ஒரு சதுர கண்ணாடி சட்டத்தை ஒரு கலைஞன் வட்ட வடிவ திரையில் பொருத்த வேண்டும் என வைத்துக்கொள்வோம். நான்கு மூலைகளும் சரியாக வட்டத்தின் மீது அமைந்தால் — அதுவே வட்ட நாற்பக்கல் (cyclic quadrilateral). இந்த ஒரு நிபந்தனை (நான்கு உச்சியும் ஒரே வட்டத்தின் மீது இருப்பது) ஒரு அற்புதமான விளைவைத் தருகிறது: எதிரே உள்ள இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் $180°$. இந்த ஒரு தேற்றத்தைக் கொண்டே பல கோண கணக்குகளைத் தீர்க்க முடியும்.
ஏன் இப்படி நிகழ்கிறது? ஒரு வில் (arc) மையத்தில் செய்யும் கோணம், அதே வில் சுற்றளவில் (சுற்றுவட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியில்) செய்யும் கோணத்தின் இரு மடங்கு என்பது ஒரு அடிப்படை வட்டப் பண்பு. வட்ட நாற்பக்கல் $ABCD$ இல் $\angle A$ ($BCD$ வில் மீது நின்று பார்க்கும் கோணம்) மற்றும் $\angle C$ ($BAD$ வில் மீது நின்று பார்க்கும் கோணம்) ஆகிய இரண்டும் சேர்ந்து, முழு வட்டத்தையும் சுற்றி வரும் மையக் கோணமான $360°$ இன் பாதியைத்தான் பகிர்ந்துகொள்கின்றன. ஆகவே $\angle A + \angle C = \dfrac{360°}{2} = 180°$. இதே காரணத்தால் $\angle B + \angle D = 180°$ ஆகும்.
ஒரு பக்கத்தை நீட்டுவதால் வெளியே உருவாகும் புறக் கோணம் (exterior angle), அதற்கு எதிரே உள்ள உட்கோணத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். இது ஏன் உண்மை? புறக் கோணமும் அதற்கு அருகில் உள்ள உட்கோணமும் ஒரு நேர்க்கோட்டில் அமைவதால் சேர்ந்து $180°$ கொடுக்கும். அதே அருகில் உள்ள உட்கோணம், தேற்றம் 1 படி, எதிர் உட்கோணத்துடன் சேர்ந்தும் $180°$ கொடுக்கும். இரண்டு கூட்டுத்தொகைகளும் ஒரே அருகிலுள்ள கோணத்துடன் $180°$ ஆவதால், புறக் கோணமும் எதிர் உட்கோணமும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கவேண்டும்.
வட்டத்தின் மையம் $O$ இலிருந்து சுற்றுவட்டத்தின் இரு உச்சிகளுக்கு வரையும் ஆரங்கள் எப்போதும் சமம் (ஏனெனில் ஒரே வட்டத்தின் ஆரங்கள்) — ஆகவே $\triangle OAB$ ஒரு இருசமபக்க முக்கோணி. இருசமபக்க முக்கோணியில் அடிக் கோணங்கள் சமமாக இருக்கும் என்ற பண்பைப் பயன்படுத்தி, வட்டத்தின் மையத்தை உள்ளடக்கிய கோண கணக்குகளையும் தீர்க்க முடியும்.