தொடலிகள் Tamil revision study sheet in plain-language paragraphs for O/L Mathematics Grade 11: what a tangent to a circle is versus a secant, Theorem 1 that the radius drawn to the point of contact is perpendicular to the tangent with Pythagoras worked examples, Theorem 2 that the two tangents drawn from an external point are equal in length with the RHS congruence proof, angle facts in the kite OAPB, and the incircle tangent-segment property with worked examples — grounded in the Grade 11 Unit 22 O/L Mathematics lesson.

🏠 O/L கணிதம் › அனைத்து மனப்படங்களும்

தரம் 11 · அலகு 22 · குறு குறிப்பு

📖 பாடம் 🧠 மனப்படம்
⌒
தொடலிகள்
Tangents to a Circle · Grade 11, Unit 22
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.

1 தொடலி என்றால்?

ஒரு சைக்கிள் சக்கரம் சாலையில் உருளும்போது சாலை சக்கரத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொடுகிறது. அந்த தொடு புள்ளியில் சாலைக் கோடு சக்கரத்தின் ஆரத்திற்கு (radius) சரியாக செங்குத்தாக அமைகிறது — அப்படி இல்லாவிட்டால் சக்கரத்தின் நிலை குலைந்து, சக்கரம் ஒரு பக்கமாகச் சாய்ந்துவிடும். இதுவே தொடலியின் முதல் தேற்றத்தின் அடிப்படை: தொடலி $\perp$ ஆரம். மேலும், ஒரு வட்டத்தை வெளியே நின்று இரு திசைகளில் தொட்டால் இரண்டு தொடலிகளும் சரியாக சமமாக இருக்கும் — இது இரண்டாம் தேற்றம்.

ஒரு நேர்கோடு வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொட்டால் அது தொடலி (tangent); அந்தப் புள்ளியே தொடு புள்ளி (point of contact). அதே நேர்கோடு வட்டத்தை இரு புள்ளிகளில் வெட்டினால் அது வெட்டுக்கோடு (secant) — தொடலி அல்ல. இந்த இரண்டையும் குழப்பிக்கொள்ளக் கூடாது.

2 தேற்றம் 1 — தொடலி $\perp$ ஆரம்

O A ஆரம் OA
தொடு புள்ளி $A$ இல் தொடலி ⊥ ஆரம் $OA$
தொடு புள்ளியில் வரையும் ஆரம் தொடலிக்கு செங்குத்தாக ($90°$) அமையும்
உதாரணம் 1 — கோணம் காணல்தொடு புள்ளி $B$ இல் $\angle ABD = 90°$ (ஆரம் $\perp$ தொடலி). முக்கோணி $ABD$ இல் $\angle BAD = 35°$ எனில்: $35° + 90° + x = 180° \Rightarrow x = \mathbf{55°}$.
உதாரணம் 2 — நீளம் காணல் (பித்தகோரசு)ஆரம் $OB = 7$ cm, தொடலியின் நீளம் $BT = 24$ cm எனில் $OT$ ஐக் காண: $OB \perp BT$ ஆதலால் $OT^2 = OB^2 + BT^2 = 49 + 576 = 625 \Rightarrow OT = \mathbf{25}$ cm.
$7$-$24$-$25$ ஒரு பைதகரஸ் மும்மை — $\sqrt{625}$ ஐக் கையால் கணக்கிடத் தேவையில்லாமல் நேரடியாக $25$ என அறியலாம்.

3 தேற்றம் 2 — வெளிப்புள்ளியின் இரு தொடலிகள் சமம்

O P A B
வெளிப் புள்ளி $P$: $PA = PB$; $OP$ கோணங்களை இருசமக் கூறிடும்

ஏன் $PA = PB$ சமம்? முக்கோணி $OAP$ ஐயும் முக்கோணி $OBP$ ஐயும் ஒப்பிடுவோம்: $OA = OB$ (இரண்டும் ஆரங்கள்); $\angle OAP = \angle OBP = 90°$ (தேற்றம் 1 படி, ஆரம் $\perp$ தொடலி); $OP$ இரு முக்கோணிக்கும் பொது பக்கம். ஆகவே RHS ஒருங்கிசைவு படி $\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ — இதிலிருந்து $PA = PB$ கிடைக்கிறது.

வெளிப் புள்ளி $P$ இலிருந்து வரையும் இரு தொடலிகள் சமம்: $PA = PB$. மேலும் $OP$ ஆனது $\angle APB$, $\angle AOB$ ஆகிய கோணங்களை இருசமக் கூறிடும்
உதாரணங்கள்$PA = 8$ cm எனில் $PB = \mathbf{8}$ cm (உடனடியாக). $\angle APB = 60°$ எனில், $OP$ இந்தக் கோணத்தை இருசமக் கூறிடுவதால் $\angle APO = \angle BPO = \mathbf{30°}$.
நாற்பக்கல் $OAPB$ இல் ஒரு கூடுதல் தொடர்பு$\angle OAP = \angle OBP = 90°$ என்பதால், நாற்பக்கலின் உள்ளக் கோணக் கூட்டுத்தொகை $360°$ இல் $180°$ ஏற்கெனவே இரு செங்கோணங்களால் எடுக்கப்பட்டுவிடுகிறது. மீதமுள்ள இரு கோணங்களான $\angle AOB$ மற்றும் $\angle APB$ சேர்ந்து $360° - 90° - 90° = 180°$ ஆக இருக்கும். அதாவது $\angle AOB + \angle APB = 180°$ — இதுவும் ஒரு பயனுள்ள கணக்கீட்டு தொடர்பு.

4 உள்வட்டமும் தொடலிக் கூறுகளும்

ஒரு முக்கோணியின் உள்வட்டத்தை (incircle) வரையும்போது, ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் அந்த வட்டத்திற்கு வரையப்படும் இரு தொடலிக் கூறுகளும் தேற்றம் 2 படி சமமாக இருக்கும். இதைப் பயன்படுத்தி முக்கோணியின் பக்க நீளங்களிலிருந்து ஒவ்வொரு தொடலிக் கூறையும் தனித்தனியாகக் கணக்கிடலாம்.

உதாரணம் — முக்கோணி $ABC$ இல் உள்வட்டத் தொடலிக் கூறுகள்$AB = 6$, $BC = 8$, $CA = 10$ எனில், உச்சி $A,B,C$ இலிருந்து தொடலிக் கூறுகளை முறையே $x, y, z$ எனக்கொள்ளலாம் ($A$-யிலிருந்து $x$, $B$-யிலிருந்து $y$, $C$-யிலிருந்து $z$): $x+y=6$ (பக்கம் $AB$), $y+z=8$ (பக்கம் $BC$), $x+z=10$ (பக்கம் $CA$). மூன்றையும் கூட்டினால் $2(x+y+z) = 24 \Rightarrow x+y+z = 12$. இதிலிருந்து $z = 12-6 = 6$, $x = 12-8 = 4$, $y = 12-10 = 2$. ஆகவே $x=\mathbf{4}$ cm, $y=\mathbf{2}$ cm, $z=\mathbf{6}$ cm.
முக்கோணியின் சுற்றளவு $= AB+BC+CA = 2(x+y+z)$ — ஒவ்வொரு பக்கமும் இரு தொடலிக் கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையால் ஆனதால், மொத்த சுற்றளவு எப்போதும் தொடலிக் கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையின் இரு மடங்காக இருக்கும்.
⚠ பொதுவான தவறுகள்(1) ஆரம் $\perp$ தொடலி — தொடு புள்ளியில் மட்டுமே உண்மை; வட்டத்தின் வேறு எந்தப் புள்ளியிலும் இது பொருந்தாது. (2) $PA = PB$ என்பது வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையப்படும் இரு தொடலிகளுக்கு மட்டுமே — வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து அல்ல. (3) RHS ஒருங்கிசைவைப் பயன்படுத்த $\angle OAP = \angle OBP = 90°$ என்பதை முதலில் நிறுவவும். (4) வெட்டுக்கோடு (இரு புள்ளிகளில் வெட்டும் கோடு) தொடலி அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Tangent = தொடலி
Secant = வெட்டுக்கோடு
Point of contact = தொடு புள்ளி
Radius $\perp$ tangent = ஆரம் $\perp$ தொடலி (தேற்றம் 1)
Two tangents from external point equal = $PA=PB$ (தேற்றம் 2)
RHS congruence = RHS ஒருங்கிசைவு
Incircle = உள்வட்டம்
External point = வெளிப் புள்ளி
learn.gtdigital.tech/ol/maths/ Goperamanan Thirusenthivel, MSc · GT Digital