🔥 மீட்டல் — தரம் 11

அலகு 1 — மெய்யெண்கள்

• எண் தொடைகள்: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
• $\mathbb{Q}$ விகிதமுறும் $= \dfrac{a}{b}$ ($a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$); $\mathbb{Q}'$ விகிதமுறா.
• விகிதமுறும் = முடிவுறு அல்லது மடங்கு தசமம். விகிதமுறா = முடிவுறா & மீளா.
• $\sqrt{n}$ விகிதமுறும் ஆவது $n$ நிறை வர்க்கமானால் மட்டுமே.
• சேடு எளிய வடிவம் $a\sqrt{b}$: $b$ இல் நிறை வர்க்கக் காரணி இருக்கக் கூடாது.

அலகு 2 — சுட்டிகளும் மடக்கைகளும் I

• சுட்டி விதிகள்: $a^m a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$.
• $a^0 = 1$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$, $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.
• மடக்கை: $a^x = N \Leftrightarrow \log_a N = x$.
• $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$, $\log_a M^n = n\log_a M$.
• $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$.

அலகு 3 — சுட்டிகளும் மடக்கைகளும் II

• மடக்கை $=$ சிறப்பியல்பு $+$ தசமக்கூறு. தசமக்கூறு எப்போதும் நேர்.
• $1$ இலும் குறைந்த எண்: சிறப்பியல்பு மறை, பட்டை ($\bar{1}, \bar{2}$) குறியீட்டில்.
• $0 < x < 1$: சிறப்பியல்பு $= -(\text{புள்ளிக்குப் பின் பூச்சியங்கள்}) - 1$.
• பட்டை $\bar{n}.mmmm = -n + 0.mmmm$.
• விதிகள்: $\lg(MN)=\lg M+\lg N$, $\lg M^n = n\lg M$.

அலகு 4 — திண்மங்களின் மேற்பரப்பின் பரப்பளவு

• கூம்பு சாயுரம் $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ (பைதகரஸ்).
• கூம்பு: வளைப்பரப்பு $= \pi r l$; மொத்தம் $= \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$.
• சதுர அடிக் கூம்பகம்: மொத்தம் $= a^2 + 2al$ ($l$ = முகச்சாய்வு உயரம்).
• கோளம் $= 4\pi r^2$.
• அரைக்கோளம்: வளைப்பரப்பு $2\pi r^2$, மொத்தம் $3\pi r^2$.

அலகு 5 — திண்மங்களின் கனவளவு

• கூம்பு கனவளவு $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ (செங்குத்து உயரம் $h$).
• கூம்பகம் $V = \dfrac{1}{3} \times$ அடிப் பரப்பு $\times h$.
• கோளம் $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$; அரைக்கோளம் $\dfrac{2}{3}\pi r^3$.
• கூம்பு/கூம்பகம் $=$ அதே $r,h$ உருளை/அரியத்தின் $\dfrac{1}{3}$.
• மீட்டல்: உருளை $\pi r^2 h$, கனவை $lbh$, சதுரமுகி $a^3$.

அலகு 6 — ஈறுறுப்புக் கோவைகள்

• வர்க்கம்: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
• கனம்: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
• $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ (அடையாளம் $+,-,+,-$).
• குணகங்கள் $1, 3, 3, 1$ (பாஸ்கல்).
• $(2x)^3 = 8x^3$ — குணகத்தையும் கனப்படுத்து.

அலகு 7 — அட்சரகணிதப் பின்னங்கள்

• பெருக்கல்: $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ (காரணியாக்கி நீக்கு).
• வகுத்தல்: $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ (தலைகீழாக்கிப் பெருக்கு).
• கூட்டல்/கழித்தல்: பொது பகுதி (பொ.ம.க.சி) கொண்டு.
• காரணியாக்கம்: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$.
• நீக்கம் காரணிகளுக்கு மட்டும்; கூட்டல் தொகுதியை நீக்காதே.

அலகு 8 — சமாந்தரக் கோடுகளுக்கிடையே உள்ள தளவுருவங்களின் பரப்பளவு

• முக்கோணி $= \dfrac{1}{2}bh$; இணைகரம் $= bh$; சரிவகம் $= \dfrac{1}{2}(a+b)h$.
• தேற்றம் 1: ஒரே அடி+சமாந்தர இணைகரங்கள் சம பரப்பு.
• தேற்றம் 2: ஒரே அடி+சமாந்தர முக்கோணி $= \dfrac{1}{2}$ இணைகரம்.
• தேற்றம் 3: ஒரே அடி+சமாந்தர முக்கோணிகள் சம பரப்பு.
• நிபந்தனை: ஒரே அடி மற்றும் ஒரே சமாந்தரங்கள்.

அலகு 9 — சதவீதம்

• எளிய வட்டி $I = \dfrac{PRT}{100}$.
• கூட்டு வட்டி: $A = P\left(1+\dfrac{R}{100}\right)^n$; வட்டி $= A - P$.
• குறைந்து மீதி: வட்டி எஞ்சிய கடனின் மீது மட்டுமே.
• ஆண்டு வீதம் $\div 12 = $ மாத வீதம் ($24\% \to 2\%$).
• இலாப % $= \dfrac{\text{இலாபம்}}{\text{விலை}} \times 100$.

அலகு 10 — பங்குச்சந்தை

• முதலீடு $=$ பங்கு எண்ணிக்கை $\times$ ஒரு பங்கின் விலை.
• பங்கு எண்ணிக்கை $= \dfrac{\text{முதலீடு}}{\text{ஒரு பங்கின் விலை}}$.
• ஆண்டு வருமானம் $=$ எண்ணிக்கை $\times$ ஒரு பங்கின் பங்கிலாபம்.
• வருமான வீதம் $\% = \dfrac{\text{வருமானம்}}{\text{முதலீடு}} \times 100$.
• முகப்பு விலை (face) ≠ மந்தை விலை (market).

அலகு 11 — நடுப்புள்ளித் தேற்றம்

• நடுப்புள்ளித் தேற்றம்: $PQ \parallel BC$ மற்றும் $PQ = \dfrac{1}{2}BC$.
• $P, Q$ = இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்.
• மறுதலை: ஒரு நடுப்புள்ளி + சமாந்தரம் → மற்றதை இருசமக்கூறிடும்.
• நடுப்புள்ளி முக்கோணி = மூலத்தின் $\tfrac14$ பரப்பு, $\tfrac12$ சுற்றளவு.
• நாற்பக்க நடுப்புள்ளிகள் → இணைகரம் (வேரிஞான்).

அலகு 12 — வரைபுகள்

• இருபடி வரைபு $y = ax^2 + bx + c$ — பரவளைவு. $a>0$ ∪, $a<0$ ∩.
• சமச்சீர் அச்சு $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• மூலங்கள் = $x$-வெட்டுக்கள் ($y=0$).
• திருப்பப் புள்ளி: அச்சு $x$ இல் $y$ கணி.
• ஒருங்கமை சமன்பாடு: இரு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியே தீர்வு.

அலகு 13 — சமன்பாடுகள்

• ஒருங்கமை: நீக்கல் (கூட்டு/கழி) அல்லது பிரதியீடு.
• இருபடி $ax^2+bx+c=0$ — 3 முறை: காரணி, வர்க்கப் பூர்த்தி, சூத்திரம்.
• இருபடிச் சூத்திரம்: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
• பாகுபடுத்தி $b^2-4ac$: $>0$ இரு மூலம், $=0$ சம, $<0$ மூலமில்லை.
• சொல் வழக்கு: மாறிகள் வரையறுத்து இரு சமன்பாடு உருவாக்கு.

அலகு 14 — இயல்பொத்த முக்கோணிகள்

• இயல்பொத்தல்: ஒரே வடிவம், வேறு அளவு. ஒத்த கோணம் சமம், ஒத்த பக்கம் ஒரே விகிதம்.
• BPT: $DE \parallel BC \Rightarrow \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$.
• மறுதலை: விகிதம் சமம் → சமாந்தரம்.
• நிபந்தனை: இரு கோணம் சமம் (AA) போதும்.
• $\triangle ABC \sim \triangle PQR$: $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{AC}{PR}$.

அலகு 15 — தரவுகளை வகைகுறித்தல்

• வீச்சு $=$ கூடியது $-$ குறைந்தது.
• குவிமீட்டளன் = சேர்ந்த மொத்த மீட்டளன்.
• வளையடி (ogive): குவிமீட்டளன் vs மேல் எல்லை.
• இடையம் $Q_2$ → $\dfrac{n}{2}$; $Q_1$ → $\dfrac{n}{4}$; $Q_3$ → $\dfrac{3n}{4}$.
• IQR $= Q_3 - Q_1$ (நடு $50\%$ பரம்பல்).

அலகு 16 — பெருக்கல் விருத்தி

• பெருக்கல் விருத்தி: ஒவ்வோர் உறுப்பும் $\times r$ (பொது விகிதம்).
• பொது விகிதம் $r = \dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{T_3}{T_2}$ (அடுத்தது $\div$ முந்தையது).
• $n$ ஆம் உறுப்பு $T_n = a \cdot r^{n-1}$.
• கூட்டுத்தொகை $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$.
• கூட்டல் வி: $+d$; பெருக்கல் வி: $\times r$.

அலகு 17 — பைதகரசின் தேற்றம்

• பைதகரஸ்: $c^2 = a^2 + b^2$ ($c$ = செம்பக்கம், மிகப்பெரிய பக்கம்).
• செம்பக்கம் காண: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• தெரியாத பக்கம்: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (செம்பக்கம் தெரிந்தால் கழி).
• மறுதலை: $c^2 = a^2+b^2$ எனில் செங்கோணம்.
• மும்மைகள்: $(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)$.

அலகு 18 — திரிகோணகணிதம்

• SOH-CAH-TOA: $\sin = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{செம்}}$, $\cos = \dfrac{\text{அயல்}}{\text{செம்}}$, $\tan = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{அயல்}}$.
• எதிர்/அயல் கோணத்தைப் பொறுத்து மாறும்.
• $\sin30°=\tfrac12$, $\cos30°=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\tan30°=\tfrac{1}{\sqrt3}$.
• $\sin45°=\cos45°=\tfrac{1}{\sqrt2}$, $\tan45°=1$.
• $\sin60°=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos60°=\tfrac12$, $\tan60°=\sqrt3$.

அலகு 19 — தாயங்கள்

• தாயம் = எண்களை நிரை–நிரல்களாக அடைப்புக்குள் அடுக்கியது.
• வரிசை $=$ நிரை $\times$ நிரல் (நிரை முதலில்).
• நிரைத் தாயம் $1 \times n$; நிரல் தாயம் $m \times 1$; சதுரத் தாயம் $n \times n$.
• அலகுத் தாயம் $I$: மூலை $1$, ஏனைவை $0$. சுழியம்: எல்லாம் $0$.

அலகு 20 — சமனிலிகள்

• சமனிலி குறியீடுகள்: $<$ (சிறிது), $>$ (பெரிது), $\le$ (சிறிது அல்லது சமம்), $\ge$.
• சமன்பாடு போல அவிழ்: இருபுறமும் கூட்டு/கழி/(மறை அல்லாத) பெருக்கு/வகு.
• ⚑ மறை எண்ணால் வகு/பெருக்கினால் — குறியீட்டை மாற்று!
• "அதிகபட்சம்" $\Rightarrow \le$; "குறைந்தபட்சம்" $\Rightarrow \ge$.

அலகு 21 — வட்ட நாற்பக்கல்கள்

• வட்ட நாற்பக்கல் = நான்கு உச்சியும் ஒரே வட்டத்தின் மீது.
• தேற்றம் 1: எதிர்க் கோணங்கள் $180°$ ஆக நிரப்பும் — $\angle A + \angle C = 180°$, $\angle B + \angle D = 180°$.
• தேற்றம் 2: புறக் கோணம் $=$ எதிரே உள்ள உட்கோணம்.
• ஆரங்கள் சமம் $\Rightarrow$ இருசமபக்க முக்கோணி (அடிக் கோணம் சமம்).

அலகு 22 — தொடலிகள்

• தொடலி = வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொடும் நேர்கோடு.
• தேற்றம் 1: தொடு புள்ளியில் ஆரம் $\perp$ தொடலி ($90°$).
• தேற்றம் 2: வெளிப் புள்ளி $P$ இலிருந்து $PA = PB$ (இரு தொடலி சமம்).
• $OP$ ஆனது $\angle APB$ ஐயும் $\angle AOB$ ஐயும் இருசமக் கூறிடும்.

அலகு 23 — அமைப்புகள்

• கருவி: அளவுகோல் $+$ கவராயம் மட்டுமே (கோணமானி இல்லை).
• செங்குத்து இருசமக் கோடு: $A, B$ இலிருந்து சம ஆரம் (பாதிக்கு மேல்) வளைவு → இணை. $90°$ $+$ நடு.
• கோண இருசமக் கோடு: உச்சி வளைவு → புயங்களில் $P,Q$ → சம வளைவு → இணை.
• அமைப்பு வளைவுகளை அழிக்காதே.

அலகு 24 — தொடைகள்

• $A \cup B$ = ஒன்றிப்பு (அல்லது); $A \cap B$ = வெட்டு (இரண்டுமே); $A'$ = நிரப்பி.
• $\varepsilon$ = செம்மைத் தொடை (universal set).
• $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
• "$A$ மட்டும்" $= n(A) - n(A \cap B)$.

அலகு 25 — நிகழ்தகவு

• $P(A) = \dfrac{\text{சாதகம்}}{\text{மொத்தம்}}$. $0 \le P \le 1$.
• நிரப்பி: $P(A') = 1 - P(A)$.
• பகடை: $P(\text{இரட்டை}) = \tfrac12$, $P(5) = \tfrac16$.
• சாரா = மீள்வைப்புடன் ($P$ மாறாது); சார = மீள்வைப்பின்றி ($P$ குறையும்).