வரைபுகள் Tamil revision study sheet in plain-language paragraphs for O/L Mathematics Grade 11: solving simultaneous linear equations by reading where two line graphs cross, drawing a quadratic graph y = ax^2 + bx + c from a table of values, whether the parabola opens upward with a minimum when a is positive or downward with a maximum when a is negative, the axis of symmetry x = -b/(2a), reading roots and turning point from the graph, and solving a line-and-curve simultaneous system by finding where the graphs intersect — grounded in the Grade 11 Unit 12 O/L Mathematics lesson.

🏠 O/L கணிதம் › அனைத்து மனப்படங்களும்

தரம் 11 · அலகு 12 · குறு குறிப்பு

📖 பாடம் 🧠 மனப்படம்
📉
வரைபுகள் (இருபடி)
Graphs · Grade 11, Unit 12
இப்பக்கம் மனப்படத்தின் அதே உள்ளடக்கத்தை, தொடர் வாக்கியங்களாக விளக்கமாக எழுதப்பட்ட ஒரு revision sheet ஆகும் — முதலிலிருந்து இறுதிவரை வாசித்துப் படிக்க.

1 நேர்க்கோட்டு வரைபும் ஒருங்கமை சமன்பாடும்

வானில் எறிந்த ஒரு கிரிக்கெட் பந்தின் பாதையைக் கவனித்தால், அது ஒரு வளைவாக ஏறி, உச்சம் தொட்டு, திரும்பி கீழே விழுவதைப் பார்க்கலாம். இந்த வளைவே பரவளைவு (parabola) — $y = ax^2 + bx + c$ போன்ற ஒரு இருபடிச் சார்பின் வரைபு. வரைபு ஒரே நேரத்தில் மூன்று கேள்விகளுக்குப் பதில் தருகிறது: பந்து எங்கே தரையில் விழுகிறது (மூலங்கள்)? உச்ச உயரம் என்ன (திருப்பப் புள்ளி)? சமன்பாட்டைத் தீர்க்காமலேயே இவற்றைப் படத்திலிருந்தே படிக்கலாம் — இதுவே வரைபின் சக்தி.

$y = mx + c$ போன்ற ஒரு நேர்க்கோட்டு வரைபு வரைய இரண்டு புள்ளிகள் போதும் — பொதுவாக $x = 0$ ஆக வைத்துக் கிடைக்கும் புள்ளியையும் $y = 0$ ஆக வைத்துக் கிடைக்கும் புள்ளியையும் பயன்படுத்துவது எளிது. இரு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியே அவற்றின் ஒருங்கமை சமன்பாடுகளின் (simultaneous equations) தீர்வு — ஏனெனில் அந்தப் புள்ளி மட்டுமே இரண்டு சமன்பாடுகளையும் ஒரே நேரத்தில் திருப்திசெய்யும் $(x, y)$ ஜோடி.

உதாரணம்$y = x + 1$ மற்றும் $y = 2x - 1$: இரண்டையும் சமமாக்கினால் $x + 1 = 2x - 1 \Rightarrow x = 2$, பின் $y = 2 + 1 = 3$. தீர்வு $(2, 3)$.
வரைபில் இரு கோடுகள் $(2,3)$ இல் வெட்டுகின்றன என்று ஏற்கெனவே வரைந்திருந்தால், சமன்பாட்டை இயற்கணிதமாகத் தீர்க்கவே தேவையில்லாமல் நேரடியாக பதிலை படிக்கலாம்.

2 இருபடி வரைபு $y = ax^2 + bx + c$

இருபடிச் சார்பின் வரைபு எப்போதும் ஒரு பரவளைவு (parabola) — அதன் வடிவம் $a$ இன் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. $a > 0$ எனில் வரைபு ∪ வடிவில் (கிண்ணம் போல்) மேல்நோக்கித் திறக்கும் — இதற்கு ஒரு இழிவுப் புள்ளி (minimum point) உண்டு, வளைவின் மிகக் கீழ்ப் புள்ளியே இது. $a < 0$ எனில் வரைபு ∩ வடிவில் (குவளை போல்) கீழ்நோக்கித் திறக்கும் — இதற்கு ஒரு உயர்வுப் புள்ளி (maximum point) உண்டு, வளைவின் மிக உயர்ந்த புள்ளியே இது. வரைவதற்கு: $x$ இன் பல மதிப்புகளுக்கு $y$ ஐக் கணக்கிட்டு ஒரு பெறுமான அட்டவணை (table of values) தயார் செய்யவும்; அந்தப் புள்ளிகளை வரைந்து மென்மையான வளைவாக இணைக்கவும்.

1 3 (2,−1) y=x²−4x+3 x=2
மூலங்கள் $x=1,3$ ($y=0$); இழிவுப் புள்ளி $(2,-1)$; சமச்சீர் அச்சு $x=2$
சமச்சீர் அச்சு: $x = -\dfrac{b}{2a}$  •  மூலங்கள்: $y = 0$ ஆக வைத்து $x$ காண் (வரைபு $x$-அச்சை வெட்டும் இடம்)
⚠ மூலப் பாடத்தில் கவனிக்க வேண்டிய குறிப்பு"திறப்பு திசை" (opens up/down) பற்றிய சொற்றொடர்கள் சிலசமயம் தலைகீழாகக் குழப்பமாக எழுதப்படுவதுண்டு. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: கிண்ணம் ∪ வடிவம் $=$ மேல்நோக்கித் திறந்தது $=$ இழிவுப் புள்ளி $=$ $a>0$; குவளை ∩ வடிவம் $=$ கீழ்நோக்கித் திறந்தது $=$ உயர்வுப் புள்ளி $=$ $a<0$. இந்த நான்கும் எப்போதும் ஒன்றாகவே செல்லும்.

3 மூலங்கள், திருப்பப் புள்ளி, சமச்சீர் அச்சு — உதாரணம்

பெறுமான அட்டவணை — $y = x^2 - 4x + 3$
$x$01234
$y$30−103
ஒவ்வொரு $y$ ஐயும் தனித்தனியாகக் கணக்கிட்டதன் மூலம் பெறப்பட்டது — எ.கா. $x=2$: $y = 4 - 8 + 3 = -1$.
மூலங்களும் திருப்பப் புள்ளியும்காரணிப்படுத்தினால் $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = \mathbf{1, 3}$ — இவையே வரைபு $x$-அச்சை வெட்டும் இடங்கள். சமச்சீர் அச்சு: $x = -\dfrac{-4}{2(1)} = \mathbf{2}$. இந்த $x$ மதிப்பை சமன்பாட்டில் பிரதியிட $y = 4 - 8 + 3 = -1$ கிடைக்கும், ஆகவே திருப்பப் புள்ளி (இழிவுப் புள்ளி, ஏனெனில் $a=1>0$) $= (\mathbf{2, -1})$.
வரைபிலிருந்து ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் படித்தல்$a>0$ ஆக இருப்பதால் இந்த பரவளைவு இழிவுப் புள்ளியில் மிகக் கீழே சென்று மீண்டும் ஏறுகிறது — ஆகவே இரு மூலங்களுக்கும் இடையே வளைவு $x$-அச்சுக்குக் கீழே இருக்கும். எனவே $y < 0$ ஆவது $1 < x < 3$ இல்தான்; $x<1$ அல்லது $x>3$ இல் $y>0$.

4 வரைபிலிருந்து தீர்த்தல் — கோடும் வளைவும்

இரு வளைவுகள் அல்லது ஒரு வளைவும் ஒரு கோடும் வெட்டும் புள்ளிகளை வரைபிலிருந்தே படிக்கலாம் — வெட்டு புள்ளி என்பது இரண்டு சமன்பாடுகளும் ஒரே $(x,y)$ ஐத் திருப்திசெய்யும் இடம்.

உதாரணம் — கோடும் வளைவும்$y = x^2 - 4x + 3$ மற்றும் $y = x - 1$: இரண்டையும் சமமாக்கினால் $x^2 - 4x + 3 = x - 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) = 0$. தீர்வுகள் $x = \mathbf{1, 4}$ — வரைபில் இந்த கோடு வளைவை $x=1$ இலும் $x=4$ இலும் வெட்டும்.
உதாரணம் — $y=k$ கிடைமட்டக் கோட்டுத் தொடர்புஅதே $y=x^2-4x+3$ வரைபில்: $y=0$ கோடு ($x$-அச்சு) இரு இடங்களில் வெட்டுகிறது ($x=1,3$) — இரு மூலங்கள். $y=-1$ கோடு திருப்பப் புள்ளியை மட்டும் தொடுகிறது — ஒரே ஒரு (இரட்டை) மூலம். $y=-2$ கோடு வளைவை வெட்டவே இல்லை, ஏனெனில் வளைவின் மிகக் குறைந்த மதிப்பே $-1$ — ஆகவே அதற்குக் கீழே செல்லும் எந்தக் கோடும் வெட்டாது, மூலங்கள் இல்லை.
வரைபு மூலங்களின் எண்ணிக்கையை (0, 1 அல்லது 2) நேரடியாகக் காட்டுகிறது — விவேகி (discriminant) இயற்கணிதமாகச் சொல்வதையே வரைபு படமாகக் காட்டுகிறது.
⚠ பொதுவான தவறுகள்(1) பெறுமான அட்டவணையில் ஒவ்வொரு $x$ மதிப்புக்கும் $y$ ஐ தனித்தனியாகக் கணக்கிடுங்கள் — அவசரப்பட்டால் கூட்டல் தவறாகிவிடும். (2) சமச்சீர் அச்சு $x = -\dfrac{b}{2a}$ — கழித்தல் அடையாளத்தைக் கவனமாகக் கையாளுங்கள். (3) மூலங்கள் $= x$-வெட்டுக்கள் ($y=0$ ஆக வைக்கும்போது); இதை $y$-வெட்டுடன் ($x=0$ ஆக வைக்கும்போது கிடைப்பது) குழப்பாதீர்கள். (4) $a$ இன் அடையாளத்தை முதலில் பாருங்கள் — அதுவே ∪/∩ வடிவத்தையும் இழிவு/உயர்வு புள்ளியையும் தீர்மானிக்கிறது.
சுருக்கமான சொற்கள் · Key Terms
Parabola = பரவளைவு
Table of values = பெறுமான அட்டவணை
Roots ($y=0$) = மூலங்கள்
Turning point = திருப்பப் புள்ளி
Minimum / maximum point = இழிவு / உயர்வுப் புள்ளி
Axis of symmetry $x=-b/2a$ = சமச்சீர் அச்சு
Simultaneous equations = ஒருங்கமை சமன்பாடுகள்
Discriminant = விவேகி
learn.gtdigital.tech/ol/maths/ Goperamanan Thirusenthivel, MSc · GT Digital