🔥 மீட்டல் — தரம் 10 + 11 (முழுமை)

அலகு 1 — ஆரைச்சிறை

• வில்லின் நீளம் $= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}$
• ஆரைச்சிறையின் சுற்றளவு $= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360} + 2r$  ($+2r$ கூட்ட மற).
• அரைவட்ட வில் $= \pi r$ ; கால் வட்ட வில் $= \dfrac{\pi r}{2}$.
• பின்னம் $\dfrac{\theta}{360}$ = வில், முழுப் பரிதியின் என்ன பங்கு.
• NIE இல் $\pi = \dfrac{22}{7}$.

அலகு 2 — வர்க்கமூலம்

• வர்க்கமூலம் = வர்க்கத்தின் நேர்மாறு: $3^2=9 \Rightarrow \sqrt 9 = 3$.
• நிறைவாக்கங்கள்: $11^2{=}121 \dots 21^2{=}441,\ 25^2{=}625$ — மனப்பாடம் செய்.
• அண்ணளவாக்கம்: எண்ணை இரு நிறைவாக்கங்களுக்கு இடையே சிக்கவைத்து, கிட்டிய பக்கம் நோக்கி நகர்.
• வகுத்தல் முறை: இலக்கங்களை இரண்டிரண்டாக ($\overline{17}\ \overline{64}$) பிரி → விடையில் அவ்வளவு இலக்கம்.
• எச்சரிக்கை: $\sqrt{a+b} \neq \sqrt a + \sqrt b$. முதலில் கூட்டு, பின் மூலம்.

அலகு 3 — பின்னங்கள்

• தொகுதி (மேல்) / பகுதி (கீழ்). வகைகள்: முறைமை · முறைமையில்லா · அலகு · கலப்பெண்.
• கூட்டல்/கழித்தல்: பொதுப் பகுதிக்கு மாற்று, பின் தொகுதிகளை மட்டும் கூட்டு/கழி.
• பெருக்கல்: தொகுதி×தொகுதி, பகுதி×பகுதி. "இன்" = பெருக்கல்.
• வகுத்தல்: இரண்டாம் பின்னத்தின் நிகர்மாறால் பெருக்கு ($\div\tfrac{a}{b} = \times\tfrac{b}{a}$).
• ஒழுங்கு: BODMAS — அடைப்பு → இன் → வகு/பெருக்கு → கூட்டு/கழி.

அலகு 4 — சதுரப்புக் கோவைகள்

• $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$  ·  $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
• $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ (வித்தியாச வர்க்கம்).
• பெருக்கம்: முதல் கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் இரண்டாம் கோவையின் ஒவ்வொன்றையும் பெருக்கு (4 பெருக்கல்).
• $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (x-y)^2 + 2xy$.
• எண் வர்க்கம்: $105^2=(100+5)^2$, $99^2=(100-1)^2$.

அலகு 5 — முக்கோணிகளின் ஒருங்கிணைவு

• நான்கு சந்தர்ப்பம்: ப.கோ.ப.(SAS) · கோ.கோ.ப.(AAS) · ப.ப.ப.(SSS) · செ.ப.ப.(RHS).
• ப.கோ.ப. இல் கோணம் இரு பக்கங்களுக்கு இடையே இருக்க வேண்டும். SSA போதாது.
• குறியீடு $\equiv$; எழுத்து வரிசையே ஒத்த உறுப்புகளைச் சொல்லும்.
• மறைந்த சமக் கூறுகள்: பொது பக்கம் · குத்துவெட்டுக் கோணம் · ஒன்று மாறு கோணம் · வட்ட ஆரை.
• ஒருங்கிணைந்தபின் "ஒத்த உறுப்புகள் சமம்" → மீதிப் பக்கம்/கோணம்.

அலகு 6 — பரப்பளவு

• ஆரைச்சிறைப் பரப்பு $= \pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360}$  (பரப்பில் $r^2$ — வர்க்கம்!).
• வில் (சுற்றளவு) $= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}$ — இதில் வர்க்கம் இல்லை. குழப்பாதே.
• அரைவட்டம் $=\dfrac12\pi r^2$, கால் வட்டம் $=\dfrac14\pi r^2$.
• அரைவட்டத்தில் $r = $ விட்டம் $\div 2$.
• முந்தைய: முக்கோணி $\frac12 ah$ · இணைகரம் $ah$ · சரிவகம் $\frac12(a+b)h$ · வட்டம் $\pi r^2$.

அலகு 7 — இருபடிக் கோவைகளின் காரணிகள்

• காரணிப்படுத்தல் = விரித்தலின் நேர்மாறு. எப்போதும் முதலில் பொதுக் காரணி தேடு.
• முவுறுப்பு: நடு உறுப்பைப் பிரி — பெருக்கல் = முதல்×கடைசி, கூட்டல் = நடு.
• குறிகள்: கடைசி $+$ → ஒரே குறி (நடு உறுப்பின்); கடைசி $-$ → எதிர் குறிகள்.
• வர்க்க வித்தியாசம்: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
• நிறை வர்க்கம்: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ — வர்க்க வித்தியாசத்துடன் குழப்பாதே.

அலகு 8 — முக்கோணிகள் I

• அகக் கோணக் கூட்டுத்தொகை $= 180°$.
• புறக் கோணம் $=$ அகத்தெதிர் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை.
• நேர்க்கோட்டில் கோணங்கள் $= 180°$; குத்தெதிர்க் கோணங்கள் சமம்.
• சமாந்தரம்: ஒன்றுவிட்ட = சமம், ஒத்த = சமம், ஒரே பக்க அகம் = $180°$.
• BOC விதி: $\hat{B},\hat{C}$ இருசமவெட்டிகள் → $B\hat{O}C = 90° + \tfrac12\hat{A}$.

அலகு 9 — முக்கோணிகள் II

• தேற்றம்: $AB=AC \Rightarrow A\hat{B}C = A\hat{C}B$ (சம பக்கங்களின் எதிர்க் கோணங்கள் சமம்).
• மறுதலை: $\hat{B}=\hat{C} \Rightarrow$ எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம் ($AC=AB$).
• அடிக் கோணம் $= \dfrac{180° - \text{உச்சிக் கோணம்}}{2}$.
• சமபக்க முக்கோணி → ஒவ்வொரு கோணமும் $60°$.
• மைய/பரிதிக் கோணம்: $B\hat{O}C = 2B\hat{A}C$.

அலகு 10 — நேர்மாறு விகிதசமன்

• நேர்மாறு: ஒன்று கூட மற்றொன்று குறையும். $xy = k$ (மாறிலி).
• நேர்: ஒன்று கூட மற்றொன்றும் கூடும். $\dfrac{x}{y} = k$.
• ஆட்கள் × நாட்கள் $=$ வேலையின் அளவு (மனித-நாட்கள், மாறாது).
• கதி × நேரம் $=$ தூரம் (மாறாது).
• இனங்காண: இரட்டித்தால் இரட்டிப்பு → நேர்; பாதி → நேர்மாறு.

அலகு 11 — தரவுகளை வகைப்படுத்தல்

• ஆரைச்சிறைக் கோணம் $= 360° \times \dfrac{\text{பகுதி}}{\text{மொத்தம்}}$.
• கோணம் → எண்ணிக்கை: $\text{மொத்தம்} \times \dfrac{\theta}{360}$.
• ஒரு அலகின் கோணம் $= \dfrac{360°}{\text{மொத்தம்}}$.
• எல்லாக் கோணமும் சேர்ந்து $360°$ — மீதிப் பகுதியைக் கழித்தல் மூலம் காண்.
• பின்னம் $= \dfrac{\theta}{360}$; சதவீதம் $= \dfrac{\theta}{360}\times100$.

அலகு 12 — அட்சரகணிதக் கோவைகளின் பொது மடங்கு சிறியது

• LCM = எல்லாவற்றாலும் வகுபடும் மிகச் சிறிய கோவை.
• ஒவ்வொரு வேறுபட்ட காரணியின் மிகப் பெரிய வலுவை எடுத்துப் பெருக்கு.
• எண்ணுக்கும் ஒவ்வொரு மாறிக்கும் ஈருறுப்புக் காரணிக்கும் தனித்தனியே பெரிய வலு.
• ஈருறுப்பு/இருபடி வந்தால் முதலில் காரணிப்படுத்து.
• $(b-a) = -(a-b)$ — ஒரே காரணி, குறி மட்டும் வேறு.

அலகு 13 — அட்சரகணிதப் பின்னங்கள்

• பகுதிகளின் பொ.ம.க.சி ஐப் பொதுப் பகுதியாக்கு, பின் தொகுதிகளைக் கூட்டு/கழி.
• பகுதி ஒன்றானபின் தொகுதிகளை மட்டும் செய்.
• பகுதியில் இருபடி வந்தால் முதலில் காரணிப்படுத்து.
• கழித்தலில் முழுத் தொகுதியையும் எதிர்க்குறியாக்கு: $-(3x+1)$.
• கடைசியில் தொகுதி/பகுதி பொது காரணியால் சுருங்குமா எனப் பார்.

அலகு 14 — சதவீதம்

• தொகையின் $r\% = \text{தொகை}\times\dfrac{r}{100}$.
• சதவீதம் காண $= \dfrac{\text{பகுதி}}{\text{முழு}}\times100\%$.
• வரிக்கு/வட்டிக்குப் பின் மொத்தம் $= \text{தொகை}\times\dfrac{100+r}{100}$.
• எளிய வட்டி $I = \dfrac{PRT}{100}$.
• காலாண்டு இறை வரி $= $ ஆண்டு வரி $\div 4$.

அலகு 15 — சமன்பாடுகள்

• பின்னச் சமன்பாடு: ஒரே பின்னமாக்கு → குறுக்குப் பெருக்கல் → $x$ காண்.
• ஒருங்கமை: நீக்கல் (குணகம் சமப்படுத்தி கூட்டு/கழி) அல்லது பிரதியிடல்.
• இருபடி: $=0$ ஆக்கு → காரணிப்படுத்து → ஒவ்வொரு காரணி $=0$.
• இருபடிக்கு இரு மூலங்கள்; $x^2=k \Rightarrow x=\pm\sqrt{k}$.
• பெருக்கல் $0$ → ஒன்றேனும் காரணி $0$.

அலகு 16 — இணைகரங்கள் I

• இணைகரம் = இரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களும் சமாந்தரம்.
• எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம்; எதிர்க் கோணங்கள் சமம்.
• அடுத்த கோணங்கள் சேர்ந்து $180°$.
• மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமமாக்கும் ($AO=OC$, $BO=OD$).
• ஒவ்வொரு மூலைவிட்டமும் பரப்பை இருசமமாகப் பிரிக்கும்.

அலகு 17 — இணைகரங்கள் II

• இணைகரம் என நிறுவ 4 நிபந்தனைகள் (ஏதேனும் ஒன்று போதும்).
• (1) எதிர்ப் பக்கம் சமம் (2) எதிர்க் கோணம் சமம் (3) மூலைவிட்டம் இருசமம் (4) ஒரு சோடி சமம்+சமாந்தரம்.
• செவ்வகம்: எல்லாக் கோணம் $90°$ + மூலைவிட்டம் சமம்.
• சாய்சதுரம்: எல்லாப் பக்கம் சமம் + மூலைவிட்டம் செங்கோணத்தில் இருசமம்.
• சதுரம்: செவ்வகம் + சாய்சதுரம்.

அலகு 18 — தொடைகள் (கணங்கள்)

• தொடை எழுத 4 வழி: சொற்களில் · பட்டியல் · வென் வரைபடம் · பிறப்பாக்கி வடிவம்.
• $A'$ = நிரப்பி (இல்லாதவை); $A\cap B$ = "உம்" (பொது); $A\cup B$ = "அல்லது" (அனைத்து).
• $n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)$.
• முட்டற்ற ($A\cap B=\emptyset$): $n(A\cup B) = n(A)+n(B)$.
• பிறப்பாக்கி: $\{x : $ நிபந்தனை$\}$; $\mathbb{Z}$=முழுஎண், $\mathbb{Z}^+$=நேர் முழுஎண்.

அலகு 19 — மடக்கை I

• $a^x = N \Leftrightarrow \log_a N = x$ (சட்டி ↔ மடக்கை வடிவம்).
• $\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$ (பெருக்கல் → கூட்டல்).
• $\log_a\left(\dfrac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n$ (வகுத்தல் → கழித்தல்).
• $\log_a a = 1$; $\log_a 1 = 0$.
• மடக்கையின் அடி எப்போதும் நேர் எண்.

அலகு 20 — மடக்கை II

• $\lg = \log_{10}$. மடக்கை $=$ சிறப்பியல்பு (புள்ளிக்கு முன்) $+$ தசமக்கூறு (புள்ளிக்குப் பின், அட்டவணையிலிருந்து).
• சிறப்பியல்பு $=$ முழுஎண் இலக்க எண்ணிக்கை $-1$. ($85.83 \to 1$).
• தசமக்கூறு இலக்கங்களைச் சார்ந்தது, இடத்தை அல்ல: $\lg 8.583, \lg 858.3$ — ஒரே தசமக்கூறு $9337$.
• முறன்மடக்கை: $\text{antilog}$ மடக்கையின் நேர்மாறு. சிறப்பியல்பு $\Rightarrow$ தசமப் புள்ளி இடம்.
• பெருக்கல் $\to$ மடக்கை கூட்டல்; வகுத்தல் $\to$ கழித்தல்; பின் antilog.

அலகு 21 — வரைபுகள்

• நேர்க்கோடு $y = mx + c$: $m$ = படித்திறன், $c$ = $y$-வெட்டுத்துண்டு.
• படித்திறன்: $m = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$ — இரு புள்ளியையும் ஒரே வரிசையில் வை.
• பரவளைவு $y = ax^2 + b$: திருப்பப் புள்ளி $(0, b)$, சமச்சீர் அச்சு $x = 0$.
• $a > 0$ → ∪ இழிவுப் புள்ளி; $a < 0$ → ∩ உயர்வுப் புள்ளி. பெறுமானம் $= b$.
• மூலங்கள் = பரவளைவு $x$-அச்சை வெட்டும் இடங்கள் ($y = 0$).

அலகு 22 — வீதம்

• கதி $= \dfrac{\text{தூரம்}}{\text{நேரம்}}$; தூரம் $=$ கதி $\times$ நேரம்; நேரம் $= \dfrac{\text{தூரம்}}{\text{கதி}}$.
• அலகு மாற்றம்: km/h $\to$ m/s $\times \dfrac{5}{18}$; m/s $\to$ km/h $\times \dfrac{18}{5}$.
• சராசரிக் கதி $= \dfrac{\text{மொத்தத் தூரம்}}{\text{மொத்த நேரம்}}$ (கதிகளின் சராசரி அல்ல).
• தூர–நேர வரைபின் படித்திறன் $=$ கதி.
• பாய்வு வீதம் $= \dfrac{\text{கனவளவு}}{\text{நேரம்}}$; $1\ \text{m}^3 = 1000$ l.

அலகு 23 — குத்திரங்கள்

• எழுவாய் = தனியாக ஒரு பக்கம் நிற்கும் கணியம். மற்றதை எழுவாயாக்க = அதைத் தனிமைப்படுத்து.
• எதிர்ச் செயலை இரு பக்கத்திலும் செய்: $+\leftrightarrow-$, $\times\leftrightarrow\div$, வர்க்கம் $\leftrightarrow$ மூலம்.
• $v = u + at \Rightarrow u = v - at$.
• $A = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$.
• பிரதியீடு: ஒன்று தவிர மற்றதைப் போட்டுத் தெரியாததைக் காண்.

அலகு 24 — கூட்டல் விருத்தி

• கூட்டல் விருத்தி: அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசம் மாறாது.
• பொது வித்தியாசம் $d = T_n - T_{n-1}$.
• $n$ ஆம் உறுப்பு: $T_n = a + (n-1)d$.
• கூட்டுத்தொகை: $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)$ (இறுதி உறுப்பு தெரியின்).
• கூட்டுத்தொகை: $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$ ($a, d$ தெரியின்).

அலகு 25 — அட்சரகணிதச் சமனிலிகள்

• சமனிலி: $>, <, \ge, \le$. தீர்வு ஒரு எண் வீச்சு.
• ⚠ மறையெண்ணால் ×/÷ செய்தால் குறி திரும்பும்: $> \to <$, $\ge \to \le$.
• கூட்டல்/கழித்தல், நேரெண்ணால் ×/÷ — குறி மாறாது.
• எண்கோடு: $\circ$ (திறந்த) = சேராது ($>,<$); $\bullet$ (நிறை) = சேரும் ($\ge,\le$).
• பிரதேசம்: புள்ளிக்கோடு = சேராது; தடிப்புக்கோடு = சேரும்.

அலகு 26 — மீட்டளன் பரம்பல்

• மீட்டளன் ($f$) = ஒரு வகுப்பாய்வில் உள்ள தரவுகளின் எண்ணிக்கை.
• நடுப்பெறுமானம் $x = \dfrac{\text{கீழ் எல்லை} + \text{மேல் எல்லை}}{2}$.
• வீச்சு $=$ பெரிய $-$ சிறிய; பருமன் $=$ அடுத்தடுத்த வகுப்பு அகலம்.
• ஆகார வகுப்பு = அதிக மீட்டளன் உள்ள வகுப்பு.
• இடை $= \dfrac{\Sigma fx}{\Sigma f}$.

அலகு 27 — வட்டத்தின் நாண்கள்

• நாண் = வட்டத்தின் இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு. விட்டம் = மிக நீளமான நாண் $= 2r$.
• தேற்றம் 1: மையம் → நாண் நடுப்புள்ளி கோடு $\perp$ நாண்.
• தேற்றம் 2: மையத்திலிருந்து செங்குத்து நாணை இருசமக்கூறிடும்.
• பைதகரஸ்: $r^2 = d^2 + \left(\dfrac{\text{நாண்}}{2}\right)^2$.
• $OP = OQ$ ஆரைகள் → $\triangle OPQ$ இருசமபக்கம்.

அலகு 28 — அமைப்புகள்

• ஒழுக்கு = ஒரு நிபந்தனையை நிறைவேற்றும் எல்லாப் புள்ளிகளின் பாதை.
• நிலைப் புள்ளியிலிருந்து மாறாத் தூரம் → வட்டம்.
• இரு புள்ளிகளிலிருந்து சம தூரம் → செங்குத்து இருசமக்கூறி.
• கோட்டிலிருந்து மாறாத் தூரம் → இரு சமாந்தர கோடுகள்.
• இரு வெட்டும் கோடுகளிலிருந்து சம தூரம் → கோண இருசமக்கூறிகள்.

அலகு 29 — மேற்பரப்பளவும் கனவளவும்

• உருளை வளைப்பரப்பு $= 2\pi rh$; வட்ட முகம் $= \pi r^2$.
• உருளை மொத்த மேற்பரப்பளவு $= 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$.
• உருளை கனவளவு $V = \pi r^2 h$.
• அரியம் கனவளவு $V = (\text{குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு}) \times \text{நீளம்}$.
• $\pi = \dfrac{22}{7}$ (ஆரை $7$ இன் மடங்காக இருந்தால் எளிது).

அலகு 30 — நிகழ்தகவு

• நிகழ்தகவு $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$ (சாதகப் பெறு ÷ மொத்தப் பெறு).
• $0 \le P \le 1$. நிச்சயம் $=1$, இயலாமை $=0$.
• எளிய நிகழ்ச்சி = ஒரே பெறு; கூட்டு நிகழ்ச்சி = பல பெறு.
• நிரப்பி: $P(A') = 1 - P(A)$.
• நெடியாரி: மொத்தப் பெறு = வரிசை $\times$ நிரை (இரு நாணயம் $\to 4$).

அலகு 31 — வட்டத்தின் கோணங்கள்

• தேற்றம் 1: மையக் கோணம் $= 2 \times$ பரிதிக் கோணம். $A\hat{O}B = 2A\hat{C}B$.
• தேற்றம் 2: ஒரே துண்டக் கோணங்கள் சமம். $A\hat{P}B = A\hat{Q}B$.
• தேற்றம் 3: அரைவட்டக் கோணம் $= 90°$ (விட்டத்தினால்).
• தேற்றம் 4: சுழற்சி நாற்பக்கம் எதிர்க் கோணங்கள் கூட்டு $= 180°$.
• துணை: ஆரைகள் சமம் → இருசமபக்க முக்கோணி.

அலகு 1 — மெய்யெண்கள்

• எண் தொடைகள்: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
• $\mathbb{Q}$ விகிதமுறும் $= \dfrac{a}{b}$ ($a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$); $\mathbb{Q}'$ விகிதமுறா.
• விகிதமுறும் = முடிவுறு அல்லது மடங்கு தசமம். விகிதமுறா = முடிவுறா & மீளா.
• $\sqrt{n}$ விகிதமுறும் ஆவது $n$ நிறை வர்க்கமானால் மட்டுமே.
• சேடு எளிய வடிவம் $a\sqrt{b}$: $b$ இல் நிறை வர்க்கக் காரணி இருக்கக் கூடாது.

அலகு 2 — சுட்டிகளும் மடக்கைகளும் I

• சுட்டி விதிகள்: $a^m a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$.
• $a^0 = 1$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$, $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.
• மடக்கை: $a^x = N \Leftrightarrow \log_a N = x$.
• $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$, $\log_a M^n = n\log_a M$.
• $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$.

அலகு 3 — சுட்டிகளும் மடக்கைகளும் II

• மடக்கை $=$ சிறப்பியல்பு $+$ தசமக்கூறு. தசமக்கூறு எப்போதும் நேர்.
• $1$ இலும் குறைந்த எண்: சிறப்பியல்பு மறை, பட்டை ($\bar{1}, \bar{2}$) குறியீட்டில்.
• $0 < x < 1$: சிறப்பியல்பு $= -(\text{புள்ளிக்குப் பின் பூச்சியங்கள்}) - 1$.
• பட்டை $\bar{n}.mmmm = -n + 0.mmmm$.
• விதிகள்: $\lg(MN)=\lg M+\lg N$, $\lg M^n = n\lg M$.

அலகு 4 — திண்மங்களின் மேற்பரப்பின் பரப்பளவு

• கூம்பு சாயுரம் $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ (பைதகரஸ்).
• கூம்பு: வளைப்பரப்பு $= \pi r l$; மொத்தம் $= \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$.
• சதுர அடிக் கூம்பகம்: மொத்தம் $= a^2 + 2al$ ($l$ = முகச்சாய்வு உயரம்).
• கோளம் $= 4\pi r^2$.
• அரைக்கோளம்: வளைப்பரப்பு $2\pi r^2$, மொத்தம் $3\pi r^2$.

அலகு 5 — திண்மங்களின் கனவளவு

• கூம்பு கனவளவு $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ (செங்குத்து உயரம் $h$).
• கூம்பகம் $V = \dfrac{1}{3} \times$ அடிப் பரப்பு $\times h$.
• கோளம் $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$; அரைக்கோளம் $\dfrac{2}{3}\pi r^3$.
• கூம்பு/கூம்பகம் $=$ அதே $r,h$ உருளை/அரியத்தின் $\dfrac{1}{3}$.
• மீட்டல்: உருளை $\pi r^2 h$, கனவை $lbh$, சதுரமுகி $a^3$.

அலகு 6 — ஈறுறுப்புக் கோவைகள்

• வர்க்கம்: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
• கனம்: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
• $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ (அடையாளம் $+,-,+,-$).
• குணகங்கள் $1, 3, 3, 1$ (பாஸ்கல்).
• $(2x)^3 = 8x^3$ — குணகத்தையும் கனப்படுத்து.

அலகு 7 — அட்சரகணிதப் பின்னங்கள்

• பெருக்கல்: $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ (காரணியாக்கி நீக்கு).
• வகுத்தல்: $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ (தலைகீழாக்கிப் பெருக்கு).
• கூட்டல்/கழித்தல்: பொது பகுதி (பொ.ம.க.சி) கொண்டு.
• காரணியாக்கம்: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$.
• நீக்கம் காரணிகளுக்கு மட்டும்; கூட்டல் தொகுதியை நீக்காதே.

அலகு 8 — சமாந்தரக் கோடுகளுக்கிடையே உள்ள தளவுருவங்களின் பரப்பளவு

• முக்கோணி $= \dfrac{1}{2}bh$; இணைகரம் $= bh$; சரிவகம் $= \dfrac{1}{2}(a+b)h$.
• தேற்றம் 1: ஒரே அடி+சமாந்தர இணைகரங்கள் சம பரப்பு.
• தேற்றம் 2: ஒரே அடி+சமாந்தர முக்கோணி $= \dfrac{1}{2}$ இணைகரம்.
• தேற்றம் 3: ஒரே அடி+சமாந்தர முக்கோணிகள் சம பரப்பு.
• நிபந்தனை: ஒரே அடி மற்றும் ஒரே சமாந்தரங்கள்.

அலகு 9 — சதவீதம்

• எளிய வட்டி $I = \dfrac{PRT}{100}$.
• கூட்டு வட்டி: $A = P\left(1+\dfrac{R}{100}\right)^n$; வட்டி $= A - P$.
• குறைந்து மீதி: வட்டி எஞ்சிய கடனின் மீது மட்டுமே.
• ஆண்டு வீதம் $\div 12 = $ மாத வீதம் ($24\% \to 2\%$).
• இலாப % $= \dfrac{\text{இலாபம்}}{\text{விலை}} \times 100$.

அலகு 10 — பங்குச்சந்தை

• முதலீடு $=$ பங்கு எண்ணிக்கை $\times$ ஒரு பங்கின் விலை.
• பங்கு எண்ணிக்கை $= \dfrac{\text{முதலீடு}}{\text{ஒரு பங்கின் விலை}}$.
• ஆண்டு வருமானம் $=$ எண்ணிக்கை $\times$ ஒரு பங்கின் பங்கிலாபம்.
• வருமான வீதம் $\% = \dfrac{\text{வருமானம்}}{\text{முதலீடு}} \times 100$.
• முகப்பு விலை (face) ≠ மந்தை விலை (market).

அலகு 11 — நடுப்புள்ளித் தேற்றம்

• நடுப்புள்ளித் தேற்றம்: $PQ \parallel BC$ மற்றும் $PQ = \dfrac{1}{2}BC$.
• $P, Q$ = இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்.
• மறுதலை: ஒரு நடுப்புள்ளி + சமாந்தரம் → மற்றதை இருசமக்கூறிடும்.
• நடுப்புள்ளி முக்கோணி = மூலத்தின் $\tfrac14$ பரப்பு, $\tfrac12$ சுற்றளவு.
• நாற்பக்க நடுப்புள்ளிகள் → இணைகரம் (வேரிஞான்).

அலகு 12 — வரைபுகள்

• இருபடி வரைபு $y = ax^2 + bx + c$ — பரவளைவு. $a>0$ ∪, $a<0$ ∩.
• சமச்சீர் அச்சு $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• மூலங்கள் = $x$-வெட்டுக்கள் ($y=0$).
• திருப்பப் புள்ளி: அச்சு $x$ இல் $y$ கணி.
• ஒருங்கமை சமன்பாடு: இரு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியே தீர்வு.

அலகு 13 — சமன்பாடுகள்

• ஒருங்கமை: நீக்கல் (கூட்டு/கழி) அல்லது பிரதியீடு.
• இருபடி $ax^2+bx+c=0$ — 3 முறை: காரணி, வர்க்கப் பூர்த்தி, சூத்திரம்.
• இருபடிச் சூத்திரம்: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
• பாகுபடுத்தி $b^2-4ac$: $>0$ இரு மூலம், $=0$ சம, $<0$ மூலமில்லை.
• சொல் வழக்கு: மாறிகள் வரையறுத்து இரு சமன்பாடு உருவாக்கு.

அலகு 14 — இயல்பொத்த முக்கோணிகள்

• இயல்பொத்தல்: ஒரே வடிவம், வேறு அளவு. ஒத்த கோணம் சமம், ஒத்த பக்கம் ஒரே விகிதம்.
• BPT: $DE \parallel BC \Rightarrow \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$.
• மறுதலை: விகிதம் சமம் → சமாந்தரம்.
• நிபந்தனை: இரு கோணம் சமம் (AA) போதும்.
• $\triangle ABC \sim \triangle PQR$: $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{AC}{PR}$.

அலகு 15 — தரவுகளை வகைகுறித்தல்

• வீச்சு $=$ கூடியது $-$ குறைந்தது.
• குவிமீட்டளன் = சேர்ந்த மொத்த மீட்டளன்.
• வளையடி (ogive): குவிமீட்டளன் vs மேல் எல்லை.
• இடையம் $Q_2$ → $\dfrac{n}{2}$; $Q_1$ → $\dfrac{n}{4}$; $Q_3$ → $\dfrac{3n}{4}$.
• IQR $= Q_3 - Q_1$ (நடு $50\%$ பரம்பல்).

அலகு 16 — பெருக்கல் விருத்தி

• பெருக்கல் விருத்தி: ஒவ்வோர் உறுப்பும் $\times r$ (பொது விகிதம்).
• பொது விகிதம் $r = \dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{T_3}{T_2}$ (அடுத்தது $\div$ முந்தையது).
• $n$ ஆம் உறுப்பு $T_n = a \cdot r^{n-1}$.
• கூட்டுத்தொகை $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$.
• கூட்டல் வி: $+d$; பெருக்கல் வி: $\times r$.

அலகு 17 — பைதகரசின் தேற்றம்

• பைதகரஸ்: $c^2 = a^2 + b^2$ ($c$ = செம்பக்கம், மிகப்பெரிய பக்கம்).
• செம்பக்கம் காண: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• தெரியாத பக்கம்: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (செம்பக்கம் தெரிந்தால் கழி).
• மறுதலை: $c^2 = a^2+b^2$ எனில் செங்கோணம்.
• மும்மைகள்: $(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)$.

அலகு 18 — திரிகோணகணிதம்

• SOH-CAH-TOA: $\sin = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{செம்}}$, $\cos = \dfrac{\text{அயல்}}{\text{செம்}}$, $\tan = \dfrac{\text{எதிர்}}{\text{அயல்}}$.
• எதிர்/அயல் கோணத்தைப் பொறுத்து மாறும்.
• $\sin30°=\tfrac12$, $\cos30°=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\tan30°=\tfrac{1}{\sqrt3}$.
• $\sin45°=\cos45°=\tfrac{1}{\sqrt2}$, $\tan45°=1$.
• $\sin60°=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos60°=\tfrac12$, $\tan60°=\sqrt3$.

அலகு 19 — தாயங்கள்

• தாயம் = எண்களை நிரை–நிரல்களாக அடைப்புக்குள் அடுக்கியது.
• வரிசை $=$ நிரை $\times$ நிரல் (நிரை முதலில்).
• நிரைத் தாயம் $1 \times n$; நிரல் தாயம் $m \times 1$; சதுரத் தாயம் $n \times n$.
• அலகுத் தாயம் $I$: மூலை $1$, ஏனைவை $0$. சுழியம்: எல்லாம் $0$.

அலகு 20 — சமனிலிகள்

• சமனிலி குறியீடுகள்: $<$ (சிறிது), $>$ (பெரிது), $\le$ (சிறிது அல்லது சமம்), $\ge$.
• சமன்பாடு போல அவிழ்: இருபுறமும் கூட்டு/கழி/(மறை அல்லாத) பெருக்கு/வகு.
• ⚑ மறை எண்ணால் வகு/பெருக்கினால் — குறியீட்டை மாற்று!
• "அதிகபட்சம்" $\Rightarrow \le$; "குறைந்தபட்சம்" $\Rightarrow \ge$.

அலகு 21 — வட்ட நாற்பக்கல்கள்

• வட்ட நாற்பக்கல் = நான்கு உச்சியும் ஒரே வட்டத்தின் மீது.
• தேற்றம் 1: எதிர்க் கோணங்கள் $180°$ ஆக நிரப்பும் — $\angle A + \angle C = 180°$, $\angle B + \angle D = 180°$.
• தேற்றம் 2: புறக் கோணம் $=$ எதிரே உள்ள உட்கோணம்.
• ஆரங்கள் சமம் $\Rightarrow$ இருசமபக்க முக்கோணி (அடிக் கோணம் சமம்).

அலகு 22 — தொடலிகள்

• தொடலி = வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொடும் நேர்கோடு.
• தேற்றம் 1: தொடு புள்ளியில் ஆரம் $\perp$ தொடலி ($90°$).
• தேற்றம் 2: வெளிப் புள்ளி $P$ இலிருந்து $PA = PB$ (இரு தொடலி சமம்).
• $OP$ ஆனது $\angle APB$ ஐயும் $\angle AOB$ ஐயும் இருசமக் கூறிடும்.

அலகு 23 — அமைப்புகள்

• கருவி: அளவுகோல் $+$ கவராயம் மட்டுமே (கோணமானி இல்லை).
• செங்குத்து இருசமக் கோடு: $A, B$ இலிருந்து சம ஆரம் (பாதிக்கு மேல்) வளைவு → இணை. $90°$ $+$ நடு.
• கோண இருசமக் கோடு: உச்சி வளைவு → புயங்களில் $P,Q$ → சம வளைவு → இணை.
• அமைப்பு வளைவுகளை அழிக்காதே.

அலகு 24 — தொடைகள்

• $A \cup B$ = ஒன்றிப்பு (அல்லது); $A \cap B$ = வெட்டு (இரண்டுமே); $A'$ = நிரப்பி.
• $\varepsilon$ = செம்மைத் தொடை (universal set).
• $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
• "$A$ மட்டும்" $= n(A) - n(A \cap B)$.

அலகு 25 — நிகழ்தகவு

• $P(A) = \dfrac{\text{சாதகம்}}{\text{மொத்தம்}}$. $0 \le P \le 1$.
• நிரப்பி: $P(A') = 1 - P(A)$.
• பகடை: $P(\text{இரட்டை}) = \tfrac12$, $P(5) = \tfrac16$.
• சாரா = மீள்வைப்புடன் ($P$ மாறாது); சார = மீள்வைப்பின்றி ($P$ குறையும்).