திரிகோணகணிதம்
Trigonometry · Grade 11, Unit 18
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.
1 பக்கங்களை பெயரிடல்
உங்கள் வீட்டு முன்னால் ஒரு தென்னை மரம் இருக்கிறது என வைத்துக்கொள்வோம். அதன் உயரத்தை அளவிட வேண்டும், ஆனால் ஏறுவது சாத்தியமில்லை. ஒரு கோணமானி (protractor) மட்டும் இருந்தால் போதும்: $30$ m தூரத்திலிருந்து பார்க்கும்போது மேல் நுனிக்கான கோணம் $30°$ எனத் தெரிந்தால், உயரம் $= 30 \times \tan 30°$ எனக் கணக்கிடலாம். இப்படி கோணம் $+$ தூரம் $\to$ உயரம் கணக்கிட உதவுவதே திரிகோணகணிதம் (trigonometry). சைன், கோசைன், தான்சன் (sin, cos, tan) என்பவை செங்கோண முக்கோணியில் ஒரு கோணத்திற்கும் அதன் பக்க விகிதத்திற்கும் இடையேயான நிலையான உறவு.
செங்கோண முக்கோணியில் ஒரு கூர்க்கோணம் $\theta$ ஐ தேர்வு செய்தால், அந்தக் கோணத்திலிருந்து பார்க்கும்போது மூன்று பக்கங்களும் வேறுவேறு பாத்திரம் வகிக்கின்றன. செம்பக்கம் (hypotenuse) எப்போதும் செங்கோணத்துக்கு எதிரே உள்ள மிகப்பெரிய பக்கம் — இது நிலையானது, $\theta$ எங்கிருந்தாலும் மாறாது. எதிர்ப் பக்கம் (opposite) என்பது $\theta$ ஐ நேரடியாக எதிர்த்திருக்கும் பக்கம். அயற் பக்கம் (adjacent) என்பது $\theta$ க்கு ஒட்டியிருக்கும், ஆனால் செம்பக்கம் அல்லாத பக்கம். $\theta$ வேறு மூலைக்கு மாறினால் "எதிர்"/"அயல்" பெயர்களும் இடம் மாறும் — செம்பக்கம் மட்டும் எப்போதும் அப்படியே இருக்கும்.
2 SOH-CAH-TOA — மூன்று விகிதங்கள்
$\sin\theta = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{செம்பக்கம்}}$ • $\cos\theta = \dfrac{\text{அயல்}}{\text{செம்பக்கம்}}$ • $\tan\theta = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{அயல்}}$
முக்கியமான புரிதல்: இந்த விகிதங்கள் முக்கோணியின் அளவைப் பொறுத்தது இல்லை — கோணத்தை மட்டுமே சார்ந்தவை. $3$-$4$-$5$ முக்கோணியும் அதை இரு மடங்காக்கிய $6$-$8$-$10$ முக்கோணியும் ஒரே $\theta$ ஐக் கொண்டால், $\sin\theta$ இரண்டிலும் ஒன்றே: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = 0.6$. அதனால்தான் "தூரம் தெரிந்தால் உயரம் காணலாம்" என்ற அற்புதம் சாத்தியமாகிறது — ஒரு சிறிய மாதிரி முக்கோணியிலிருந்து கிடைத்த விகிதத்தையே பெரிய தூரங்களுக்கும் பயன்படுத்தலாம்.
உதாரணம் 1 — $3, 4, 5$ முக்கோணி$\theta$ க்கு எதிர் $= 3$, அயல் $= 4$, செம்பக்கம் $= 5$: $\sin\theta = \tfrac{3}{5}$, $\cos\theta = \tfrac{4}{5}$, $\tan\theta = \tfrac{3}{4}$.
உதாரணம் 2 — $5, 12, 13$ முக்கோணி$\theta$ க்கு எதிர் $= 5$, அயல் $= 12$, செம்பக்கம் $= 13$: $\sin\theta = \tfrac{5}{13}$, $\cos\theta = \tfrac{12}{13}$, $\tan\theta = \tfrac{5}{12}$.
3 விசேட கோணங்கள் — $30°, 45°, 60°$
இந்த மூன்று கோணங்களுக்கும் விகிதங்கள் நேர்த்தியான வடிவங்களில் கிடைக்கின்றன, ஆகவே இவற்றை மனப்பாடம் செய்துகொள்வது நல்லது. $45°$ எளிது: சமபக்க செங்கோண முக்கோணியில் இரு பக்கங்களும் $1, 1$ என்றால் பித்தகோரசு தேற்றத்தால் செம்பக்கம் $\sqrt{2}$ — ஆகவே $\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$. $30°/60°$ க்கு: ஒரு சமபக்க முக்கோணியை (பக்கம் $2$) நடுவே இரண்டாகப் பிரித்தால் பக்கங்கள் $2, 1, \sqrt{3}$ கிடைக்கின்றன — இதிலிருந்து $\sin 30° = \tfrac{1}{2}$, $\cos 30° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ கிடைக்கும்.
| $\theta$ | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|
| $30°$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $45°$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $1$ |
| $60°$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
4 தெரிந்த கோணத்திலிருந்து பக்கம் காணல்
கோணமும் ஒரு பக்கமும் தெரிந்தால், சரியான விகிதத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து இன்னொரு பக்கத்தைக் கணக்கிடலாம். எந்த விகிதத்தைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை தெரிந்த பக்கமும் காணவேண்டிய பக்கமும் தீர்மானிக்கின்றன.
உதாரணம் 1செம்பக்கம் $10$, $\theta = 30°$: எதிர் $= 10 \times \sin 30° = 10 \times \tfrac{1}{2} = 5$. அயல் $= 10 \times \cos 30° = 10 \times \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$.
உதாரணம் 2அயல் $= 8$, $\theta = 45°$: $\tan\theta = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{அயல்}}$ என்பதிலிருந்து எதிர் $=$ அயல் $\times \tan\theta = 8 \times \tan 45° = 8 \times 1 = 8$.
அன்றாட உதாரணம் — ஏணிசுவரில் சாய்த்து வைத்த $\ell$ நீளமுள்ள ஏணி (இதுவே செம்பக்கம்) தரையுடன் $\theta$ கோணம் செய்தால்: ஏணி எட்டும் உயரம் $= \ell \sin\theta$; ஏணியின் அடி சுவரிலிருந்து எவ்வளவு தூரத்தில் இருக்கிறது $= \ell \cos\theta$.
5 ஏற்றக் & இறக்கக் கோணங்கள்
ஏற்றக் கோணம் (elevation): கிடைமட்டத்திலிருந்து மேலே பார்க்கும் கோணம்.
இறக்கக் கோணம் (depression): கிடைமட்டத்திலிருந்து கீழே பார்க்கும் கோணம்.
இரண்டு கோணங்களும் எப்போதும் கிடைமட்டத்திலிருந்து அளக்கப்படுகின்றன, செங்குத்திலிருந்து அல்ல என்பதை மனதில் நிறுத்திக்கொள்ளுங்கள்.
உதாரணம் 1 — ஏற்றக் கோணம்$30$ m தூரத்திலிருந்து ஒரு கோபுரத்தின் உச்சிக்கு ஏற்றக் கோணம் $30°$ எனில்: $\tan 30° = \dfrac{h}{30} \Rightarrow h = 30 \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \approx \mathbf{17.3}$ m.
உதாரணம் 2 — இறக்கக் கோணம்$50$ m உயரமுள்ள கோபுர உச்சியிலிருந்து கீழே ஒரு படகைப் பார்க்கும்போது இறக்கக் கோணம் $45°$: $\tan 45° = \dfrac{50}{d} \Rightarrow d = \dfrac{50}{1} = \mathbf{50}$ m.
ஏகாந்திர கோணங்கள் (alternate angles) படி, மேலிருந்து கீழே பார்க்கும் இறக்கக் கோணம் கீழிருந்து மேலே பார்க்கும் ஏற்றக் கோணத்திற்குச் சமம் — இரண்டும் ஒரே முக்கோணியின் ஒரே $\tan$ கோணமாகவே கணக்கிடப்படும்.
⚠ பொதுவான தவறுகள்(1) எதிர்/அயல் கோணத்தைப் பொறுத்து மாறும் — $\theta$ எங்கே என்று முதலில் உறுதிப்படுத்துங்கள். (2) SOH $\to$ sin, CAH $\to$ cos, TOA $\to$ tan; தேவையான, தெரிந்த பக்கங்கள் எவை என்று பார்த்து சரியான விகிதத்தைத் தேர்க. (3) கணிப்பானில் degree mode (DEG) இருக்கிறதா என்று சோதியுங்கள் — radian mode தவறான விடை தரும். (4) ஏற்றம்/இறக்கம் கிடைமட்டத்திலிருந்தே அளக்கப்படும் — செங்குத்திலிருந்து அல்ல.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Hypotenuse = செம்பக்கம்
Opposite side = எதிர்ப் பக்கம்
Adjacent side = அயற் பக்கம்
SOH CAH TOA = sin/cos/tan விகிதங்கள்
Angle of elevation = ஏற்றக் கோணம்
Angle of depression = இறக்கக் கோணம்
$30°, 45°, 60°$ = விசேட கோணங்கள்
DEG mode = பாகை முறை (கணிப்பான்)