பரிமாணம் (Dimension) என்றால் என்ன?
ஒரு இயற்பியல் அளவை அடிப்படை அலகுகளுடன் எவ்வாறு தொடர்புபடுகிறது என்பதைக் காட்டும் குறியீட்டு வெளிப்பாடே (symbolic expression) அதன் பரிமாணம். இயக்கவியலிலும் (mechanics) சடப்பண்புகளிலும் (properties of matter) பெரும்பாலும் பயன்படுபவை: திணிவு M, நீளம் L, நேரம் T. வெப்பநிலைக்கு θ (அல்லது K), மின்னோட்டத்துக்கு I (அல்லது A) எனவும் பரிமாணங்கள் உண்டு.
ஒரு அளவையின் பரிமாணம் சதுர அடைப்புக்குள் எழுதப்படும்: [velocity] = L T⁻¹
| அளவை (Quantity) | சூத்திரம் | பரிமாணம் |
|---|---|---|
| பரப்பளவு (area) | நீளம் × அகலம் | L² |
| திசைவேகம் (velocity) | இடப்பெயர்ச்சி ÷ நேரம் | L T⁻¹ |
| ஆர்முடுக்கம் (acceleration) | திசைவேக மாற்றம் ÷ நேரம் | L T⁻² |
| விசை (force) | திணிவு × ஆர்முடுக்கம் | M L T⁻² |
| வேலை / சக்தி (work, energy) | விசை × இடப்பெயர்ச்சி | M L² T⁻² |
| வலு (power) | வேலை ÷ நேரம் | M L² T⁻³ |
| அமுக்கம் (pressure) | விசை ÷ பரப்பளவு | M L⁻¹ T⁻² |
பரிமாணமற்ற அளவைகள்
ஒளிவிலகல் சுட்டி (refractive index), உராய்வுக் குணகம் (coefficient of friction) போன்ற அலகற்ற அளவைகளுக்குப் பரிமாணம் இல்லை. தள கோணம், திண்மக் கோணம் — அலகு உண்டு (rad, sr) ஆனால் பரிமாணம் இல்லை.
பரிமாணப் பகுப்பாய்வின் இரு பயன்கள் (Two uses)
பரிமாணங்களின் முக்கிய இரு பயன்கள்: (1) ஒரு சமன்பாடு சரியா எனச் சோதித்தல்; (2) ஒரு புதிய சமன்பாட்டை உய்த்தல் (derive).
பயன் 1 — சமன்பாட்டின் சரியை சோதித்தல்
ஒரு சமன்பாடு சரியெனில், இரு பக்கங்களின் பரிமாணமும் சமமாக இருக்க வேண்டும். பல உறுப்புகள் (terms) இருந்தால், ஒவ்வொரு உறுப்பின் பரிமாணமும் ஒன்றாகவே இருக்க வேண்டும். இதை பரிமாண சமனிலை (homogeneity) கொள்கை என்பர்.
எடுத்துக்காட்டு: v = u + at சரியா எனச் சோதிக்க.
[v] = L T⁻¹ · [u] = L T⁻¹ · [at] = (L T⁻²)(T) = L T⁻¹
மூன்று உறுப்பும் L T⁻¹ — பரிமாணம் சமம். ∴ சமன்பாடு பரிமாண ரீதியில் சரி. ✓
[v] = L T⁻¹ · [u] = L T⁻¹ · [at] = (L T⁻²)(T) = L T⁻¹
மூன்று உறுப்பும் L T⁻¹ — பரிமாணம் சமம். ∴ சமன்பாடு பரிமாண ரீதியில் சரி. ✓
எடுத்துக்காட்டு: s = ut + ½at²
[s] = L · [ut] = (L T⁻¹)(T) = L · [½at²] = (L T⁻²)(T²) = L
(½ என்பது எண் மாறிலி — பரிமாணமில்லை.) எல்லா உறுப்பும் L. ∴ சரி. ✓
[s] = L · [ut] = (L T⁻¹)(T) = L · [½at²] = (L T⁻²)(T²) = L
(½ என்பது எண் மாறிலி — பரிமாணமில்லை.) எல்லா உறுப்பும் L. ∴ சரி. ✓
எச்சரிக்கை
பரிமாணப் பகுப்பாய்வு சமன்பாடு சரியில்லை எனக் காட்ட முடியும், ஆனால் முழுமையாகச் சரி எனக் காட்ட முடியாது — ஏனெனில் ½, π போன்ற பரிமாணமற்ற மாறிலிகளை அது கண்டறிய முடியாது. s = ut + at² (½ இல்லாமல்) பரிமாண ரீதியில் சரியாகத் தோன்றும், ஆனால் இயற்பியல் ரீதியில் தவறு.
பயன் 2 — சமன்பாட்டை உய்த்தல் (deriving)
எளிய ஊசலின் (simple pendulum) ஆட்டக் காலத்தை (periodic time, T) உய்ப்போம். அது பின்வருவனவற்றைச் சார்ந்திருக்கலாம்: ஊசல் குண்டின் திணிவு (m), ஊசலின் நீளம் (l), ஈர்ப்பு ஆர்முடுக்கம் (g).
T = k mˣ lʸ gᶻ (k = பரிமாணமற்ற மாறிலி)
பரிமாணம்: T = Mˣ Lʸ (L T⁻²)ᶻ = Mˣ L^(y+z) T^(−2z)
M: x = 0 · T: −2z = 1 → z = −½ · L: y + z = 0 → y = ½
∴ T = k √(l/g) (உண்மையில் k = 2π — இதைப் பரிமாணம் தராது).
பரிமாணம்: T = Mˣ Lʸ (L T⁻²)ᶻ = Mˣ L^(y+z) T^(−2z)
M: x = 0 · T: −2z = 1 → z = −½ · L: y + z = 0 → y = ½
∴ T = k √(l/g) (உண்மையில் k = 2π — இதைப் பரிமாணம் தராது).
இது மிக முக்கியம்: m சார்பு இல்லை — ஊசலின் காலம் குண்டின் திணிவைச் சாராது என்பதை இங்கே பரிமாணமே காட்டுகிறது.
தேர்வாளர் குறிப்பு
- சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரே பரிமாணம் கொண்டிருக்க வேண்டும் (homogeneity).
- பரிமாணம் ½, π, 2π போன்ற எண் மாறிலிகளைத் தராது.
- உய்த்தலில் M, L, T அடுக்குகளைத் தனித்தனியே சமன்செய்க.
தேர்வுப் பாணி வினா
வினா
அண்ட ஈர்ப்பு விதி F = GMm/r²-இல் G-இன் பரிமாணம் என்ன?
விடையைக் காண்க
G = Fr²/(Mm) = [M L T⁻²][L²]/[M²] = [M⁻¹ L³ T⁻²].
🎯 MCQ பயிற்சி — 20 கேள்விகள்
விடையைத் தெரிவுசெய்யவும் — பின்னர் ஒவ்வொரு விருப்பத்துக்கும் ஏன் சரி / தவறு எனும் விளக்கமும் ஆழமான விளக்கமும் (deep explanation) தோன்றும்.
Q1 / 20
★★★★★
விசையின் (force) பரிமாண சூத்திரம் (dimensional formula)?
(1) [M L T⁻¹]
அது உந்தம்.
(2) [M L T⁻²]
சரி — F=ma = M·LT⁻² = M L T⁻².
(3) [M L² T⁻²]
அது ஆற்றல்.
(4) [M L⁻¹ T⁻²]
அது அழுத்தம்.
(5) [M L² T⁻³]
அது வலு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): F = ma = [M][L T⁻²] = [M L T⁻²].
Q2 / 20
★★★★★
ஆற்றலின் (energy) பரிமாணம்?
(1) [M L T⁻²]
அது விசை.
(2) [M L² T⁻²]
சரி — E=Fd = [M L T⁻²][L] = [M L² T⁻²].
(3) [M L² T⁻³]
அது வலு.
(4) [M L² T⁻¹]
தவறு.
(5) [M L⁻¹ T⁻²]
அது அழுத்தம்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): வேலை = விசை×தூரம் = [M L T⁻²][L] = [M L² T⁻²].
Q3 / 20
★★★★☆
அழுத்தத்தின் (pressure) பரிமாணம்?
(1) [M L⁻¹ T⁻²]
சரி — P=F/A = [M L T⁻²]/[L²] = [M L⁻¹ T⁻²].
(2) [M L T⁻²]
அது விசை.
(3) [M L² T⁻²]
அது ஆற்றல்.
(4) [M L⁻² T⁻²]
தவறு.
(5) [M L⁻¹ T⁻¹]
அது பாகுத்தன்மை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): அழுத்தம் = விசை/பரப்பு = [M L T⁻²]/[L²] = [M L⁻¹ T⁻²].
Q4 / 20
★★★★☆
வலுவின் (power) பரிமாணம்?
(1) [M L² T⁻²]
அது ஆற்றல்.
(2) [M L² T⁻³]
சரி — P=E/t = [M L² T⁻²]/[T] = [M L² T⁻³].
(3) [M L T⁻³]
தவறு.
(4) [M L² T⁻¹]
தவறு.
(5) [M L T⁻²]
அது விசை.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): வலு = ஆற்றல்/நேரம் = [M L² T⁻²]/[T] = [M L² T⁻³].
Q5 / 20
★★★★☆
பின்வருவனவற்றுள் ஒரே பரிமாணம் கொண்ட இணை?
(1) வேலை, வலு / work, power
வேறு.
(2) வேலை, ஆற்றல் / work, energy
சரி — இரண்டும் [M L² T⁻²].
(3) விசை, அழுத்தம் / force, pressure
வேறு.
(4) வேகம், ஆர்முடுக்கம் / velocity, acceleration
வேறு.
(5) உந்தம், விசை / momentum, force
வேறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): வேலையும் ஆற்றலும் ஒரே அளவு (J) → ஒரே பரிமாணம் [M L² T⁻²]. (வேலை-ஆற்றல் கோட்பாடு.)
Q6 / 20
★★★★☆
g (ஈர்ப்பு ஆர்முடுக்கம்) இன் பரிமாணம்?
(1) [L T⁻¹]
அது வேகம்.
(2) [L T⁻²]
சரி — ஆர்முடுக்கம் [L T⁻²].
(3) [M L T⁻²]
அது விசை.
(4) [L² T⁻²]
தவறு.
(5) [T⁻²]
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): g ஓர் ஆர்முடுக்கம் → [L T⁻²].
Q7 / 20
★★★★★
ஓர் எளிய ஊசலின் ஆட்டக்காலம் T = 2π√(l/g). வலப்பக்கப் பரிமாணம்?
(1) [T]
சரி — √(L / L T⁻²) = √(T²) = [T].
(2) [T⁻¹]
தவறு.
(3) [L]
தவறு.
(4) [T²]
தவறு.
(5) [L T⁻¹]
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): √(l/g) = √([L]/[L T⁻²]) = √[T²] = [T]; 2π பரிமாணமற்றது. எனவே இடப்பக்கம் (T) உடன் பரிமாண ஒத்திசைவு.
Q8 / 20
★★★★☆
பரிமாண பகுப்பாய்வால் சரிபார்க்க முடியாதது எது?
(1) சமன்பாட்டின் ஒத்திசைவு / check consistency
செய்யும்.
(2) அலகு மாற்றம் / convert units
செய்யும்.
(3) பரிமாணமற்ற மாறிலியின் மதிப்பு / value of a dimensionless constant
சரி — 2π போன்ற எண் மாறிலியைத் தராது.
(4) ஒரு சூத்திரத்தை யூகித்தல் / suggest a formula
செய்யும் (பகுதியாக).
(5) பரிமாணம் தருதல் / give dimensions
செய்யும்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): பரிமாண பகுப்பாய்வு பரிமாணமற்ற எண் மாறிலிகளை (½, 2π) தீர்மானிக்காது; ஒத்திசைவையும் அலகு மாற்றத்தையும் மட்டுமே தரும்.
Q9 / 20
★★★★☆
உந்தத்தின் (momentum) பரிமாணம்?
(1) [M L T⁻¹]
சரி — p=mv = [M][L T⁻¹].
(2) [M L T⁻²]
அது விசை.
(3) [M L² T⁻¹]
தவறு.
(4) [M L² T⁻²]
அது ஆற்றல்.
(5) [L T⁻¹]
அது வேகம்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): p = mv = [M][L T⁻¹] = [M L T⁻¹].
Q10 / 20
★★★☆☆
பரிமாணமற்ற அளவு (dimensionless quantity) எது?
(1) வேகம் / velocity
பரிமாணம் உண்டு.
(2) விகாரம் (strain) / strain
சரி — விகாரம் = ΔL/L (நீளம்/நீளம்).
(3) விசை / force
பரிமாணம் உண்டு.
(4) அடர்த்தி / density
பரிமாணம் உண்டு.
(5) அழுத்தம் / pressure
பரிமாணம் உண்டு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): விகாரம் = ஒப்பீட்டு நீட்டம் = [L]/[L] = பரிமாணமற்றது. (கோணம், ஒளிவிலகல் சுட்டியும் அவ்வாறே.)
Q11 / 20
★★★★☆
F = kx²-இல் (k மாறிலி, F விசை, x நீளம்) k-இன் பரிமாணம்?
(1) [M T⁻²]
தவறு.
(2) [M L⁻¹ T⁻²]
சரி — k = F/x² = [M L T⁻²]/[L²] = [M L⁻¹ T⁻²].
(3) [M L T⁻²]
அது விசை.
(4) [M L⁻² T⁻²]
தவறு.
(5) [M T⁻¹]
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): k = F/x² = [M L T⁻²]/[L²] = [M L⁻¹ T⁻²].
Q12 / 20
★★★☆☆
வேகத்தின் (velocity) பரிமாணம்?
(1) [L T⁻¹]
சரி — [L]/[T] = [L T⁻¹].
(2) [L T⁻²]
அது ஆர்முடுக்கம்.
(3) [L² T⁻¹]
தவறு.
(4) [T⁻¹]
அது அதிர்வெண்.
(5) [L]
அது நீளம்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): வேகம் = தூரம்/நேரம் = [L T⁻¹].
Q13 / 20
★★★★☆
v = u + at — இது பரிமாண ஒத்திசைவுடையதா?
(1) இல்லை / no
தவறு.
(2) ஆம், ஒவ்வொரு உறுப்பும் [L T⁻¹] / yes, each term is [L T⁻¹]
சரி.
(3) ஆம், ஒவ்வொன்றும் [L T⁻²] / yes, each is [L T⁻²]
at மட்டும் தவறாகக் கணிக்கப்பட்டது.
(4) ஆம், ஒவ்வொன்றும் [L] / yes, each is [L]
தவறு.
(5) தீர்மானிக்க முடியாது / cannot tell
முடியும்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): v: [L T⁻¹]; u: [L T⁻¹]; at: [L T⁻²][T] = [L T⁻¹]. மூன்றும் சமம் → ஒத்திசைவு.
Q14 / 20
★★★☆☆
அடர்த்தியின் (density) பரிமாணம்?
(1) [M L⁻³]
சரி — ρ=m/V = [M]/[L³] = [M L⁻³].
(2) [M L³]
தவறு.
(3) [M L⁻²]
தவறு.
(4) [M L⁻¹]
தவறு.
(5) [M L⁻³ T⁻¹]
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): அடர்த்தி = திணிவு/கனவளவு = [M]/[L³] = [M L⁻³].
Q15 / 20
★★★☆☆
அதிர்வெண்ணின் (frequency) பரிமாணம்?
(1) [T]
அது நேரம்.
(2) [T⁻¹]
சரி — 1/T = [T⁻¹].
(3) [L T⁻¹]
அது வேகம்.
(4) [T⁻²]
அது ஆர்முடுக்கம் போன்றது.
(5) [L⁻¹]
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): அதிர்வெண் = 1/காலம் = [T⁻¹].
Q16 / 20
★★★★☆
E = ½mv²-இன் இருபக்கப் பரிமாணம் சமமா?
(1) இல்லை / no
தவறு.
(2) ஆம், இரண்டும் [M L² T⁻²] / yes, both [M L² T⁻²]
சரி.
(3) ஆம், இரண்டும் [M L T⁻²] / yes, both [M L T⁻²]
தவறு.
(4) ½ பரிமாணத்தை மாற்றும் / ½ changes dimensions
தவறு — ½ பரிமாணமற்றது.
(5) தீர்மானிக்க முடியாது / cannot tell
முடியும்.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): வலப்பக்கம்: [M][L T⁻¹]² = [M L² T⁻²] = ஆற்றலின் பரிமாணம். ½ பரிமாணமற்றது.
Q17 / 20
★★★☆☆
ஓர் அளவின் பரிமாணம் [M L² T⁻³] எனில் அது:
(1) ஆற்றல் / energy
ஆற்றல் [M L² T⁻²].
(2) வலு / power
சரி — வலு.
(3) விசை / force
தவறு.
(4) உந்தம் / momentum
தவறு.
(5) அழுத்தம் / pressure
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): வலு = [M L² T⁻³] (watt). T-இன் அடுக்கு −3 → வலு.
Q18 / 20
★★★☆☆
ஒளிவிலகல் சுட்டியின் (refractive index) பரிமாணம்?
(1) [L T⁻¹]
அது வேகம்.
(2) பரிமாணமற்றது / dimensionless
சரி — n = c/v (வேகம்/வேகம்).
(3) [L]
தவறு.
(4) [T⁻¹]
தவறு.
(5) [M]
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): n = c/v → [L T⁻¹]/[L T⁻¹] = பரிமாணமற்றது.
Q19 / 20
★★★★☆
F = 6πηrv (ஸ்டோக்ஸ்) — η பாகுத்தன்மை. η-இன் பரிமாணம்?
(1) [M L⁻¹ T⁻¹]
சரி — η = F/(rv) = [M L T⁻²]/([L][L T⁻¹]) = [M L⁻¹ T⁻¹].
(2) [M L T⁻¹]
தவறு.
(3) [M L⁻¹ T⁻²]
அது அழுத்தம்.
(4) [M L⁻² T⁻¹]
தவறு.
(5) [M T⁻¹]
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): η = F/(6πrv); 6π பரிமாணமற்றது. [M L T⁻²]/([L][L T⁻¹]) = [M L⁻¹ T⁻¹] (Pa s).
Q20 / 20
★★★☆☆
பரிமாண பகுப்பாய்வு ஒரு சமன்பாட்டைச் சரி எனக் காட்டினால்:
(1) நிச்சயமாகச் சரி / definitely correct
இல்லை — மாறிலி தெரியாது.
(2) பரிமாண ரீதியில் சாத்தியம், ஆனால் எண் மாறிலி உறுதியில்லை / dimensionally possible but numeric factor unconfirmed
சரி.
(3) நிச்சயமாகத் தவறு / definitely wrong
தவறு.
(4) அலகற்றது / unitless
தவறு.
(5) முழுமையானது / complete
தவறு.
ஆழமான விளக்கம் (Deep): பரிமாண ஒத்திசைவு அவசிய நிபந்தனை, போதிய நிபந்தனை அல்ல — ½, 2π போன்ற மாறிலிகளை அது சரிபார்க்காது.
📝 கட்டமைக்கப்பட்ட வினாக்கள் — 3
கட்டமைப்பு வினா 1
7 புள்ளி
பரிமாண சூத்திரங்கள்.
(a) விசை, வேலை, வலு ஆகியவற்றின் பரிமாண சூத்திரங்களைத் தருவிக்க.
விடை
விசை = ma = [M][L T⁻²] = [M L T⁻²]
வேலை = Fd = [M L T⁻²][L] = [M L² T⁻²]
வலு = வேலை/நேரம் = [M L² T⁻²]/[T] = [M L² T⁻³]
(b) F = mv²/r என்ற வட்ட இயக்க விசைச் சூத்திரம் பரிமாண ஒத்திசைவுடையதா எனச் சோதிக்க.
விடை
வலப்பக்கம் = [M][L T⁻¹]²/[L] = [M L² T⁻²]/[L] = [M L T⁻²]
இடப்பக்கம் (விசை) = [M L T⁻²] ✓
இரு பக்கமும் சமம் → ஒத்திசைவு.
கட்டமைப்பு வினா 2
6 புள்ளி
மாறிலியின் பரிமாணம்.
(a) அண்ட ஈர்ப்பு விதி F = GMm/r²-இல் G-இன் பரிமாணத்தைக் கண்டறிக.
விடை
G = Fr²/(Mm)
= [M L T⁻²][L²]/([M][M])
= [M L³ T⁻²]/[M²] = [M⁻¹ L³ T⁻²]
(b) E = hf-இல் (E ஆற்றல், f அதிர்வெண்) ப்ளாங்க் மாறிலி h-இன் பரிமாணம்?
விடை
h = E/f = [M L² T⁻²]/[T⁻¹] = [M L² T⁻¹]
கட்டமைப்பு வினா 3
5 புள்ளி
பரிமாண பகுப்பாய்வின் வரம்புகள்.
(a) பரிமாண பகுப்பாய்வின் இரு பயன்களைக் கூறுக.
விடை
(1) சமன்பாட்டின் பரிமாண ஒத்திசைவைச் சரிபார்த்தல். (2) அளவுகளுக்கிடையேயான சாத்தியமான தொடர்பை (சூத்திர வடிவம்) யூகித்தல்; அலகு மாற்றமும்.
(b) அதன் இரு வரம்புகளைக் கூறுக.
விடை
(1) பரிமாணமற்ற எண் மாறிலிகளை (½, 2π) தீர்மானிக்காது. (2) கூட்டல்/கழித்தல் கொண்ட சமன்பாடுகளையோ, தனிப்பட்ட பரிமாணமற்ற சார்புகளையோ (sin, log) கையாள முடியாது.
✍️ கட்டுரை வினாக்கள் — 4
கட்டுரை வினா 1
10 புள்ளி
(a) ஒரு அளவின் பரிமாணம் என்றால் என்ன எனக் கூறுக. (b) வேகம், ஆர்முடுக்கம், விசை, ஆற்றல், வலு, அழுத்தம் ஆகியவற்றின் பரிமாண சூத்திரங்களைத் தருக. (c) பரிமாண பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி v = u + at சமன்பாட்டின் ஒத்திசைவைச் சோதிக்க.
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) ஒரு அளவின் பரிமாணம் என்பது அது அடிப்படை அளவுகளால் (M, L, T, …) எவ்வாறு கட்டப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டும் அடுக்குக் குறியீடு.
(b) வேகம் [L T⁻¹]; ஆர்முடுக்கம் [L T⁻²]; விசை [M L T⁻²]; ஆற்றல் [M L² T⁻²]; வலு [M L² T⁻³]; அழுத்தம் [M L⁻¹ T⁻²].
(c)
(b) வேகம் [L T⁻¹]; ஆர்முடுக்கம் [L T⁻²]; விசை [M L T⁻²]; ஆற்றல் [M L² T⁻²]; வலு [M L² T⁻³]; அழுத்தம் [M L⁻¹ T⁻²].
(c)
v = [L T⁻¹]
u = [L T⁻¹]
at = [L T⁻²][T] = [L T⁻¹]
மூன்று உறுப்புகளும் [L T⁻¹] → பரிமாண ஒத்திசைவு உறுதி. (ஆயினும் இது சமன்பாட்டை முழுமையாக நிரூபிக்காது.)
கட்டுரை வினா 2
10 புள்ளி
(a) ஓர் எளிய ஊசலின் ஆட்டக்காலம் T அதன் நீளம் l, திணிவு m, ஈர்ப்பு g ஆகியவற்றைச் சார்ந்திருக்கலாம் எனக் கருதி, பரிமாண பகுப்பாய்வால் T = k·lᵃmᵇgᶜ வடிவத்தில் a, b, c-ஐக் கண்டறிக. (b) இதிலிருந்து திணிவு T-ஐப் பாதிக்காது என்பதைக் காட்டுக. (c) இம்முறையின் ஒரு வரம்பைக் கூறுக.
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) பரிமாணம்: [T] = [L]ᵃ[M]ᵇ[L T⁻²]ᶜ = [M]ᵇ [L]^{a+c} [T]^{-2c}.
(b) b = 0 ஆதலால் m-இன் அடுக்கு பூச்சியம் → திணிவு T-ஐப் பாதிக்காது.
(c) மாறிலி k (= 2π) பரிமாண பகுப்பாய்வால் கிடைக்காது; அதைப் பரிசோதனை அல்லது கோட்பாடு மூலமே பெற வேண்டும்.
M: b = 0
T: −2c = 1 → c = −½
L: a + c = 0 → a = ½
எனவே T = k·l^{½} g^{−½} = k√(l/g).(b) b = 0 ஆதலால் m-இன் அடுக்கு பூச்சியம் → திணிவு T-ஐப் பாதிக்காது.
(c) மாறிலி k (= 2π) பரிமாண பகுப்பாய்வால் கிடைக்காது; அதைப் பரிசோதனை அல்லது கோட்பாடு மூலமே பெற வேண்டும்.
கட்டுரை வினா 3
10 புள்ளி
(a) பரிமாணமற்ற அளவுகள் என்றால் என்ன எனக் கூறி, இரண்டு உதாரணம் தருக. (b) F = GMm/r²-இல் G-இன் பரிமாணத்தைக் கண்டறிக. (c) ஒரு மாணவன் தவறுதலாக இயக்க ஆற்றல் KE = mv எனக் கூறுகிறான். பரிமாண பகுப்பாய்வால் இது தவறு என நிறுவுக.
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) பரிமாணமற்ற அளவு = அடிப்படை அளவுகளின் அடுக்குகள் அனைத்தும் பூச்சியமாக இருப்பது; எண் மட்டுமே. எ.கா விகாரம் (strain), ஒளிவிலகல் சுட்டி, கோணம் (rad).
(b)
(c) KE-இன் சரியான பரிமாணம் [M L² T⁻²]. மாணவனின் கூற்று: mv = [M][L T⁻¹] = [M L T⁻¹]. இது [M L² T⁻²]-உடன் ஒவ்வாது (L, T அடுக்குகள் வேறு) → எனவே KE = mv தவறு. (சரி: KE = ½mv², [M][L T⁻¹]² = [M L² T⁻²] ✓.)
(b)
G = Fr²/Mm = [M L T⁻²][L²]/[M²] = [M⁻¹ L³ T⁻²]
(c) KE-இன் சரியான பரிமாணம் [M L² T⁻²]. மாணவனின் கூற்று: mv = [M][L T⁻¹] = [M L T⁻¹]. இது [M L² T⁻²]-உடன் ஒவ்வாது (L, T அடுக்குகள் வேறு) → எனவே KE = mv தவறு. (சரி: KE = ½mv², [M][L T⁻¹]² = [M L² T⁻²] ✓.)
கட்டுரை வினா 4
10 புள்ளி
(a) பரிமாண பகுப்பாய்வின் மூன்று பயன்பாடுகளைக் கூறுக. (b) அதன் மூன்று வரம்புகளைக் கூறுக. (c) ஒரு வாயுவில் ஒலியின் வேகம் v அழுத்தம் P, அடர்த்தி ρ ஆகியவற்றைச் சார்ந்திருக்கலாம். v = k·Pᵃρᵇ எனக் கொண்டு a, b-ஐக் கண்டறிக.
மாதிரி விடையைக் காண்க
(a) (1) சமன்பாட்டின் ஒத்திசைவைச் சரிபார்த்தல்; (2) அளவுகளுக்கிடையேயான சூத்திர வடிவத்தை யூகித்தல்; (3) அலகு முறைகளுக்கிடையே மாற்றுதல்.
(b) (1) எண் மாறிலிகளை (k) தராது; (2) ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சார்பு உறுப்புகள் இருந்தால் தீர்க்காது; (3) sin, log போன்ற சார்புகளைக் கையாளாது.
(c) [v] = [P]ᵃ[ρ]ᵇ → [L T⁻¹] = [M L⁻¹ T⁻²]ᵃ [M L⁻³]ᵇ = [M]^{a+b} [L]^{−a−3b} [T]^{−2a}.
(b) (1) எண் மாறிலிகளை (k) தராது; (2) ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சார்பு உறுப்புகள் இருந்தால் தீர்க்காது; (3) sin, log போன்ற சார்புகளைக் கையாளாது.
(c) [v] = [P]ᵃ[ρ]ᵇ → [L T⁻¹] = [M L⁻¹ T⁻²]ᵃ [M L⁻³]ᵇ = [M]^{a+b} [L]^{−a−3b} [T]^{−2a}.
T: −2a = −1 → a = ½
M: a + b = 0 → b = −½
(L சரிபார்ப்பு: −a−3b = −½+3/2 = 1 = வேகத்தின் L அடுக்கு ✓)
எனவே v = k√(P/ρ).